電気双極子モーメント

点双極子(左上)、電荷の物理的双極子(右上)、薄い分極シート(左下)、またはプレートコンデンサ(右下)による電界。配置が極めて小さい場合、すべて同じ電界プロファイルを生成します。
一般的な記号	p
SI単位	クーロン-メートル(C⋅m)
SI基本単位では	メートル⋅秒⋅ A
寸法	有限責任会社

電気双極子モーメントは、システム内の正電荷と負電荷の分離の尺度、つまりシステム全体の極性の尺度です。電気双極子モーメントのSI 単位はクーロンメートル(C⋅m) です。デバイ(D) は、原子物理学と化学で使用される別の測定単位です。

理論的には、電気双極子は多重極展開の一次項によって定義され、実際の双極子は別々の電荷を持ちますが、電気双極子は互いに無限に接近した2つの等しく反対の電荷で構成されます。^{[注 1]}

物理学では、物体の大きさは無視できることが多く、点状の物体、つまり点粒子として扱うことができます。電荷を持つ点粒子は点電荷と呼ばれます。距離dで離れた電荷+ qを持つ点電荷と電荷− qを持つ点電荷の 2 つが電気双極子(電気多重極子の単純なケース)を構成します。この場合、電気双極子モーメントは大きさを持ち、負の電荷から正の電荷の方向に向いています。 $${\displaystyle p=qd}$$

より強力な数学的定義はベクトル代数を使用することです。2点電荷の双極子モーメントのように、大きさと方向を持つ量はベクトル形式で表現できるためです。ここで、dは負電荷から正電荷を指す変位ベクトルです。電気双極子モーメントベクトルpも負電荷から正電荷を指します。この定義では、双極子の方向は外部電場と一致する傾向があります（双極子自体の電荷によって生成される電気フラックスラインは正電荷から負電荷を指し、外部場のフラックスラインと反対になる傾向があることに注意してください）。この符号規則は物理学で使用され、正電荷から負電荷に向かう双極子の反対の符号規則は化学で使用されていることに注意してください。^[1]$${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }$$

この 2 つの電荷システムの理想化は、 2 つの (無限の) 電荷が無限に離れているが有限のpを持つ電気点双極子です。この量は分極密度の定義に使用されます。

電気双極子モーメントpを持つ物体は、外部電場E内に置かれるとトルク τを受ける。このトルクは双極子を電場に沿わせようとする。電場と平行に並ぶ双極子は、電場とゼロでない角度をなす双極子よりも位置エネルギーが低い。双極子が占める小さな領域全体に空間的に均一な電場がある場合、エネルギーUとトルクは次のように表される^[2]。${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ $${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} ,\qquad \ {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} .}$$

スカラー点積「⋅」と負の符号は、双極子が場と平行のときに位置エネルギーが最小になり、反平行のときに最大になり、垂直のときにゼロになることを示しています。記号「× 」はベクトル積を表します。電界ベクトルと双極子ベクトルは平面を定義し、トルクはその平面に対して垂直に、右手の法則で与えられる方向に向けられます。このような均一な場にある双極子はねじれたり振動したりしますが、双極子の線形加速がなければ全体的な正味の力は受けません。双極子は外部場と揃うようにねじれます。

しかし、不均一な電界では、双極子の一方の端にかかる力がもう一方の端にかかる力と釣り合わなくなるため、双極子は実際に正味の力を受ける可能性があります。この正味の力は、一般に双極子モーメントと平行であることが示されています。

より一般的には、体積V内に閉じ込められた電荷の連続分布の場合、双極子モーメントに対応する式は次のように なります。 ここで、r は観測点の位置を示し、d ³ r ′ はV内の基本体積を表します。点電荷の配列の場合、電荷密度はディラックのデルタ関数の合計になります。 ここで、各r _{i は}、ある基準点から電荷q _iへのベクトルです。上記の積分式に代入すると、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ')\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)d^{3}\mathbf {r} ',}$$$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right),}$$$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\,d^{3}\mathbf {r} _{0}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right).}$$

この式は、電荷が中性でN = 2 の場合の前の式と同等です。2 つの反対の電荷について、ペアの正電荷の位置をr ₊、負電荷の位置をr ₋と表します。 これは、点の位置ベクトルが原点からその点に向かって外側に向いている ため、双極子モーメント ベクトルが負電荷から正電荷に向かっていることを示しています。 $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=q_{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )+q_{2}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} )-q(\mathbf {r} _{-}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-})=q\mathbf {d} ,}$$

