電磁波方程式

電磁波方程式は、媒質中または真空中における電磁波の伝播を記述する2階偏微分方程式です。これは波動方程式の3次元形式です。電場 $E$ または磁場 $B$ のいずれかを用いて表される同次形式の方程式は、次のようになります。

${\begin{aligned}\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}$

どこ

$v_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$

は、透磁率 $μ$ および誘電率 $ε$ の媒質中の光速(すなわち位相速度)であり、 $\nabla$ $2$ はラプラス演算子です。真空中では、 $v$ $ph$ $=$ $c$ $0$ $=$ $299792458 m/s$ 、基本的な物理定数。^{[ 1 ]} 電磁波方程式はマクスウェル方程式から導出される。古い文献のほとんどでは、 $B$ は磁束密度または磁気誘導と呼ばれている。次の方程式 ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}$ 電磁波はすべて横波でなければならない、つまり電場 $E$ と磁場 $B$ の両方が波の伝播方向に対して垂直でなければならない、という前提。

電磁波方程式の起源

1865年の論文「電磁場の動力学的理論」において、ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、 1861年の論文「物理的な力線について」の第III部で行ったアンペールの周回法則の修正を利用した。 1864年の論文「光の電磁理論」の第VI部^[²^]において、マクスウェルは変位電流を電磁気学の他のいくつかの方程式と組み合わせ、光速に等しい速度を持つ波動方程式を得た。彼は次のようにコメントした。

結果の一致は、光と磁気が同じ物質の現象であり、光は電磁気法則に従って場を伝播する電磁擾乱であることを示しているように思われる。^{[ 3 ]}

現代の物理教育では、マクスウェルによる電磁波方程式の導出は、アンペールの周回積分法則の修正版とファラデーの誘導法則を組み合わせる、はるかに簡便な方法に取って代わられている。

現代的な方法を用いて真空中の電磁波方程式を導出するために、まずマクスウェル方程式の現代的な「ヘヴィサイド」形式から始めます。真空で電荷のない空間では、これらの方程式は次のようになります。

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}$

これらは、電荷と電流の両方がゼロに設定された場合に特化した一般的なマクスウェル方程式である。回転方程式の回転を取ると、次のようになる。

${\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)&=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

ベクトル恒等式を使用できる

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V}$

ここで、 $V$ は空間の任意のベクトル関数である。そして

$\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)$

ここで $、\nabla V$ はダイアディックであり、発散演算子 $\nabla \cdot を$ 作用させるとベクトルが得られます。

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}$

すると、恒等式の右辺の最初の項が消滅し、波動方程式が得られます。

${\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}$

どこ

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/s}}$

は自由空間における光速です。

同次波動方程式の共変形式

横方向運動における時間の遅れ。あらゆる慣性系において光速が一定であるという要件は、特殊相対性理論につながる。

これらの相対論的方程式は、反変形式で次のように記述できます。

$\Box A^{\mu }=0$

電磁四元電位は

$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

ローレンツゲージ条件の場合：

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$

そしてどこで

$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

はダランベール演算子です。

曲がった時空における同次波動方程式

電磁波方程式は2つの方法で修正される。1つは微分が共変微分に置き換えられること、もう1つは曲率に依存する新しい項が現れることである。

${\displaystyle -{A^{\alpha$

どこ ${R^{\alpha }}_{\beta }$ はリッチ曲率テンソルであり、セミコロンは共変微分を表します。

曲がった時空におけるローレンツゲージ条件の一般化を仮定する。

${A^{\mu }}_{;\mu }=0.$

非均質電磁波方程式

局所的に時間変化する電荷密度と電流密度は、真空中で電磁波の発生源となり得る。マクスウェル方程式は、発生源を含む波動方程式の形で記述できる。波動方程式に発生源を加えることで、偏微分方程式は非斉次となる。

同次電磁波方程式の解

電磁波方程式の一般解は、次の形式の波の線形重ね合わせである。

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{aligned}}$

無次元引数 $φを持つほぼ$ すべての良好な関数 $g$ に対して、 $ω$ は角周波数（ラジアン毎秒）、 $k$ $= ($ $k$ $x$ $、$ $k$ $y$ $、$ $k$ $z$ $)は$ 波数ベクトル（ラジアン毎メートル）である。

