オイラー積分

数学では、オイラー積分には2つの種類がある：^[1]

1. 第一種オイラー積分はベータ関数である $${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^ {z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}$$
2. 第二種オイラー積分はガンマ関数である^[2] $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,dt}$$

正の整数 mとnの場合、2つの積分は階乗と二項係数で表すことができます。 $${\displaystyle \mathrm {B} (n,m)={\frac {(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}}={\frac {n+m}{nm{\binom {n+m}{n}}}}=\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right){\frac {1}{\binom {n+m}{n}}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$$

• レオンハルト・オイラー
• レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられたトピックのリスト

• オイラー積分に関する Wolfram MathWorld
• NIST 数学関数デジタルライブラリ dlmf.nist.gov/5.2.1 リレーション 5.2.1 および dlmf.nist.gov/5.12 リレーション 5.12.1

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