双極子モーメントは、一組の反対電荷や均一な電場内の中性導体など、電荷が全体的に中性であるシステムのコンテキストで特に役立ちます。このようなシステムを、一対の反対電荷の配列として視覚化すると、電気双極子モーメントの関係は次のようになります。 ここで、rは観測点、d _i = r ' _i − r _i、r _{i は}双極子i内の負電荷の位置、r ' _iは正電荷の位置です。これは、中性電荷ペアの個々の双極子モーメントのベクトルの合計です。(全体的な電荷の中性のため、双極子モーメントは観測者の位置rに依存しません。) したがって、システム全体の電荷がゼロであれば、 pの値は参照点の選択に依存しません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,\int _{V}q_{i}\left[\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\left(\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}\right)\right)-\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\right]\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\left[\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}-\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}\,,\end{aligned}}}$$

陽子の双極子モーメントのような非中性系の双極子モーメントについて議論する場合、参照点の選択に依存します。このような場合、参照点を任意の原点ではなく、系の質量中心に選択するのが慣例です。 ^[3] この選択は慣例の問題だけではありません。双極子モーメントの概念は、本質的にはトルクの力学的概念から派生したものであり、力学と同様に、観測点として質量中心を選択することは計算上および理論的に有用です。荷電分子の場合、参照点は質量中心ではなく電荷中心である必要があります。中性系の場合、参照点は重要ではなく、双極子モーメントは系の 固有の特性です。

理想的な双極子は、無限に小さい距離にある 2 つの反対の電荷で構成されます。このような理想的な双極子のポテンシャルとフィールドは、距離d > 0にある 2 つの反対の電荷から始めて、 d → 0の極限をとって計算します。

2 つの近接した反対電荷 ± q には、クーロンの法則 による 電荷密度に対応する次 の形式の電位があり 、電荷間隔は次のようになります。 $${\displaystyle V(\mathbf {r} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right|}}-{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right|}}\right),}$$$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )\ =\ -\varepsilon _{0}\nabla ^{2}V\ =\ q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right)-q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right)}$$$${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-}\,,\quad d=|\mathbf {d} |\,.}$$

R を中点に対する位置ベクトル、対応する単位ベクトル を表すとします。${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}}$$${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}},\quad {\hat {\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {R} }{|\mathbf {R} |}}\,.}$$

のテイラー展開（多極子展開と四極子展開を参照）は、このポテンシャルを級数として表します。^{[4] [5]} ここで、級数の高次の項は、dと比較して大きな距離Rで消えます。^{[注 2]}ここで、電気双極子モーメントpは、上記のとおりです。 ${\displaystyle {\tfrac {d}{R}}}$ $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{R^{3}}}\right)\ \approx \ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{|\mathbf {R} |^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {R} }{|\mathbf {R} |^{3}}}\,,}$$$${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} \,.}$$

双極子ポテンシャルの結果は次のように表すこともできる: ^[7] $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\approx -\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\,,}$$

これは双極子の電位と点電荷の電位を関連付けます。重要な点は、双極子の電位は点電荷の電位よりも 距離Rとともに急速に低下することです。

双極子の電場は負の電位勾配であり、次の式が成り立ちます。^[7] $${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {R} \right)={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\right){\hat {\mathbf {R} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}\,.}$$

したがって、2 つの近接した反対の電荷は、理想的な電気双極子とはまったく異なりますが(短距離での電位は双極子の電位ではないため)、電荷間の距離よりもはるかに大きい距離では、双極子モーメントp が電位と電場に直接現れます。

2 つの電荷が近づくにつれて ( dが小さくなる)、比d / Rに基づく多重極展開の双極子項は、距離Rがさらに近づくにつれて唯一の重要な項となり、無限小の分離の限界では、この展開の双極子項がすべて重要になります。ただし、 d が無限小になると、 p を一定に保つために双極子電荷を増加させる必要があります。この制限プロセスにより、「点双極子」が生成されます。

電荷配列の双極子モーメントは、 配列の極性の度合いを決定しますが、中性配列の場合、それは単に配列のベクトル特性であり、配列の絶対位置に関する情報はありません。配列の双極子モーメント密度p ( r ) には、配列の位置と双極子モーメントの両方が含まれます。配列を含む領域の電界を計算するときは、マクスウェル方程式を解き、電荷配列に関する情報はマクスウェル方程式の分極密度P ( r ) に含まれます。電界の評価がどの程度きめ細かく必要かによって、電荷配列に関する情報はP ( r ) で多かれ少なかれ表す必要があります。以下で説明するように、 P ( r ) = p ( r )とすれば十分な精度になる場合があります。より詳細な説明が必要な場合 (たとえば、双極子モーメント密度に四重極密度を追加するなど) や、さらに複雑なバージョンのP ( r ) が必要になる場合もあります。 $${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d_{i}} \,,}$$

