波

数学的には、波は関数によって記述される。${\displaystyle F(x,t)}$空間と時間における点を場に写像する。スカラー場の場合、その値は数値であり、ベクトル場の場合、ベクトルである。一般に、テンソル場はテンソル値を持つ。

価値${\displaystyle x}$は空間上の点であり、具体的には波が定義される領域にある。数学的には、通常はデカルト三次元空間におけるベクトルである。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$しかし、多くの場合、1つの次元を無視して、${\displaystyle x}$デカルト座標平面上の点である$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$これは、例えばドラムの皮の振動を研究する場合に当てはまります。さらに制限することもできます。${\displaystyle x}$デカルト座標系の一点へ${\displaystyle \mathbb {R} }$つまり、実数の集合です。これは、例えばバイオリンの弦やリコーダーの振動を研究する場合に当てはまります。${\displaystyle t}$一方、は常にスカラー、つまり実数であると想定されます。

価値${\displaystyle F(x,t)}$点に割り当てられる任意の物理量${\displaystyle x}$それは時間とともに変化する可能性があります。たとえば、${\displaystyle F}$弾性固体内部の振動を表す値${\displaystyle F(x,t)}$は通常、現在の変位を与えるベクトルです。${\displaystyle x}$その点に存在するであろう物質粒子${\displaystyle x}$振動がない場合。電磁波の場合、${\displaystyle F}$電場ベクトル​${\displaystyle E}$または磁場ベクトル${\displaystyle H}$、またはポインティングベクトルなどの関連量${\displaystyle E\times H}$流体力学では、${\displaystyle F(x,t)}$その点における流体の速度ベクトルである可能性がある${\displaystyle x}$、または圧力、温度、密度などのスカラー特性。化学反応では、${\displaystyle F(x,t)}$点付近の何らかの物質の濃度である可能性がある${\displaystyle x}$反応媒体の。

あらゆる寸法において${\displaystyle d}$（1、2、または3）の場合、波の領域は部分集合となる。${\displaystyle D}$の$\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$関数値が${\displaystyle F(x,t)}$任意の点に対して定義される${\displaystyle x}$で${\displaystyle D}$例えば、ドラムの皮の動きを説明する場合、${\displaystyle D}$平面上の円盤（円）である$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$原点を中心とする${\displaystyle (0,0)}$、そして${\displaystyle F(x,t)}$点における皮膚の垂直変位を${\displaystyle x}$の${\displaystyle D}$そしてその時${\displaystyle t}$。

同種の波はしばしば重なり合い、ある特定の空間と時間において同時に発生する。その地点における特性は、その地点における各構成波の特性の総和となる。一般に、波の速度はそれぞれ異なるため、波形は時間と空間によって変化する。

波スペクトルは、海面（または波場）のエネルギーがさまざまな波の周波数（または波数）と方向にどのように分布しているかを表す表現です。^{[ 6 ]} 実際の海面は、波長、周期、振幅、方向が異なる多くの重なり合った波で構成されています。波スペクトルは、個々の波を追跡するのではなく、統計的（スペクトル）な記述を提供します。^{[ 7 ]}ある地点で観測された海面の高さは、多くの正弦波成分の合計（重ね合わせ）と考えることができます。波スペクトルは、各成分に関連付けられているエネルギーの量を定量化します。^{[ 8 ]}

時には、特定の単一の波に関心を持つこともある。しかし、多くの場合、ドラムスティックで一度叩かれた後のドラムの皮のあらゆる振動パターンや、空港に接近する可能性のある飛行機から得られるあらゆるレーダー反射波など、多数の波の可能性を理解する必要がある。

そうした状況の中には、そのような波の族を関数で記述できるものがある。${\displaystyle F(A,B,\ldots ;x,t)}$それは特定のパラメータに依存します${\displaystyle A,B,\ldots }$、 その上${\displaystyle x}$そして${\displaystyle t}$すると、異なる波、つまり異なる関数が得られます。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle t}$―それらのパラメータに異なる値を選択することによって。