関数 $gは単色$ 正弦波であることが多く、実際にも単色正弦波となる場合があるが、必ずしも正弦波である必要はなく、周期性を持つ必要もない。実際には、実在する電磁波は常に時間的にも空間的にも有限の広がりを持つため、 $gは$ 無限の周期性を持つことはできない。したがって、フーリエ分解の理論に基づけば、実在する波は無限個の正弦波周波数の重ね合わせから構成される必要がある。

さらに、有効な解を得るためには、波数ベクトルと角周波数は独立ではなく、以下の分散関係に従わなければならない。

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

ここで、 $k$ は波数、 $λは$ 波長である。変数 $cは$ 、電磁波が真空中にある場合にのみ、この式で使用できる。

単色、正弦波定常状態

波動方程式の最も単純な解は、単一周波数の正弦波形を分離可能な形で仮定することによって得られる。

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}$

どこ

$iは$ 虚数単位です。
$ω = 2 π f$ はラジアン毎秒の角周波数です。
$f$ はヘルツ単位の周波数であり、
$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ これはオイラーの公式です。

平面波解

単位法線ベクトルによって定義される平面を考える

$\mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.$

すると、波動方程式の平面進行波解は次のようになる。

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}$

ここで、 $r = (x, y, z)$ は位置ベクトル（メートル単位）です。

$これらの解は、法線ベクトルn$ の方向に伝搬する平面波を表しています。z 方向を $n$ $の$ 方向、 $x方向を$ $E$ の方向と定義すると、磁場は $y$ 方向にあり、電場と次の関係式で結び付けられます。

$c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.$

電場と磁場の発散がゼロであるため、伝搬方向には場が存在しない。

この解は、波動方程式の直線偏光解である。法線ベクトルを中心に電場が回転する円偏光解も存在する。

スペクトル分解

真空中におけるマクスウェル方程式の線形性により、解は正弦波の重ね合わせに分解できる。これが微分方程式の解法であるフーリエ変換法の基礎となっている。電磁波方程式の正弦波解は次の形式をとる。

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{aligned}}$

どこ

$t$ は時間（秒単位）です。
$ωは$ 角周波数（ラジアン毎秒）です。
$k = (k x, k y, k z)$ は波数ベクトル(ラジアン/メートル) であり、
$\phi _{0}$ は位相角（ラジアン単位）です。

波数ベクトルは角周波数と次の関係にある。

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

ここで、 $k$ は波数、 $λは$ 波長である。

電磁スペクトルとは、波長の関数として電場の強さ（またはエネルギー）をグラフ化したものである。

多重極展開

時間とともに変化する単色場を仮定すると $e^{-i\omega t}$ マクスウェル方程式を用いて $Bを$ 消去すると、電磁波方程式は $E$ に関するヘルムホルツ方程式に帰着する。

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,$

上記のように $k = ω / c$ とする。あるいは、 $E を$ $B$ に置き換えて消去すると、次の式が得られる。

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .$

$周波数ω$ の一般的な電磁場は、これら 2 つの方程式の解の和として表すことができます。ヘルムホルツ方程式の 3 次元解は、球面ベッセル関数に比例する係数を持つ球面調和関数の展開として表すことができます。ただし、この展開を $E$ または $B$ の各ベクトル成分に適用すると、一般的に発散ゼロ ( $\nabla \cdot$ $E$ $= \nabla \cdot$ $B$ $= 0$ ) ではない解が得られるため、係数に追加の制約が必要になります。

多重極展開では、 $E$ や $B$ ではなく、 $r \cdot E$ または $r \cdot B$ を球面調和関数に展開することで、この困難を回避します。発散のない場 $F$ の場合、 $\nabla$ $2$ $($ $r$ $\cdot$ $F$ $) =$ $r$ $\cdot (\nabla$ $2$ $F$ $)となるため、これらの展開は$ $E$ と $B$ に関する元のヘルムホルツ方程式を依然として解きます。一般的な電磁場に対する結果として得られる式は次のとおりです。

${\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]\,,\end{aligned}}$

どこ $\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}$ そして $\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}$ は次数 (l, m) の電気多重極場であり、 $\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}$ そして $\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}$ は対応する磁気多重極場であり、 $E (l, m)$ と $M (l, m) は$ 展開係数である。多重極場は次のように与えられる $。$