ここでは、マクスウェル方程式に代入される分極密度P ( r ) が、中性電荷配列全体の双極子モーメントpと、双極子モーメント密度p ( r ) (双極子モーメントだけでなく配列の位置も記述) とどのように関係しているかを調べます。以下では静的な状況のみを考慮するため、P ( r ) には時間依存性がなく、変位電流もありません。まず、分極密度P ( r )について少し説明します。次に、いくつかの具体的な例を示します。

電荷と電流を「自由」電荷と「束縛」電荷と電流に分割することに基づくマクスウェル方程式の定式化により、 DフィールドとPフィールド が導入されます。 ここで、P は分極密度と呼ばれます。この定式化では、この方程式の発散により次の式が得られます。 また、Eの発散項は総電荷であり、ρ _{f は}「自由電荷」であるため、次の関係が残ります。ここで、 ρ _{b は}束縛電荷で あり、これは総電荷密度と自由電荷密度の差を意味します。 $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,,}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} +\nabla \cdot \mathbf {P} \,,}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{\text{b}}\,,}$$

余談ですが、磁気効果がない場合、マクスウェル方程式は以下を示唆します 。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\boldsymbol {0}}\,,}$$$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {D} -\mathbf {P} \right)={\boldsymbol {0}}\,,}$$

ヘルムホルツ分解を適用すると：^[8] あるスカラーポテンシャルφに対して、 $${\displaystyle \mathbf {D} -\mathbf {P} =-\nabla \varphi \,,}$$$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {D} -\mathbf {P} )=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}=-\nabla ^{2}\varphi \,.}$$

電荷が自由電荷と束縛電荷に分けられ、電位が $${\displaystyle \varphi =\varphi _{\text{f}}+\varphi _{\text{b}}\,.}$$

φの境界条件の充足は、φ _fとφ _bの間で任意に分割できます。これは、これらの条件を満たす必要があるのはφ の合計だけだからです。したがって、 P は、境界として選択された電荷による電場と単純に比例し、境界条件は便利です。^{[注 3] [注 4]}特に、自由電荷が存在しない場合は、 P = ε ₀ Eという選択肢が考えられます。

次に、媒体のいくつかの異なる双極子モーメントの記述が、マクスウェル方程式に入る偏光とどのように関係するかについて説明します。

次に説明するように、分極モーメント密度p ( r )のモデルは 、同じモデルに制限された分極をもたらします 。滑らかに変化する双極子モーメント分布p ( r ) の場合、対応する束縛電荷密度は、 部分積分 によって簡単に証明できます。ただし、p ( r ) が2つの領域間の境界で双極子モーメントに急激なステップを示す場合、∇· p ( r ) は束縛電荷の表面電荷成分をもたらします。この表面電荷は、表面積分を通じて、または以下のさまざまな例に示すように、境界での不連続条件を使用して処理できます。 $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} (\mathbf {r} )}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=-\rho _{\text{b}},}$$

双極子モーメントと分極を関連付ける最初の例として、連続電荷密度ρ ( r ) と連続双極子モーメント分布p ( r ) で構成される媒体を考えます。^{[注 5]}位置rでのポテンシャルは、次のようになります。^{[10] [11]} ここで、ρ ( r ) は不対電荷密度、p ( r ) は双極子モーメント密度です。^{[注 6]}恒等式の使用: 分極積分は次のように変換できます。 ここで、ベクトル恒等式は最後の手順で使用しました。最初の項は、積分体積を囲む表面上の積分に変換でき、後述する表面電荷密度に寄与します。この結果をポテンシャルに戻し、表面電荷は今のところ無視します。 ここで、体積積分は境界面までしか拡張されず、この表面は含まれません。 $${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ +{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0},}$$$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\\={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\implies \mathbf {A} \cdot (\nabla {B})=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}}$$$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,,}$$

電位は総電荷によって決まります。上記は 以下を示しています。 $${\displaystyle \rho _{\text{total}}\left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,}$$$${\displaystyle -\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho _{\text{b}}\,.}$$

