円形膜の振動

張力のかかった2 次元の弾性膜は、横方向の振動を支えることができます。理想的なドラムヘッドの特性は、剛性フレームに取り付けられた均一な厚さの円形膜の振動によってモデル化できます。共鳴現象により、特定の振動周波数 (共鳴周波数)で、膜は振動エネルギーを蓄えることができ、表面は定在波の特徴的なパターンで動きます。これを通常モードと呼びます。膜には、基本周波数と呼ばれる最低周波数から始まる、無数の通常モードがあります。

膜の振動方法は無数にあり、それぞれは初期時点における膜の形状と、その時点における膜上の各点の横方向の速度に依存します。膜の振動は、フレームの制約を表すディリクレ境界条件を伴う2 次元波動方程式の解によって与えられます。膜の任意の複雑な振動は、膜の通常モードの無限級数に分解できることが示されています。これは、時間信号をフーリエ級数に分解することに似ています。

ドラムの振動の研究により、数学者はドラムの形状が聞こえるかどうかという有名な数学的問題を提起し、1992年に2次元の設定で答え（聞こえない）が与えられました。

振動するドラムヘッドの問題を分析すると、ドラムやティンパニなどの打楽器が説明されます。しかし、鼓膜の働きにも生物学的な応用があります。教育の観点から見ると、2次元オブジェクトのモードは、モード、ノード、アンチノード、さらには量子数の意味を視覚的に示す便利な方法です。これらの概念は、原子の構造を理解する上で重要です。

原点を中心とする半径 の開いた円板 を考えます。これは「静止した」ドラムヘッドの形状を表します。 の点におけるドラムヘッドの形状の高さは、常に「静止した」ドラムヘッドの形状から測定され、正と負の両方の値を取ることができます。は、ドラムヘッドが取り付けられている剛性フレームを表す、原点を中心とする 半径 の円の境界を表します。${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle a}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle u(x,y,t),}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \オメガ,}$${\displaystyle a}$

ドラムヘッドの振動を支配する数式は境界条件がゼロの波動方程式である。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,}$

は円形なので、極座標を使うと便利である。すると、上の式は次のように書ける。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle (r,\theta ).}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ }}r=a.\,}$

ここで、は正の定数であり、膜内を横振動波が伝播する速度を表す。物理的パラメータの観点から、波の速度cは次のように表される。 ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}}$

ここで、 は膜境界（）における放射状の膜の結果であり、は膜の厚さ、 は膜の密度である。膜が均一な張力を持つ場合、与えられた半径における均一な張力は次のように表される 。${\displaystyle N_{rr}^{*}}$${\displaystyle r=a}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}}$

ここで、膜は方位角方向に結果的に生じます。 ${\displaystyle N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}}$

まず、軸対称な円形ドラムヘッドの振動モードを検討します。すると、関数は角度に依存せず、波動方程式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).}$

変数を分けて解を求めます。これを上の式に代入し、両辺をで割ると 、 ${\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t).}$${\displaystyle c^{2}R(r)T(t)}$

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

この等式の左辺は に依存せず、右辺は に依存しないので 、両辺は必ず何らかの定数に等しくなります。およびについては別々の方程式が得られます。 ${\displaystyle r,}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle R(r)}$

${\displaystyle T''(t)=Kc^{2}T(t)\,}$

${\displaystyle rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,}$

の方程式には、指数関数的に増加または減少する解があり、は線形または一定で 、 は周期的です。物理的には、振動するドラムヘッドの問題の解は時間とともに振動することが予想され、この場合、3番目のケースしか残らないので、便宜上、を選びます。すると、は正弦関数と余弦関数の線形結合になります。 ${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle K>0,}$${\displaystyle K=0}$${\displaystyle K<0}$${\displaystyle K<0,}$${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$${\displaystyle T(t)}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

の方程式に目を向けると、この2階微分方程式のすべての解は、次数0のベッセル関数の線形結合であることが分かります。これは、ベッセルの微分方程式の特殊なケースだからです。 ${\displaystyle R(r),}$${\displaystyle K=-\lambda ^{2},}$

${\displaystyle R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,}$

ベッセル関数はに対して無限大であり、振動するドラムヘッド問題に対する非物理的な解となるため、定数はゼロでなければなりません。また、この定数は後で定数に吸収され、から来ると仮定します。 ${\displaystyle Y_{0}}$${\displaystyle r\to 0,}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}=1,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle T(t).}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}(\lambda r).}$