例えば、純粋な音を再生しているリコーダー内部の音圧は、通常、定常波であり、次のように表すことができます。

${\displaystyle F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)}$

パラメータ${\displaystyle A}$波の振幅（つまり、管内の最大音圧であり、音の大きさに関係する）を定義する。${\displaystyle c}$音速のことです。${\displaystyle L}$はボアの長さであり、${\displaystyle n}$は、定常波の節の数を指定する正の整数（1,2,3,...）です。（位置）${\displaystyle x}$マウスピースから測定し、${\displaystyle t}$マウスピースの圧力が最大となる任意の瞬間から。${\displaystyle \lambda =4L/(2n-1)}$は放出された音の波長であり、${\displaystyle f=c/\lambda }$（周波数は周波数です。）この一般的な方程式から、パラメータに特定の値を選択することなく、これらの波の多くの一般的な特性を推測できます。

別の例として、ドラムの皮が一度叩かれた後の振動は距離のみに依存する可能性がある。${\displaystyle r}$皮膚の中心から打撃点まで、そして強さ${\displaystyle s}$打撃の。すると、考えられるすべての打撃に対する振動は関数で記述できる。${\displaystyle F(r,s;x,t)}$。

対象となる波動の族は、場合によっては無限に多くのパラメータを持つことがあります。例えば、金属棒を長さに沿って異なる場所で様々な温度に加熱し、その後真空中で自然冷却させた場合、その金属棒の温度がどのように変化するかを記述したいとします。この場合、パラメータはスカラーやベクトルではなく、関数である必要があります。${\displaystyle h}$そのため${\displaystyle h(x)}$各点における初期温度は${\displaystyle x}$棒グラフの。すると、後の時間における温度は関数で表すことができる。${\displaystyle F}$それは機能によって異なります${\displaystyle h}$（つまり、関数演算子）なので、後の時点での温度は${\displaystyle F(h;x,t)}$

波の族を記述および研究するもう 1 つの方法は、明示的に値を与える代わりに、数学方程式を与えることです。${\displaystyle F(x,t)}$、これはそれらの値が時間とともにどのように変化するかを制約するだけです。すると、問題となる波の族はすべての関数で構成されます。${\displaystyle F}$これらの制約を満たすもの、つまり方程式のすべての解。

このアプローチは物理学において非常に重要である。なぜなら、制約は通常、波動の発展を引き起こす物理的プロセスの結果だからである。例えば、${\displaystyle F(x,t)}$ある均質で等方性の固体材料のブロック内部の温度は、偏微分方程式によって制約される。

$\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)}$

どこ${\displaystyle Q(x,t)}$は、単位体積および単位時間あたりに発生する熱量であり、${\displaystyle x}$その時${\displaystyle t}$（例えば、そこで起こる化学反応によって）${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$は点のデカルト座標です${\displaystyle x}$;${\displaystyle \partial F/\partial t}$は、${\displaystyle F}$に関して${\displaystyle t}$; そして$\displaystyle \partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}}$は、${\displaystyle F}$相対的に${\displaystyle x_{i}}$（記号「${\displaystyle \partial }$「」は、ある変数に関する導関数において、他のすべての変数は固定されているとみなさなければならないことを意味する。

この方程式は、固体媒体における熱拡散を支配する物理法則から導き出すことができる。そのため、温度以外にも多くの物理量に適用できるにもかかわらず、数学では熱方程式と呼ばれている。

別の例として、ガス容器内で反響する可能性のあるすべての音を関数で表すことができます。${\displaystyle F(x,t)}$それはある一点での圧力を与える${\displaystyle x}$そして時間${\displaystyle t}$その容器内で。ガスが最初に均一な温度と組成であった場合、${\displaystyle F}$式によって制約される

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)}$

ここ${\displaystyle P(x,t)}$ガスの近くで何らかの追加の圧縮力が加えられている${\displaystyle x}$スピーカーやピストンなど、すぐ隣にある外部のプロセスによって。

