カヴァリエリの原則

^{N. リードは[ 6 ]}カヴァリエリの原理を用いてサイクロイドで囲まれた領域の面積を求める方法を示した。半径rの円は、その下の線上で時計回りに、またはその上の線上で反時計回りに転がることができる。円上の点は、それによって 2 つのサイクロイドを描く。円が特定の距離だけ転がったとき、時計回りに回転する角度と反時計回りに回転する角度は同じである。したがって、サイクロイドを描く 2 つの点は、同じ高さにある。したがって、それらを通る線は水平である (つまり、円が転がる 2 つの線に平行である)。結果として、円の各水平断面は、2 つのサイクロイドの弧で囲まれた領域の対応する水平断面と同じ長さを持つ。カヴァリエリの原理により、円の面積はその領域と同じである。

単一のサイクロイド弧を囲む長方形を考えます。サイクロイドの定義から、幅は2πr 、高さは2rなので、面積は円の面積の 4 倍になります。サイクロイド弧の上にあるこの長方形の面積を計算するには、弧が長方形と交わる中点で長方形を二等分し、一方の部分を 180° 回転させて、もう一方の半分の長方形に重ね合わせます。面積が円の 2 倍になる新しい長方形は、2 つのサイクロイド間の「レンズ」領域（面積は上で計算して円と同じになりました）と、元の長方形でサイクロイド弧の上にある領域を形成していた 2 つの領域から構成されます。したがって、単一の完全なサイクロイド弧の上にある長方形で囲まれた面積は円の面積に等しく、弧で囲まれた面積は円の面積の 3 倍になります。

底面の形状に関わらず、円錐（円形底面）を含むあらゆるピラミッドの体積が（1/3） ×底辺×高さであるという事実は、それが1つの場合においてのみ成り立つことが分かっていれば、カヴァリエリの原理によって証明できる。まず、三角柱の内部を体積が等しい3つのピラミッド状の部分に分割することで、単一の場合においてこの原理を証明することができる。そして、カヴァリエリの原理を用いて、これら3つの体積が等しいことを示すことができる。    

実際、円錐やピラミッドの体積を計算するには、カヴァリエリの原理やそれに類する微小な議論が必要であり、これは本質的にヒルベルトの第3問題の内容である。すなわち、多面体のピラミッドや円錐は切断して標準的な形状に再構成することができず、代わりに無限（微小）な手段によって比較する必要がある。古代ギリシャ人は、アルキメデスの力学的議論や除去法など、さまざまな先駆的な手法を用いてこれらの体積を計算していた。

半径の円筒を考えてみましょう${\displaystyle r}$身長${\displaystyle h}$放物面を外接する$y=h(x/r)^2$頂点が円筒の底面の中心にあり、底面が円筒の上面にある 放物面も考慮してください。$y=hh(x/r)^2$寸法は同じだが、頂点と底辺が反転している。

あらゆる身長に対して${\displaystyle 0\leq y\leq h}$円盤状の断面領域$\displaystyle \pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}}$反転放物面の面積は、リング状の断面積に等しい。${\displaystyle \pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}}$内接放面の外側にある円筒部分について。

したがって、反転放物面の体積は、内接放物面の外側の円筒部分の体積に等しい。言い換えれば、放物面の体積は${\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$外接する円筒の体積の半分。

円錐の体積がわかっている場合$\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{底辺}}\times {\text{高さ}}\right)}$すると、カヴァリエリの原理を用いて球の体積が${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$、 どこ${\displaystyle r}$は半径です。

それは次のように行われます。半径の球を考えます。${\displaystyle r}$半径の円筒${\displaystyle r}$身長${\displaystyle r}$円筒内部には、頂点が円筒の一方の底面の中心にあり、底面がもう一方の底面にある円錐があります。ピタゴラスの定理により、平面は${\displaystyle y}$赤道より上の単位が半径の円で球と交わる${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$およびエリア${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$円錐の外側にある円筒部分と平面との交点の面積もまた${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ご覧のとおり、任意の高さにある水平面と球との交点によって定義される円の面積は${\displaystyle y}$円錐の「外側」にある円柱の部分と平面との交点の面積に等しい。したがって、カヴァリエリの原理を適用すると、半球の体積は円錐の「外側」にある円柱の部分の体積に等しいと言える。前述の円錐の体積は$\textstyle {\frac {1}{3}}}$円柱の体積の 1 倍なので、円錐の外側の体積は$\textstyle {\frac {2}{3}}}$円柱の体積。したがって、球の上半分の体積は$\textstyle {\frac {2}{3}}}$円柱の体積。円柱の体積は

$\displaystyle {\text{base}}\times {\text{height}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

（「底面積」は面積の単位、「高さ」は距離の単位です。面積×距離＝体積。）

したがって、上半球の体積は${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$そして球体全体のそれは${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$。

ナプキンリング問題と呼ばれるものにおいて、カヴァリエリの原理により、球の中心をまっすぐ貫通する穴を開けると、残りの帯の高さが${\displaystyle h}$驚くべきことに、残りの物質の体積は球の大きさに依存しない。残りのリングの断面は平面環状であり、その面積は2つの円の面積の差である。ピタゴラスの定理により、2つの円のうちの1つの面積は${\displaystyle \pi \times (r^{2}-y^{2})}$、 どこ${\displaystyle r}$は球の半径であり、${\displaystyle y}$は赤道面から切断面までの距離であり、もう一方の距離は${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$これらを差し引くと、$\displaystyle r^{2}}$キャンセルします。したがって、最終的な答えは${\displaystyle r}$。