ラブウェーブ

弾性力学では、オーガスタス・エドワード・ハフ・ラブにちなんで名付けられたラブ波は、水平に偏波した表面波です。ラブ波は、一方の側が弾性半空間に接着され、もう一方の側が真空に接する弾性層によって誘導される多くの剪断波 ( S 波) の干渉の結果です。地震学では、ラブ波( Q 波( Q uer: ドイツ語で横方向)とも呼ばれる) は、地震の際に地球の水平方向の移動を引き起こす表面地震波です。オーガスタス・エドワード・ハフ・ラブは、1911 年に数学的にラブ波の存在を予言しました。ラブ波は、P 波やS 波(どちらも実体波)、レイリー波(別の種類の表面波)などの他の種類の地震波とは異なる明確なクラスを形成します。ラブ波の伝わる速度は、P 波や S 波よりも遅いですが、レイリー波よりは速いです。これらの波は、高速度層/サブ層の上に低速度層がある場合にのみ観測されます。

ラブ波の粒子運動は水平線を形成します。伝播方向に対して垂直です(つまり、横波です)。物質の奥深くまで進むと、運動は「節」まで減少し、その後、粒子のより深い層を調べるにつれて、交互に増加と減少を繰り返します。振幅、つまり最大粒子運動は、深さとともに急速に減少することがよくあります。

ラブ波は地球の表面を伝わるため、波の強さ（または振幅）は地震の深さとともに指数関数的に減少します。しかし、ラブ波は地表に限定されているため、その振幅は （は地震から波が伝わった距離）に応じてのみ減少します。したがって、表面波は、3 次元で伝わる実体波よりも距離とともにゆっくりと減衰します。大地震では、ラブ波が発生し、それが消散する前に地球を数回周回することがあります。 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$${\displaystyle r}$

ラブ波は減衰が非常に遅いため、地震の震源地のすぐ外側で最も破壊的な波となります。ラブ波は、地震の際にほとんどの人が直接感じる波です。

昔は、猫や犬などの動物は地震が起こる前にそれを予知できると考えられていました。しかし、彼らは人間よりも地面の振動に敏感で、ラブ波に先立つP波やS波などのより微細な実体波を感知できるのです。^[1]

線形弾性体の線形運動量保存則は次のように表される^[2]。

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}$

ここで、は変位ベクトル、 は剛性テンソルです。ラブ波は、この方程式系を満たす特別な解 ( ) です。ラブ波を記述するには、通常、直交座標系 ( ) を使用します。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle x,y,z}$

弾性特性が座標のみの関数である等方性線形弾性媒体、すなわちラメパラメータと質量密度が と表されるものを考える。ラブ波によって生じる変位は時間の関数として次の式で表される。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda (z),\mu (z),\rho (z)}$${\displaystyle (u,v,w)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.}$

したがって、これらは平面に垂直な面外せん断波です。関数は、さまざまな波数（）と周波数（ ）を持つ調和波の重ね合わせとして表すことができます。単一の調和波、つまり ${\displaystyle (x,z)}$${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

ここで は虚数単位、すなわち である。これらの変位によって生じる 応力は${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}$

仮定した変位を運動量保存則の式に代入すると、簡略化された式が得られる。

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}$

ラブ波の境界条件は、自由表面での表面摩擦がゼロでなければならないということである。もう1つの要件は、層媒体の応力成分が層の界面で連続していることである。2階微分方程式を2つの1階方程式に変換するには、この応力成分を次の形式で表す 。${\displaystyle (z=0)}$${\displaystyle \tau _{yz}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

運動量方程式の一次保存則を得る

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.}$

上記の方程式は、固有値問題を記述しており、その解である固有関数はさまざまな数値手法で見つけることができます。もう 1 つの一般的で強力なアプローチは、プロパゲータ マトリックス法 (マトリカント アプローチとも呼ばれます)です。 ^{[引用が必要]}

• 縦波
• 対平面せん断

• AEH Love、「地球力学のいくつかの問題」、1911 年に Cambridge University Press から最初に出版され、1967 年に米国ニューヨーク州ドーバーから再出版されました。(第 11 章: 地震波の伝播の理論)