この同じ微分方程式は、均質等方性非導電性固体における機械的振動と電磁場の挙動を記述します。この方程式は、左辺が次のようになるという点においてのみ、熱流の方程式と異なることに注意してください。$\displaystyle \partial ^{2}F/\partial t^{2}}$の2階微分${\displaystyle F}$時間に関して、一次導関数ではなく${\displaystyle \partial F/\partial t}$しかし、この小さな変化が、解の集合に大きな違いをもたらす。${\displaystyle F}$この微分方程式は、数学においては「波動方程式」と呼ばれていますが、実際にはごく特殊な種類の波しか記述していません。

ダランベールの公式におけるFの形式または形状には、引数x − vtが含まれます。この引数の定数値はFの定数値に対応し、これらの定数値はx がvtと同じ割合で増加する場合に発生します。つまり、関数Fのような形状の波は速度vで正のx方向に移動します(そしてG は負のx方向に同じ速度で伝播します)。^{[ 14 ]}

周期λを持つ周期関数Fの場合、すなわちF ( x + λ − vt ) = F ( x − vt ) の場合、空間におけるFの周期性は、ある時刻tにおける波のスナップショットにおいて、波が周期λ (波の波長) で空間的に周期的に変化していることを意味します。同様に、このFの周期性は時間における周期性も意味します。vT = λの場合、 F ( x − v ( t + T )) = F ( x − vt ) となり、固定位置xにおける波の観測では、波が周期T = λ / vで時間的に周期的にうねっていることがわかります。^{[ 15 ]}

波の振幅は一定である場合（この場合、波は連続波またはcw波と呼ばれる）、または時間や位置に応じて変化するように変調される場合がある。振幅の変化の輪郭は、波の包絡線と呼ばれる。数学的には、変調波は次の形式で記述できる。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}$${\displaystyle u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$ どこ${\displaystyle A(x,\ t)}$は波の振幅包絡線であり、${\displaystyle k}$波数であり、${\displaystyle \phi }$は位相です。群速度が${\displaystyle v_{g}}$（下記参照）は波長に依存しないため、この式は次のように簡略化できます。^{[ 19 ]}$${\displaystyle u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$ これは、エンベロープが群速度とともに移動し、その形状を維持することを示しています。一方、群速度が波長によって変化する場合には、パルス形状はエンベロープ方程式を使用して説明されることが多い方法で変化します。^{[ 19 ] [ 20 ]}

波には、位相速度と群速度という2つの速度が関係している。

位相速度とは、波の位相が空間を伝播する速度のことです。波の任意の位相（例えば、波の山）は、位相速度で伝播しているように見えます。位相速度は、波長λ（ラムダ）と周期Tを用いて次のように 表されます。$${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$$

群速度とは、明確な包絡線を持つ波の特性であり、波の振幅の全体的な形状（波の変調または包絡線）が空間を伝播する速度（すなわち位相速度）を測定するものです。

平面波とは、値が空間的に一方向のみで変化する波の一種です。つまり、その方向に垂直な平面上では値が一定です。平面波は単位長さのベクトルで表すことができます。${\displaystyle {\hat {n}}}$波が変化する方向を示し、その方向に沿った変位の関数として波がどのように変化するかを示す波形プロファイル（$\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$）と時間（${\displaystyle t}$) 波形は位置のみに依存するため${\displaystyle {\vec {x}}}$組み合わせにおいて$\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$に垂直な方向への変位${\displaystyle {\hat {n}}}$フィールドの値に影響を与えることはできません。

平面波は、発生源から遠く離れた電磁波をモデル化する際によく用いられる。電磁平面波の場合、電場と磁場は伝搬方向に対して垂直であり、かつ互いに直交する。

定常波（または静止波）とは、波の包絡線が一定の位置に留まる波のことである。この現象は、互いに逆方向に伝わる2つの波の干渉によって生じる。

振幅と周波数が等しい2つの逆方向に伝播する波の和は、定常波を形成します。定常波は、境界が波の伝播を妨げ、波の反射を引き起こし、その結果として逆方向に伝播する波が生じる場合によく発生します。例えば、バイオリンの弦がずれると、横波は弦がブリッジとナットで固定されている場所まで伝播し、そこで波は反射されます。ブリッジとナットでは、2つの逆方向の波は逆位相で互いに打ち消し合い、節を形成します。2つの節の中間には腹があり、そこでは2つの逆方向に伝播する波が互いに最大限に増幅し合います。時間的にエネルギーの正味の伝播はありません。

