等比数列

等比数列（または幾何数列）とは、ゼロ以外の数からなる数学的な数列であり、最初の項以降の各項は、前の項に公比と呼ばれる一定の数を掛けることによって求められます。例えば、数列 2, 6, 18, 54, ... は公比が 3 の等比数列です。同様に、10, 5, 2.5, 1.25, ... は公比が 1/2 の等比数列です。

等比数列の例としては、固定されたゼロでない数rのべき乗r ^kがあり、例えば2 ^kや 3 ^kなどがあります。等比数列の一般形は次のとおりです。

${\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }$

ここで、 rは公比、aは初期値である。

等比数列の項の和を等比級数と呼びます。数列の連続する2つの項の比率が同じであるため、等比級数の項は連続比例の関係にあるとも言われます。特に古代ギリシャの数学では、等比数列は公比のべき乗ではなく、このように記述されていました。^{[ 1 ]}

初項a = a ₁、公比rの等比数列の第n項は次のように表される。 $${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},}$$ そして一般的に $${\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{nm}.}$$ 等比数列は線形漸化式を満たす$${\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}$$すべての整数に対して${\displaystyle n>1.}$これは定数係数を持つ 一次同次線形漸化式です。

等比数列は非線形漸化式も満たす $${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}}$$ すべての整数に対して${\displaystyle n>2}$これは定数係数を持つ2次非線形漸化式です。

等比数列の公比が正の場合、数列の項はすべて初項と同じ符号になります。等比数列の公比が負の場合、数列の項は正と負が交互に現れます。これを交代数列と呼びます。たとえば、数列 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... は、初項が 1、公比が −3 の交代等比数列です。初項と公比が複素数の場合、項の複素引数は等差数列に従います。

公比の絶対値が1より小さい場合、項の大きさは指数関数的に減少し、ゼロに近づきます。公比の絶対値が1より大きい場合、項の大きさは指数関数的に増加し、無限大に近づきます。公比の絶対値が1の場合、項の大きさは無限に変化しませんが、符号や複素引数は変化する可能性があります。

等比数列は指数関数的増加または指数関数的減少を示すのに対し、等差数列は線形的増加または線形的減少を示します。この比較は、T.R. マルサスが著書『人口論』の数学的基礎として採用しました。この 2 種類の数列は、指数関数と対数によって関連付けられています。等差数列の各項を指数関数すると等比数列が得られ、等比数列の各項の対数を取ると等差数列が得られます。対数が引数の等比数列と値の等差数列の間に提供する関係は、 A.A. デ サラサにサン＝ヴァンサンの求積法とプロスタフェリシスにおける対数の伝統を結びつけるきっかけを与え、自然対数の同義語である「双曲線対数」という用語につながりました。

等比級数は項数から導き出される級数である${\displaystyle a+ar+ar^{2},\dots +ar^{n}}$[ ^{2 ]}等比級数は有限級数または無限級数のいずれかです。無限等比級数は、等比数列の無限個の項を合計したものです。計算結果は収束するか、発散するかのいずれかになります^。無限等比級数は、公比の絶対値が1未満であれば収束します。${\displaystyle |r|<1}$項がゼロに近づき、部分和の大きさが小さくなることを示している。同様に、無限等比級数は、公比の絶対値が 1 より大きい場合に発散する。${\displaystyle |r|>1}$、これは項と部分和の大きさが大きくなることを示しています。^{[ 3 ]}無限等比級数${\displaystyle |r|=1}$これは、その項の大きさが増減せず、級数の部分和の列が収束しないことを示している。

等比数列の無限積は、そのすべての項の積です。 べき乗の項までの等比数列の部分積${\displaystyle n}$は

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.}$$

いつ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle r}$は正の実数であり、これは部分数列の最初と最後の個々の項の幾何平均を取り、その平均を項数で与えられるべき乗にすることと同等である。${\displaystyle n+1.}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ ただし }}a\geq 0,r\geq 0.}$$

これは、有限等差数列の項の和の同様の性質に対応します。等差数列の和は、項数に最初の項と最後の項の算術平均を掛けたものです。この対応関係は、等差数列は等比数列の項の対数の列であり、等比数列は等差数列の項の指数の列であるという一般的なパターンに従います。対数の和は、指数化された値の積に対応します。

メソポタミアの初期王朝時代（紀元前2900年頃～紀元前2350年頃）の粘土板（MS 3047）には、底が3で乗数が1/2の等比数列が記されている。これはシュメールのシュルッパク市で発見されたものと考えられている。これは、紀元前2000年に始まる古代バビロニア数学以前の等比数列の記録として知られている唯一のものである。^{[ 4 ]}

ユークリッドの『原論』第8巻と第9巻では、等比数列（例えば2のべき乗など、詳細は記事を参照）を分析し、その性質をいくつか示しています。^{[ 5 ] [ 1 ]}

• 等差数列– 等間隔の数の数列 
• 等差数列と等比数列– 特定のパターンを満たす数学的数列 
• 線形差分方程式– 数列を定義する数学的関係リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 指数関数– 数学関数で、exp(x) または e^x と表記される。 
• 調和数列– 等差数列の逆数を取ることによって形成される数列 
• 調和級数– 発散する正の単位分数の和 
• 無限級数– 無限和 
• 優先数– 工業デザインにおける選択制約 
• トーマス・ロバート・マルサス– イギリスの政治経済学者（1766年～1834年） 
• 幾何分布– 確率分布 

• Hall & Knight、『高等代数学』、39ページ 、ISBN 81-8116-000-2

• 「等比数列」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイススタイン、エリック・W. 「幾何級数」 . MathWorld .