つまり、双極子モーメント密度p ( r ) は、この媒体の分極密度Pの役割を果たします。 p ( r ) は、（この近似でモデル化されているように）束縛電荷密度に等しい非ゼロの発散を持つことに 注意してください。

このアプローチは、双極子、四極子など、すべての多極子を含むように拡張できることに留意されたい。^{[12] [13]}次の関係式を用いると、 分極密度は次のようになる。ここ で、追加された項は、より高次の多極子からの寄与を示すためのものである。明らかに、より高次の多極子を含めることは、分極密度P がもはや双極子モーメント密度pのみによって決定されないことを意味する。例えば、電荷アレイからの散乱を考えると、異なる多極子は電磁波を異なる方法で独立して散乱するため、双極子近似を超えた電荷の表現が必要となる。^{[14] [15]}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}\,,}$$$${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} _{\text{dip}}-\nabla \cdot \mathbf {p} _{\text{quad}}+\cdots \,,}$$

上記では、双極子による電位の式の最初の項については説明を延期しました。発散を積分すると、表面電荷が生じます。右の図は、表面電荷が発生する理由を直感的に理解できるものです。この図は、2 つの表面の間にある同一の双極子の均一な配列を示しています。内部的には、双極子の頭と尾は隣接しており、打ち消し合います。ただし、境界面では打ち消し合いは発生しません。代わりに、1 つの表面では双極子の頭が正の表面電荷を生成し、反対側の表面では双極子の尾が負の表面電荷を生成します。これらの 2 つの反対の表面電荷は、双極子の方向と反対の方向に正味の電界を生成します。

この考え方は、上記の電位表現を使用して数学的に表されます。自由電荷を無視すると、電位は次のようになります。 $${\displaystyle \phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,.}$$

発散定理を用いると、発散項は表面積分に変換されます。d A ₀ は体積の表面積の要素です。p ( r ) が定数である 場合は、表面積項のみが残ります。d A ₀ は電荷を囲む表面の基本面積です。つまり、表面内の定数pによる電位は、p の方向の成分を持つ表面要素に対しては正で、反対を向いている表面要素に対しては負の表面電荷の電位に相当します。(通常、表面要素の方向は、要素の位置で表面の外向きの法線の方向とみなされます。) $${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot d\mathbf {A} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\,,}$$$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,}$$ $${\displaystyle \sigma =\mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} }$$

境界面が球で、観測点がこの球の中心にある場合、球面上の積分はゼロです。つまり、電位に対する正と負の表面電荷の寄与は打ち消されます。ただし、観測点が中心から外れている場合は、正と負の電荷が観測点から異なる距離にあるため、（状況によっては）正味の電位が生じることがあります。^{[注 7]}表面電荷による電界は次のようになります。 これは、球状の境界面の中心ではゼロにはなりません（中心の反対側にある負と正の電荷の電界は同じ方向を向いているため、電界は加算されます）。代わりに次のようになります。^[17]$${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla _{\mathbf {r} }\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{3\varepsilon _{0}}}\,.}$$

双極子の分極が外部場によって誘発されたと仮定すると、分極場は印加場と反対になり、脱分極場と呼ばれることもある。^{[18] [19]分極が球状空洞}の外側にある場合、周囲の双極子による空洞内の場は分極と同じ方向になる。 ^{[注 8]}

特に、電気感受率が近似によって導入される場合、 この場合および以下の場合において、 Eは分極を誘導する 外部場を表します。$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\,,}$$

それから： $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\nabla \cdot \left(\chi (\mathbf {r} )\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\right)=-\rho _{\text{b}}\,.}$$

χ ( r ) を使って 2 つの領域の境界にあるステップ不連続をモデル化する と、そのステップによって表面電荷層が生成されます。たとえば、境界面の法線に沿って、ある面のすぐ内側の点からすぐ外側の別の点まで積分すると、次のようになります。 ここで、 A _n、 Ω _{n は}、領域間の境界にまたがる基本領域の面積と体積、および表面の単位法線を示します。 ρ _bが有限であるため、体積が縮小すると右辺は消え、Eに不連続があり、したがって表面電荷があることを示します。つまり、モデル化された媒体に誘電率のステップが含まれる場合、双極子モーメント密度に対応する分極密度には 、必然的に表面電荷の寄与が含まれます。^{[21] [22] [23]}$${\displaystyle \varepsilon _{0}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \left[\chi \left(\mathbf {r} _{+}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{+}\right)-\chi \left(\mathbf {r} _{-}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{-}\right)\right]={\frac {1}{A_{n}}}\int d\Omega _{n}\ \rho _{\text{b}}=0\,,}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

p ( r )の物理的により現実的なモデル化では、双極子モーメント密度は、閉じ込め領域の境界で急激に、しかし滑らかにゼロに低下し、密度がゼロに突然低下することはありません。この場合、表面電荷は、無限に薄い表面に集中するのではなく、滑らかに変化する双極子モーメント密度の発散として、薄いが有限の遷移層全体に分散されます。