• 
  一次元定常波；基本モードと最初の5つの倍音
• 
  円盤上の二次元定常波。これが基本モードである。
• 
  円盤上に発生した定常波で、中心で交差する2本の節線を持つもの。これは倍音である。

ソリトン（孤立波）とは、一定の速度で伝播しながら形状を維持する自己強化型の波束のことです。ソリトンは、媒質中の非線形効果と分散効果が相殺されることによって生じます。（分散効果とは、波の速度が周波数に依存する特定のシステムの特性です。）ソリトンは、物理システムを記述する、広く用いられている弱非線形分散偏微分方程式の解です。

波の伝播とは、波が伝わるあらゆる方法を指します。振動の方向と伝播方向との関係において、縦波と横波を区別することができます。

電磁波は真空中だけでなく物質媒体中も伝播する。音波などの他の種類の波の伝播は、伝送媒体中でのみ起こる。

SV波の伝播

半空間におけるSV波の解析解は、特殊な場合を除いて、平面SV波がP波とSV波として領域に反射することを示している。反射SV波の角度は入射波と同じであるが、反射P波の角度はSV波よりも大きい。同じ波の周波数では、SV波長はP波長よりも小さい。この事実は、このアニメーション画像に示されている。^{[ 21 ]}

波の速度は、エネルギー（および情報）の伝播に関する波の位相と速度を表す、様々な種類の波の速度に関する一般的な概念です。位相速度は次のように表されます。 $${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\omega }{k}},}$$ どこ：

• v _pは位相速度（SI単位はm/s）です。
• ωは角周波数（SI単位はrad/s）です。
• kは波数（SI単位はrad/m）である。

位相速度は、離散周波数において波の位相が一定の点が伝わる速度を表します。角周波数ωは波数kとは独立して選択することはできませんが、両者は分散関係によって結びついています。 $${\displaystyle \omega =\Omega (k).}$$

Ω( k ) = ckという特殊な場合（cは定数）では、すべての周波数が同じ位相速度cで伝搬するため、波は非分散性と呼ばれます。例えば、真空中の電磁波は非分散性です。分散関係が他の形式の場合、波は分散性となります。分散関係は、波が伝搬する媒体と波の種類（例えば、電磁波、音波、水波など）に依存します。

狭い周波数範囲から生じる合成波束が伝わる速度を群速度と呼び、これは分散関係の勾配から求められる。 $${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$$

ほとんどの場合、波とは主に媒質中を伝わるエネルギーの移動である。多くの場合、群速度とは、そのエネルギーが媒質中を伝わる速度のことである。

波は、例えば以下のような多くの標準的な状況下で共通の挙動を示す。

波は通常、伝送媒体中を直線的に（つまり直進的に）伝搬します。このような媒体は、以下の1つまたは複数のカテゴリに分類できます。

• 有限な範囲を持つ場合は有界媒体、そうでない場合は無界媒体
• 線形媒質とは、媒質内の任意の特定の点における異なる波の振幅を加算できる媒質のことである。
• 空間内の異なる場所で物理的性質が変化しない場合、その媒体は均一媒体または均質媒体と呼ばれる。
• 異方性媒体とは、その物理的特性の1つ以上が1つ以上の方向で異なる媒体のことである。
• 物理的性質がすべての方向で同じである場合、それは等方性媒体である。

波は通常、波のエネルギーの大部分またはすべてを損失なく伝播させる媒体で定義されます。しかし、物質が波からエネルギーを奪い、通常は熱に変換する場合、その物質は「損失性」を持つと特徴づけられます。これは「吸収」と呼ばれます。透過または反射によって波のエネルギーを吸収する物質は、複素数である屈折率によって特徴づけられます。吸収量は一般的に波の周波数（波長）に依存し、例えば、物体が色づいて見える理由を説明しています。

