重力波

重力波は、速度がない定常状態の周りの摂動を表す。したがって、システムに導入される摂動は、極小振幅の速度場によって記述される。流体は非圧縮性であると仮定されているため、この速度場は流れ関数表現 を持つ。${\displaystyle (u'(x,z,t),w'(x,z,t)).}$

${\displaystyle {\textbf {u}}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi _{z},-\psi _{x}),\,}$

ここで、下付き文字は偏微分を表す。この導出では、重力が負のz方向を向いている2次元で作業すれば十分である。次に、最初は静止している非圧縮性流体では渦度はなく、流体は非回転のままである。したがって、流れ関数表現では、次に、系のx方向の並進不変性のため、仮説を立てることができる。${\displaystyle \left(x,z\right)}$${\displaystyle \nabla \times {\textbf {u}}'=0.\,}$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0.\,}$

${\displaystyle \psi \left(x,z,t\right)=e^{ik\left(x-ct\right)}\Psi \left(z\right),\,}$

ここでkは空間波数である。したがって、問題は次の方程式を解くことに帰着する。

${\displaystyle \left(D^{2}-k^{2}\right)\Psi =0,\,\,\,\ D={\frac {d}{dz}}.}$

我々は無限の深さの海で作業しているので、境界条件は である。乱されていない表面は であり、乱された表面または波状の表面は である。ここで は大きさが小さい。底から流体が漏れ出ないようにするには、次の条件を満たす必要がある。 ${\displaystyle \scriptstyle z=-\infty .}$${\displaystyle \scriptstyle z=0}$${\displaystyle \scriptstyle z=\eta ,}$${\displaystyle \scriptstyle \eta}$

${\displaystyle u=D\Psi =0,\,\,{\text{on}}\,z=-\infty .}$

したがって、、ここでAおよび波の速度cは界面の条件から決定される定数です。 ${\displaystyle \scriptstyle \Psi =Ae^{kz}}$${\displaystyle \scriptstyle z\in \left(-\infty ,\eta \right)}$

自由表面条件:自由表面では、運動条件が成り立ちます。 ${\displaystyle \scriptstyle z=\eta \left(x,t\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u'{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=w'\left(\eta \right).\,}$

線形化すると、これは単純に

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=w'\left(0\right),\,}$

ここで、速度は表面上で線形化されます。通常モードと流れ関数の表現を使用すると、この条件は、2 番目の界面条件になります。 ${\displaystyle \scriptstyle w'\left(\eta \right)\,}$${\displaystyle \scriptstyle z=0.\,}$${\displaystyle \scriptstyle c\eta =\Psi \,}$

界面を横切る圧力関係:表面張力の場合、界面における圧力差はヤング・ラプラス方程式で表されます。 ${\displaystyle \scriptstyle z=\eta }$

${\displaystyle p\left(z=\eta \right)=-\sigma \kappa ,\,}$

ここでσは表面張力、κは界面の 曲率であり、線形近似では

${\displaystyle \kappa =\nabla ^{2}\eta =\eta _{xx}.\,}$

したがって、

${\displaystyle p\left(z=\eta \right)=-\sigma \eta _{xx}.\,}$

しかし、この条件は総圧力（ベース+摂動）を参照するため、

${\displaystyle \left[P\left(\eta \right)+p'\left(0\right)\right]=-\sigma \eta _{xx}.}$

（通常通り、摂動量はz=0の面上に線形化できる。）静水力バランスを用いると、${\displaystyle \scriptstyle P=-\rho gz+{\text{定数}},}$

これは

${\displaystyle p=g\eta \rho -\sigma \eta _{xx},\qquad {\text{on }}z=0.\,}$

摂動圧力は、摂動に対する 線形化オイラー方程式の水平運動量方程式を用いて、流れ関数の観点から評価される。

${\displaystyle {\frac {\partial u'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p'}{\partial x}}\,}$

譲る${\displaystyle \scriptstyle p'=\rho cD\Psi .}$

この最後の式とジャンプ条件を組み合わせると、

${\displaystyle c\rho D\Psi =g\eta \rho -\sigma \eta _{xx}.\,}$

2番目の界面条件を代入し、通常モード表現を使用すると、この関係は次のようになる。${\displaystyle \scriptstyle c\eta =\Psi \,}$${\displaystyle \scriptstyle c^{2}\rho D\Psi =g\Psi \rho +\sigma k^{2}\Psi .}$

解を用いると、 ${\displaystyle \scriptstyle \Psi =e^{kz}}$

${\displaystyle c={\sqrt {{\frac {g}{k}}+{\frac {\sigma k}{\rho }}}}.}}$