周期進行波

数学において、周期進行波（または波列）は、一定の速度で移動する 1次元空間の周期関数です。したがって、これは空間と時間の両方の周期関数である 特殊なタイプの時空間振動です。

周期進行波は、自己振動系^[1]、[2]、 興奮性系^[3]、 反応拡散移流系^[4]など、多くの数学方程式で基本的な役割を果たしています。 これらのタイプの方程式は、生物学、化学、物理学の数学的モデルとして広く使用されており、周期進行波に似た現象の例が経験的に多数見つかっています。

周期進行波の数学的理論は偏微分方程式において最も発展しているが、これらの解は積分微分方程式^{[5] [6]} 積分差分方程式^[7] 結合写像格子^[8] およびセルオートマトン^{[9] [ 10]}を含む他の多くの種類の数学システムでも現れる。

周期的な進行波は、それ自体が重要であるだけでなく、2 次元空間の 螺旋波やターゲット パターン、および 3 次元空間のスクロール波の 1 次元版として重要です。

周期進行波は18世紀から波動方程式の解として知られていましたが、非線形システムにおけるその研究は1970年代に始まりました。初期の重要な研究論文は、ナンシー・コペルとルー・ハワードによる論文^[1]で、反応拡散方程式における周期進行波に関するいくつかの基本的な結果を証明しました。これに続いて、1970年代から1980年代初頭にかけて、重要な研究活動が行われました。その後、活動が停滞した時期がありましたが、周期進行波の生成に関する数学的研究^{[11] [12]や、}生態学における周期的個体群の時空間データセットでの検出^{[13] [14]によって、周期進行波への関心が再燃しました。2000年代半ば以降、周期進行波の研究は、その}安定性と絶対安定性を研究するための新しい計算方法の恩恵を受けています。^{[15] [16]}

周期進行波の存在は、通常、数式内のパラメータ値に依存します。周期進行波の解が存在する場合、通常、異なる波の速度を持つそのような解の族が存在します。偏微分方程式の場合、周期進行波は通常、波の速度の連続範囲で発生します。^[1]

重要な問題は、周期進行波が元の数学システムの解として安定しているか不安定であるかである。偏微分方程式の場合、波族が安定部分と不安定 部分に細分化されるのが一般的である。^{[1] [17] [18]} 不安定な周期進行波の場合、重要な副次的な問題は、それらが絶対的に不安定であるか対流的に不安定であるか、つまり定常成長線形モードが存在するかどうかである。^[19]この問題は、いくつかの偏微分方程式でのみ解決されている。^{[2] [15] [16]}

周期的な進行波を生成するメカニズムはいくつか確立されています。これには次のものが含まれます。

• 不均一性：パラメータ値の空間ノイズは、一連の周期的進行波の帯を生成する可能性がある。^[20]これは、不純物がターゲットパターンや螺旋波（周期的進行波の2次元一般化）を引き起こす可能性がある振動化学反応への応用において重要である。このプロセスは、1970年代から1980年代初頭にかけての周期的進行波に関する研究の多くに動機を与えた。景観の不均一性は、生態学で見られる周期的進行波の原因としても提案されている。^[21]
• 侵入は、その跡に周期的な移動波を残すことがあります。^{[11] [12] [22]}これは、通過流が存在するテイラー・クエットシステム、 ^[23]ベロウソフ・ジャボチンスキー反応などの化学システム、^{[24] [25]}および生態学における捕食者と被食者のシステムにおいて重要です。^{[26] [27]}

• 

  ディリクレ境界条件またはロビン境界条件による領域境界。 ^{[28] [29] [30]これは}生態学において潜在的に重要であり、ロビン条件またはディリクレ条件は生息地と周囲の敵対的な環境との境界に対応します。しかし、生態系における波動の原因に関する決定的な経験的証拠を得ることは困難です。
• 追跡と逃避によって起こる移動^{[31]これは}生態学的に重要な意味を持つかもしれない。
• 亜集団間の移動[ ^32]も潜在的な生態学的意義を持つ。

これらすべての場合において、重要な問題は、周期進行波ファミリーのどのメンバーが選択されるかということです。ほとんどの数学システムでは、これは未解決の問題のままです。

いくつかのパラメータ値では、波発生メカニズムから生じる周期進行波が不安定になることが一般的です。そのような場合、解は通常、時空間カオスへと進化します。^{[11] [27]}したがって、解は周期進行波を介してカオスへの時空間遷移を伴います。

周期進行波の原型として機能し、数学的理解と理論の発展の基礎となっている2つの特定の数学体系があります。これらは「ラムダ-オメガ」クラスの反応拡散方程式です^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\lambda (r)u-\omega (r)v}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\omega (r)u+\lambda (r)v}$$

（）と複素ギンツブルグ・ランダウ方程式^[2]${\textstyle r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=A+(1+ib){\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}-(1+ic)|A|^{2}A}$$