波が反射面に当たると、波の方向が変わる。その結果、入射波と反射面の法線がなす角度と、反射波と反射面の法線がなす角度が等しくなる。

屈折とは、波の速度が変化する現象です。数学的には、これは位相速度の大きさが変化することを意味します。一般的に、屈折は波がある媒質から別の媒質へ通過する際に起こります。波が物質によって屈折する量は、その物質の屈折率によって決まります。入射方向と屈折方向は、スネルの法則によって2つの物質の屈折率と関連付けられます。

波は、障害物に遭遇して波が曲がったり、開口部から出て広がったりする際に回折現象を示す。回折効果は、障害物や開口部の大きさが波の波長と同程度の場合に顕著になる。

線形媒質（通常の場合）における波が空間のある領域で交差する場合、実際には互いに干渉せず、あたかももう一方の波が存在しないかのように進み続けます。しかし、その領域のどの点においても、それらの波を記述する場の量は重ね合わせの原理に従って加算されます。波が同じ周波数で位相関係が固定されている場合、一般に、2つの波が同位相で振幅が加算される位置と、位相がずれて振幅が（部分的または完全に）打ち消し合う位置が存在します。これを干渉パターンと呼びます。

偏光現象は、波の運動が互いに直交する2つの方向に同時に発生する場合に生じます。例えば、横波は偏光することができます。偏光を修飾語なしの記述子として使用する場合、通常は線形偏光という特殊な単純なケースを指します。横波は、1つの方向または平面内でのみ振動する場合、線形偏光しています。線形偏光の場合、振動が発生する進行方向に対して垂直な平面の相対的な向き、例えば偏光面が地面と平行な場合は「水平」といった向きを加えると便利な場合が多くあります。例えば、自由空間を伝搬する電磁波は横波であり、偏光フィルターを使用することで偏光させることができます。

音波のような縦波は偏光を示さない。これらの波は、進行方向に沿った一方向のみに振動する。

分散とは、屈折率の周波数依存性であり、物質の原子構造に起因する現象である。^{[ 22 ]： 67} 波は、位相速度または群速度のいずれかが波の周波数に依存する場合に分散を起こす。分散は、白色光をプリズムに通すことで観察でき、その結果、虹のスペクトルが生じる。アイザック・ニュートンは、これが白色光が異なる色の光の混合物であることを意味すると最初に認識した人物である。^{[ 22 ]： 190}

ドップラー効果またはドップラーシフトとは、波源に対して相対的に移動している観測者に対する波の周波数の変化のことである。 ^{[ 23 ]}この現象は、1842年にこの現象を記述したオーストリアの物理学者クリスチャン・ドップラーにちなんで名付けられた。

弦の横振動は張力と慣性の関数であり、両端が固定されているため弦の長さによって制約されます。この制約により、可能な定常状態モード、ひいては周波数が制限されます。振動する弦に沿って伝わる横波の速度( v ) は、弦の張力( T )を線密度( μ ) で割った値の平方根に正比例します。

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

ここで、線密度μは弦の単位長さあたりの質量である。

音波は、気体、液体、固体、プラズマ中を伝播する圧縮波です。音波の伝播速度は次の式で表されます。

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},}$

または、断熱体積弾性率を媒質の周囲密度で割った値の平方根（音速を参照）。

重力波とは、流体媒体中、あるいは2つの媒体の境界面で、重力や浮力が平衡状態を回復しようとする際に発生する波のことである。水面上の表面波が最も身近な例である。

• 池の水面にできるさざ波は、実際には横波と縦波の組み合わせであり、そのため水面上の点は軌道を描いて移動する。
• 回転する流体中に発生し、コリオリ効果によって回復される慣性波。
• 海洋表面波とは、水中を伝播する擾乱のことである。

実体波は、媒質内部を、密度と弾性率（剛性）といった物質特性によって制御される経路に沿って伝播します。密度と弾性率は、温度、組成、物質の相によって変化します。この現象は、光波の屈折に似ています。粒子の運動には2種類あり、その結果、一次波と二次波という2種類の実体波が発生します。

地震波は、地球の層を伝わるエネルギーの波であり、地震、火山噴火、マグマの移動、大規模な地滑り、低周波の音響エネルギーを放出する大規模な人為的爆発の結果として発生します。地震波には、実体波（一次波（P波）と二次波（S波））と、レイリー波、ラブ波、ストーンリー波などの表面波が含まれます。^{[ 25 ]}