表面電荷に関する上記の一般的な考察は、均一な電界内の誘電体球の例を考えることによってより具体的になります。^{[25] [26]}球は、その内部の双極子モーメントに関連した表面電荷をとることがわかります。

均一な外部電場はz方向を向いていると想定され、球面極座標が導入されているため、この電場によって生成される電位は次のようになります。 $${\displaystyle \phi _{\infty }=-E_{\infty }z=-E_{\infty }r\cos \theta \,.}$$

球は誘電率 κで記述されると仮定します。つまり、 球の内部では電位がラプラス方程式を満たします。詳細を少し省略すると、球の内部での解は次のようになります。 一方、球の外部では次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {D} =\kappa \varepsilon _{0}\mathbf {E} \,,}$$$${\displaystyle \phi _{<}=Ar\cos \theta \,,}$$$${\displaystyle \phi _{>}=\left(Br+{\frac {C}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.}$$

距離が長い場合、 φ _> → φ _∞となるので、B = − E _∞となる。ポテンシャルの連続性と変位の半径成分D = κε ₀ Eの連続性により、他の 2 つの定数が決まる。球の半径をRとすると、 $${\displaystyle A=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }\ ;\ C={\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }R^{3}\,,}$$

その結果、電位は次のようになります。 これは印加電界による電位であり、さらに印加電界の方向（z方向）の双極子モーメントの双極子です。 または、単位体積あたり： $${\displaystyle \phi _{>}=\left(-r+{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}{\frac {R^{3}}{r^{2}}}\right)E_{\infty }\cos \theta \,,}$$$${\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}R^{3}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,}$$$${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,.}$$

係数( κ − 1)/( κ + 2)はクラウジウス・モソッティ係数と呼ばれ、 κ < 1の場合に誘導分極の符号が反転することを示しています。 もちろん、これはこの例では発生しませんが、2 つの異なる誘電体の例では、κ は内側領域と外側領域の誘電率の比に置き換えられ、1 より大きくても小さくてもかまいません。 球体内部の電位は次のとおりです。 球体 内部の電界につながります。 これ は双極子の脱分極効果を示しています。 球体内部の電界は均一で、印加電界と平行であることに注意してください。 双極子モーメントは球体内部全体で均一です。 球体上の表面電荷密度は、放射状の電界成分の差です。 $${\displaystyle \phi _{<}=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }r\cos \theta \,,}$$$${\displaystyle -\nabla \phi _{<}={\frac {3}{\kappa +2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,}$$$${\displaystyle \sigma =3\varepsilon _{0}{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }\cos \theta ={\frac {1}{V}}\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\,.}$$

この線形誘電体の例は、誘電率の扱いが均一な双極子モーメント モデルと同等であり、球の境界の表面電荷を除くすべての場所で電荷がゼロになることを示しています。

観測が電荷系から十分離れた領域に限定されている場合、正確な分極密度の多極展開を行うことができます。この展開を打ち切ることによって（たとえば、双極子項のみ、または双極子項と四極子項のみ、など）、前のセクションの結果が回復されます。特に、双極子項で展開を打ち切ると、結果は電荷領域に限定された均一な双極子モーメントによって生成される分極密度と区別がつかなくなります。前のセクションで示したように、この双極子近似の精度では、双極子モーメント密度 p ( r )（ pだけでなくpの位置も含む）はP ( r )として機能します。

電荷配列の内部で、電荷対の配列を双極子モーメント密度p ( r ) のみを含む近似に結び付けるには、追加の考慮が必要です。最も単純な近似は、電荷配列を理想的な (無限小間隔の) 双極子のモデルに置き換えることです。特に、有限領域に限定された一定の双極子モーメント密度を使用する上記の例のように、表面電荷と脱分極場が生じます。このモデルのより一般的なバージョン (分極が位置によって変化することを可能にする) は、電気感受率または電気誘電率を使用する通常のアプローチです。

