フルラーニ積分

数学において、フルラーニ積分はイタリアの数学者ジュリアーノ・フルラーニにちなんで名付けられた特殊な積分である。積分は次の形式をとる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x}$

ここで、 は、で極限を持つすべての非負の実数に対して定義された関数であり、 と表記されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle f(\infty )}$

が 上で連続し、 で有限極限を持ち、である場合、それらの一般解に対する次の公式が成り立ちます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle a,b>0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\frac {a}{b}}.}$

式の簡単な証明（上記よりも強い仮定、つまり）は、微積分の基本定理を使用して、被積分関数を の積分として表すことによって得ることができます。 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{1}(0,\infty )}$${\displaystyle f'(xt)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {f(xt)}{x}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}&=\left[{\frac {f(xt)}{x}}\right]_{t=b}^{t=a}\,\\&=\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\\\end{aligned}}}$

そして、トネリの定理を使って2 つの積分を交換します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\,dx\\&=\int _{b}^{a}\int _{0}^{\infty }f'(xt)\,dx\,dt\\&=\int _{b}^{a}\left[{\frac {f(xt)}{t}}\right]_{x=0}^{x\to \infty }\,dt\\&=\int _{b}^{a}{\frac {f(\infty )-f(0)}{t}}\,dt\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}{\Big (}\ln(a)-\ln(b){\Big )}\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}\\\end{aligned}}}$

上記の 2 行目の積分は、区間 ではなく 区間にわたって行われていることに注意してください。 ${\displaystyle [b,a]}$${\displaystyle [a,b]}$

この式は、および とすることで自然対数 の積分表現を導くために使用できます。 ${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle {\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}-e^{-bx}}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{e^{n}}}-e^{0}{\Big )}\ln {\Big (}{\frac {1}{b}}}{\Big )}=\ln(b)}$

この式はいくつかの異なる方法で一般化することもできる。^[1]

• G. ボロス、ビクトル ユーゴー モル、Irresistible Integrals (2004)、98 ページ
• Juan Arias-de-Reyna、フルラーニの定理について (PDF; 884 kB)、Proc. AMS 109 (1990)、165-175。
• ProofWiki、Frullani 積分の証明。