${\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\,,\end{aligned}}$

ここで、 $h l (1,2) (x)は$ 球面ハンケル関数であり、 $E l (1,2)$ および $B l (1,2)$ は境界条件によって決定され、

$\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}$

ベクトル球面調和関数は、

$\int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.$

電磁場の多重極展開は、球対称性を伴う多くの問題、例えばアンテナの放射パターンや核のガンマ崩壊などに応用される。これらの応用では、遠方場における放射電力に関心が寄せられることが多い。この領域では、 $E$ 場と $B$ 場は漸近的に近似する。

${\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}$

時間平均放射電力の角度分布は次のように表される。

${\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.$

注記

↑現在の慣例では、 ISO 31に従って真空中の光速を表すのに $c$ $0$ を使用します。1983 年の元の勧告では、この目的のために記号 $c$ が使用されていました。NIST特別刊行物 330、付録 2、p. 45を参照してください。2016 年6月 3 日にWayback Machineにアーカイブされました。
↑マクスウェル 1864、497ページ。
↑マックスウェル著、1864年、499ページを参照

さらに読む

電磁気

学術論文

ジェームズ・クラーク・マクスウェル、「電磁場の動力学的理論」、ロンドン王立協会哲学紀要155、459-512（1865年）。（この論文は、1864年12月8日にマクスウェルが王立協会で行った講演に付随するものである。）

学部生レベルの教科書

グリフィス、デイビッド・J. (1998).電磁気学入門（第3版） . プレンティス・ホール. ISBN 0-13-805326-X。
ティプラー、ポール（2004）。科学者と技術者のための物理学：電気、磁気、光、および初等現代物理学（第5版）。WHフリーマン。ISBN 0-7167-0810-8。
エドワード・M・パーセル著『電気と磁気』（マグロウヒル社、ニューヨーク、1985年）。ISBN 0-07-004908-4。
ヘルマン・A・ハウス、ジェームズ・R・メルヒャー著『電磁場とエネルギー』（プレンティス・ホール、1989年）ISBN 0-13-249020-X。
バネシュ・ホフマン著『相対性理論とそのルーツ』（フリーマン社、ニューヨーク、1983年）。ISBN 0-7167-1478-7。
David H. Staelin、Ann W. Morgenthaler、Jin Au Kong著、『電磁波』（Prentice-Hall、1994年）ISBN 0-13-225871-4。
チャールズ・F・スティーブンス著『現代物理学の6つの基本理論』（MIT出版、1995年）ISBN 0-262-69188-4。
マルクス・ザーン著『電磁場理論：問題解決アプローチ』（ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1979年）ISBN 0-471-02198-9

大学院レベルの教科書

ジャクソン、ジョン・D. (1998).古典電磁気学（第3版） . ワイリー. ISBN 0-471-30932-X。
ランダウ、LD、 『場の古典理論』（理論物理学講義：第2巻）（バターワース＝ハイネマン：オックスフォード、1987年）。ISBN 0-08-018176-7。
マクスウェル、ジェームズ・C. (1954).電気と磁気に関する論考. ドーバー出版. ISBN 0-486-60637-6。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
チャールズ・W・ミスナー、キップ・S・ソーン、ジョン・アーチボルド・ウィーラー著『重力』（1970年）、WHフリーマン社、ニューヨーク；ISBN 0-7167-0344-0（マクスウェル方程式を微分形式で解説する。）

ベクトル解析

PC マシューズ『ベクトル解析』、シュプリンガー、1998年、ISBN 3-540-76180-2
HM Schey著、『Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus』第4版（WW Norton & Company、2005年）ISBN 0-393-92516-1。

[1] 現在の慣例では、 ISO 31に従って真空中の光速を表すのに $c$ $0$ を使用します。1983 年の元の勧告では、この目的のために記号 $c$ が使用されていました。NIST特別刊行物 330、付録 2、p. 45を参照してください。2016 年6月 3 日にWayback Machineにアーカイブされました。

[2] マクスウェル 1864、497ページ。

[3] マックスウェル著、1864年、499ページを参照

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