ドラムヘッドの境界で高さがゼロであるという要件は、条件 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.}$

ベッセル関数には無限の正の根があり、 ${\displaystyle J_{0}}$

${\displaystyle 0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots }$

私たちはそれを理解してい ます${\displaystyle \lambda a=\alpha _{0n},}$${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).}$

したがって、分離変数で表現できる振動ドラムヘッド問題の 軸対称解は、${\displaystyle u}$

${\displaystyle u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,}$

どこ${\displaystyle \lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.}$

一般的なケースでは、角度にも依存しますが、同様に扱われます。分離した変数の解を仮定します。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,}$

これを波動方程式に代入し、変数を分離すると、

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K}$

ここで は定数です。前と同様に、 の式から、およびの場合、 ${\displaystyle K}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

方程式から

${\displaystyle {\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

両辺を掛けて変数を分けると、 ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

そして

${\displaystyle -{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,}$

ある定数は周期的であり、周期は角度変数であるため、 ${\displaystyle L.}$${\displaystyle \Theta (\theta )}$${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,}$

ここで、およびおよびは定数である。これはまた、${\displaystyle m=0,1,\dots }$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle L=m^{2}.}$

方程式に戻ると、その解はベッセル関数の線形結合であり、前のセクションと同様の議論で、次の式にたどり着く。 ${\displaystyle R(r),}$ ${\displaystyle J_{m}}$${\displaystyle Y_{m}.}$

${\displaystyle R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

ここで、の-乗正根は${\displaystyle \lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,}$${\displaystyle \alpha _{mn}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J_{m}.}$

振動ドラムヘッド問題の分離変数のすべての解は、次の形式になることを示した。

${\displaystyle u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

のために${\displaystyle m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots }$

以下に、いくつかのモードとその量子数を示します。水素原子の類似の波動関数と、それに関連する角周波数も示します。 の値はベッセル関数 の根です。これは、 という境界条件から導き出されます。 ${\displaystyle \omega _{mn}=\lambda _{mn}c={\dfrac {\alpha _{mn}}{a}}c=\alpha _{mn}c/a}$${\displaystyle \alpha _{mn}}$${\displaystyle J_{m}}$${\displaystyle \forall \theta \in [0,2\pi ],\forall t,\ u_{mn}(r=a,\theta ,t)=0}$${\displaystyle J_{m}(\lambda _{mn}a)=J_{m}(\alpha _{mn})=0}$

• 
  モード（1秒）${\displaystyle u_{01}}$${\displaystyle \alpha _{01}=2.40483}$
• 
  モード（2秒）${\displaystyle u_{02}}$${\displaystyle \alpha _{02}=5.52008}$
• 
  モード（3秒）${\displaystyle u_{03}}$${\displaystyle \alpha _{03}=8.65373}$

• 
  モード（2p）${\displaystyle u_{11}}$${\displaystyle \alpha _{11}=3.83171}$
• 
  モード（3p）${\displaystyle u_{12}}$${\displaystyle \alpha _{12}=7.01559}$
• 
  モード（4p）${\displaystyle u_{13}}$${\displaystyle \alpha _{13}=10.1735}$

• 
  モード（3D）${\displaystyle u_{21}}$${\displaystyle \alpha _{21}=5.13562}$
• 
  モード（4d）${\displaystyle u_{22}}$${\displaystyle \alpha _{22}=8.41724}$
• 
  モード（5d）${\displaystyle u_{23}}$${\displaystyle \alpha _{23}=11.6198}$

のその他の値は、次のPythonコードとライブラリを使用して簡単に計算できます。^[1]${\displaystyle \alpha _{mn}}$scipy

 scipy からspecialをscとしてインポート   
m  =  0  # ベッセル関数の次数（つまり円形膜の角度モード）
nz  =  3  # 必要な根の数
alpha_mn  =  sc . jn_zeros ( m ,  nz )  # Jmのnz個のゼロを出力します

• 振動する弦、1次元の場合
• クラドニパターン、特に楽器に関連する現象の初期の記述。サイマティクスも参照。
• ドラムの形状を聞き、膜の形状に応じてモードを特徴付ける
• 原子軌道、関連する量子力学と3次元の問題

• H. Asmar, Nakhle (2005).フーリエ級数と境界値問題を伴う偏微分方程式。アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: ピアソン・プレンティス・ホール。p. 198。ISBN 0-13-148096-0。