（Aは複素数値です）。λ ( r ) = 1 − r ²、ω ( r ) = − c r ²、b = 0の場合、これらのシステムは同じであることに注意してください。 両方のシステムは、振幅（ rまたは | A |）と位相（arctan( v / u )またはarg A ）について方程式を書き直すことで簡略化できます。 方程式をこのように書き直すと、振幅が一定の解は周期的な進行波であり、位相は空間と時間の線形関数であることが簡単にわかります。 したがって、uとv、または Re( A ) と Im( A ) は、空間と時間の正弦関数です。

周期進行波族のこれらの厳密解は、さらなる解析的研究を可能にする。周期進行波の安定性に関する厳密な条件は見出され、^{[1] [2]}、絶対安定性の条件は単純な多項式の解に還元できる。 [ ^{15] [16]}また、侵入によって生成される波の選択問題^{[22] [33]} およびゼロディリクレ境界条件によって生成される波の選択問題に対する厳密解も得られている。^{[34] [35]} 後者の場合、複素ギンツブルグ・ランダウ方程式の全体解は定常のノザキ・ベッキ穴である。^{[34] [36]}

複素ギンツブルグ-ランダウ方程式における周期的な進行波に関する研究の多くは物理学の文献に記載されており、そこではそれらは通常平面波として知られています。

ほとんどの数学方程式では、周期進行波解の解析計算は不可能であるため、数値計算を行う必要があります。偏微分方程式では、xとtをそれぞれ (1 次元の) 空間変数と時間変数として表します。周期進行波は、進行波変数z = x - c tの関数です。この解の形を偏微分方程式に代入すると、進行波方程式と呼ばれる常微分方程式系が得られます。周期進行波はこれらの方程式の限界サイクルに対応し、これが数値計算の基礎となります。標準的な計算方法は、進行波方程式の数値接続です。まず、定常状態の継続を実行してホップ分岐点を見つけます。これが、数値接続でたどることができる周期進行波解のブランチ (ファミリ) の開始点です。いくつかの（珍しい）ケースでは、周期進行波解の枝（族）の両端の点がホモクリニック解であり、^[37]その場合には偏微分方程式の数値解などの外部開始点を使用する必要があります。

周期進行波の安定性は、スペクトルを計算することによって数値的に計算することもできる。偏微分方程式の周期進行波解のスペクトルは、完全に本質的なスペクトルで構成されているという事実によって、この計算は容易になる。[ ^38] 数値的アプローチとしては、ヒル法^{[39]やスペクトルの数値接続[15]}などがある。後者のアプローチの利点の 1 つは、安定波と不安定波の間のパラメータ空間の境界を計算するために拡張できることである^[40]。

ソフトウェア:無料のオープンソースソフトウェアパッケージWavetrain http://www.ma.hw.ac.uk/wavetrainは、周期進行波の数値研究のために設計されています。^[41]数値接続 を使用して、Wavetrainは偏微分方程式の周期進行波解の形と安定性、および波が存在し安定しているパラメータ空間の領域を計算することができます。

経験的に発見された周期進行波に似た現象の例には以下のものがあります。

• 多くの自然個体群は、数年にわたる個体群の豊富さのサイクルを経験します。場合によっては、これらの個体群サイクルは、周期的な移動波として空間的に組織化されます。この行動は、フェノスカンジア^[13]と英国北部のハタネズミ^[14]、フェノスカンジア北部のシャクガ^[42]、ヨーロッパアルプスのカラマツの芽生え蛾^[21]、スコットランドのアカライチョウ^{[43]で確認されています。}
• 半砂漠では、植生は空間パターンに自己組織化することが多い。^[44]斜面では、これは通常、等高線に平行に走る植生の縞で構成され、裸地の縞で区切られています。このタイプの縞状の植生は、タイガーブッシュと呼ばれることもあります。多くの観察研究は、上り坂の方向に縞がゆっくりと移動していると報告しています。^[45]しかし、他の多くの場合、データは明らかに静止したパターンを示しており、^[46]移動の問題は依然として議論の余地があります。利用可能なデータと最も一致する結論は、一部の縞状の植生パターンは移動し、他のものは移動しないということです。^[47] 前者のカテゴリのパターンは、周期的な移動波の形をしています。
• 移動バンドは振動性化学反応や興奮性化学反応で発生します。これらは1970年代にベロウソフ・ジャボチンスキー反応で観測され^[48]、当時の周期移動波に関する数学的研究の重要な動機となりました。最近の研究では、詳細なモデル化を通じて、実験的に観測されたバンドと周期移動波の数学的理論を結び付ける能力も活用されています^{[49] 。}
• 太陽では、太陽活動周期の一環として周期的な進行波が発生します。^{[50] [51]これは、}太陽ダイナモによる太陽磁場の生成の結果です。そのため、太陽黒点と関連しています。
• 流体力学では、対流パターンには周期的な進行波が含まれることが多い。具体的な例としては、二成分流体対流^{[52]や加熱ワイヤ対流[53]}などがある。
• 周期的な進行波形のパターンは、「プリンターの不安定性」で発生し、回転する2つの非中心シリンダー間の細い隙間にオイルが充填されます。^[54]

• 平面波
• 反応拡散システム
• 波