点電荷配列のより複雑なモデルでは、微視的電荷を平均化することで有効媒体を導入する。 ^[19]たとえば、平均化によって双極子場のみが役割を果たすように調整できる。^{[27] [28]}関連するアプローチは、電荷を観測点に近い電荷と、多極子展開を可能にするほど遠くにある電荷に分割することである。すると、近くの電荷は局所場効果を引き起こす。^{[17] [29]}このタイプの一般的なモデルでは、遠くの電荷は誘電率を使用して均質媒体として扱われ、近くの電荷は双極子近似のみで扱われる。^[30]媒体または電荷配列を双極子とそれに関連する双極子モーメント密度のみで近似することは、点双極子近似、離散双極子近似、または単に双極子近似と呼ばれることがある。^{[31] [32] [33]}

粒子の磁気双極子モーメントと混同しないように、基本粒子と複合粒子、すなわちそれぞれ電子と中性子の電気双極子モーメント（EDM、または異常電気双極子モーメント）を測定するための多くの実験研究が続けられています。EDMはパリティ（P）対称性と時間反転（T）対称性の両方に違反するため、その値は自然界におけるCP対称性の破れのほとんどモデルに依存しない尺度となります（ CPT対称性が有効であると仮定）。^{[34]したがって、これらのEDMの値は、}素粒子物理学の標準モデルの拡張によって可能になるCP対称性の破れのスケールに強い制約を課します。現在の世代の実験は、EDMの超対称性範囲に敏感になるように設計されており、 LHCで行われた実験を補完する実験を提供します。^[35]

実際、多くの理論は現在の限界と矛盾しており、事実上排除されており、確立された理論はこれらの限界よりもはるかに大きな値を許容しており、強いCP問題につながり、アクシオンなどの新しい粒子の探索を促しています。^[36]

少なくとも湯川セクターでは中性K中間子の振動からCPが破れていることが分かっている。電子や中性子などさまざまな粒子の電気双極子モーメントを測定する実験が行われてきた。標準モデルを超えてCPを破る項を追加した多くのモデルは、一般的にゼロではない電気双極子モーメントを予測するため、このような新しい物理に敏感である。量子色力学におけるゼロではないθ項からのインスタントン補正は、中性子と陽子のゼロではない電気双極子モーメントを予測するが、これは実験では観測されていない（最良の境界は中性子の解析から得られる）。これが強いCP問題であり、カイラル摂動論の予測である。

分子の双極子モーメントは、外部電場の存在下での物質の挙動に関係しています。双極子は、一定または時間依存の外部電場に沿う傾向があります。この効果は、誘電分光法と呼ばれる現代の実験技術の基礎を形成しています。

双極子モーメントは水などの一般的な分子だけでなく、タンパク質などの生体分子にも見られます。^[37]

ある物質の全双極子モーメントを用いて、より直感的な導電率の概念に関連する誘電率を計算することができます。サンプルの全双極子モーメントが である場合、誘電率は で与えられます。ここ で、kは定数、 は全双極子モーメントの時間相関関数です。一般に、全双極子モーメントは、サンプル内の分子の並進と回転から生じる寄与を持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\rm {Tot}}}$$${\displaystyle \varepsilon =1+k\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle }$$${\displaystyle \left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0){\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0)\right\rangle }$$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}={\mathcal {M}}_{\text{Trans}}+{\mathcal {M}}_{\text{Rot}}.}$$

したがって、誘電率（および導電率）は両方の項からの寄与を持つ。このアプローチは、周波数依存の誘電関数を計算するために一般化することができる。^[38]

電子構造理論から、定常電場への応答として、または密度行列から双極子モーメントを計算することが可能である。 ^[39]しかし、核量子効果が存在する可能性があるため、そのような値は実験と直接比較することはできない。核量子効果は、アンモニア分子のような単純なシステムでもかなり大きくなる可能性がある。^[40] 結合クラスター理論（特にCCSD(T) ^[41]）は非常に正確な双極子モーメントを与えることができるが、^[42]密度汎関数理論から、特にハイブリッドまたは二重ハイブリッド汎関数が採用されている場合、妥当な推定値（約5%以内）を得ることは可能である。^[43]分子の双極子モーメントは、グループ寄与法の概念を使用して分子構造に基づいて計算することもできる。^[44]

• メルビン・シュワルツ (1987)。「電気双極子モーメント」。電気力学の原理( 1972年版の再版)。Courier Dover Publications。p. 49 ff。ISBN 978-0-486-65493-5。

• 電気双極子モーメント – エリック・ワイスタインの物理学の世界より
• 静電双極子マルチフィジックスモデル^{[永久リンク切れ‍ ]}