衝撃波は伝播する擾乱の一種です。流体中の局所的な音速よりも速く波が移動すると、それは衝撃波になります。通常の波と同様に、衝撃波はエネルギーを運び、媒体中を伝播することができますが、媒体の圧力、温度、密度が急激かつほぼ不連続に変化するという特徴があります。 ^{[ 26 ]}

せん断波は、せん断剛性と慣性によって生じる実体波である。せん断波は固体を通してのみ伝播し、十分な粘度を持つ液体を通してはある程度伝播する。

重力波も宇宙空間を伝わります。重力波の最初の観測は2016年2月11日に発表されました。^{[ 27 ]}重力波は、アインシュタインの一般相対性理論によって予測された時空 の曲率の乱れです。

• 交通の波、つまり、さまざまな密度の自動車などの伝播は、運動学的波としてモデル化できます^{[ 28 ] [ 29 ]。}
• メタクロナル波とは、協調的な連続動作によって生じる進行波の出現を指す。

シュレーディンガー方程式は、量子力学における粒子の波動的な振る舞いを記述する。この方程式の解は波動関数であり、粒子の確率密度を記述するために用いることができる。

ディラック方程式は、電磁相互作用を詳細に記述する相対論的波動方程式です。ディラック波は、水素スペクトルの微細な構造を完全に厳密に説明しました。この波動方程式はまた、これまで予想も観測もされていなかった反物質という新たな物質の存在を示唆し、それが実験的に確認されました。量子場理論の文脈では、ディラック方程式はスピン1/2の粒子に対応する量子場を記述するために再解釈されます。

ルイ・ド・ブロイは、運動量を持つすべての粒子は波長を持つと仮定した。

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

ここで、 hはプランク定数、pは粒子の運動量の大きさです。この仮説は量子力学の基礎となりました。現在では、この波長はド・ブロイ波長と呼ばれています。例えば、CRTディスプレイの電子のド・ブロイ波長は約 10⁻¹³ ^mです。 

k方向に移動する粒子を表す波は、波動関数によって次のように表される。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },}$

ここで、波長は波数ベクトルkによって次のように決定される。

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}},}$

そして、その勢いは次のようにして生まれます。

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}$

しかし、このような明確な波長を持つ波は空間に局在しないため、空間に局在する粒子を表すことはできません。粒子を局在化するために、ド・ブロイは波束[ ^{31 ]の}中心値の周りに広がるさまざまな波長の重ね合わせを提案しました。これは量子力学で粒子の波動関数を記述するためによく使用される波形です。波束では、粒子の波長は正確ではなく、局所的な波長は主波長値の両側にずれます。

局所粒子の波動関数を表す場合、波束はしばしばガウス形状を持つとみなされ、ガウス波束と呼ばれます。^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}ガウス波束は水波の解析にも使用されます。^{[ 35 ]}

例えば、ガウス波動関数ψは次の形式をとるかもしれない。^{[ 36 ]}

${\displaystyle \psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),}$

初期時刻t = 0 において、中心波長は中心波数ベクトルk ₀とλ ₀ = 2π / k _{0の関係にある。}フーリエ解析の理論[ ^{37 ]}またはハイゼンベルクの不確定性原理(量子力学の場合) から^、局所化された波束を生成するには狭い範囲の波長が必要であり、包絡線がより局所化されるほど、必要な波長の広がりが大きくなることはよく知られている。ガウス関数のフーリエ変換はそれ自体がガウス関数である。^{[ 38 ]}ガウス関数が与えられた場合:

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},}$

フーリエ変換は次のとおりです。

${\displaystyle {\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.}$

したがって、空間におけるガウス分布は波から構成されている。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;}$

that is, a number of waves of wavelengths λ such that kλ = 2 π.

The parameter σ decides the spatial spread of the Gaussian along the x-axis, while the Fourier transform shows a spread in wave vectork determined by 1/σ. That is, the smaller the extent in space, the larger the extent in k, and hence in λ = 2π/k.