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一般相対性理論において、pp波時空、または略してpp波は、アインシュタインの場の方程式の重要な厳密解の族である。ppという用語は、平行伝播する平面波を意味し、1962年にユルゲン・エーラースとヴォルフガング・クントによって導入された。
pp波解は、光速で移動する放射線をモデル化する。この放射線は以下から構成される可能性がある。
あるいは、放射線がすべて同じ方向に移動している限り、これらの組み合わせでも構いません。
pp波時空の特殊なタイプである平面波時空は、電磁気学を学ぶ学生には馴染み深い平面波の一般相対性理論における最も一般的な類似物を提供する。特に、一般相対性理論では、電磁場自体のエネルギー密度の重力効果を考慮に入れなければならない。そうすると、純粋に電磁的な平面波は、マクスウェル理論における通常の平面波解の直接的な一般化となる。
さらに、一般相対性理論では、重力場自体の擾乱は、時空の曲率の「しわ」として光速で伝播する可能性がある。このような重力放射は、電磁放射の重力場版である。一般相対性理論において、電磁平面波の重力版は、まさに平面波時空における真空解である。これらは重力平面波と呼ばれる。
平面波時空ではない、物理的に重要なpp波時空の例が存在する。特に、重力を持つ物体（恒星やブラックホールなど）を光速に近い速度で通過する観測者の物理的経験は、アイヒェルブルク・セクスル超高速加速と呼ばれる衝動的なpp波時空によってモデル化できる。光線の重力場は、一般相対性理論において、ある種の軸対称pp波によってモデル化される。
物質が存在する重力の場合のpp波の例として、中性ワイルフェルミオンを取り囲む重力場が挙げられます。このシステムは、pp波である重力場、電気力学的放射なし、および軸対称性を示す質量ゼロのスピノルから構成されます。ワイル・ルイス・パパペトルー時空では、重力と物質の両方について完全な厳密解が存在します。[ 1 ]
Pp波は1925年にハンス・ブリンクマンによって提唱され、その後何度も再発見されてきた。中でも特筆すべきは、 1937年にアルバート・アインシュタインとネイサン・ローゼンによって発見されたことである。そして、さらなる研究が現在も進められている。
pp波時空とは、ブリンクマン座標に関して、計量テンソルが次の形式で記述できる任意のローレンツ多様体のことである。
どこは任意の滑らかな関数である。これはブリンクマンの本来の定義であり、理解しやすいという利点がある。
現在文献で標準となっている定義は、より洗練されている。座標系には一切言及していないため、座標に依存しない定義である。それは、共変的に一定の零ベクトル場を持つローレンツ多様体であれば、これはpp波時空と呼ばれます。つまり、の共変微分は完全に消滅しなければならない：
この定義は1962年にエーラースとクントによって提唱された。ブリンクマンの定義をこの定義と関連付けるには、、超曲面に直交する座標ベクトルテンソル方程式のインデックス表記では、書くことができる。
これらの定義はいずれも場の方程式について一切言及しておらず、実際、物理学とは完全に独立している。真空アインシュタイン方程式はpp波に対して非常に単純で、実際には線形である。計量はこれらの方程式を満たすのは、しかし、pp波時空の定義はこの方程式を課すものではないため、これは完全に数学的なものであり、擬リーマン幾何学の研究に属する。次のセクションでは、pp波時空の物理的解釈について考察する。
エーラースとクントは、以下のような座標に依存しない特徴付けをさらにいくつか提示した。
任意の pp 波時空のアインシュタイン テンソルの特性多項式が恒等的にゼロになることは、純粋に数学的な事実である。同様に、リッチ NP スカラーがゼロになるようなニューマン – ペンローズ複素ヌル テトラッドを見つけることができる。（時空に存在する可能性のあるあらゆる物質または非重力場を記述する）およびワイルNPスカラー（存在する可能性のある重力場を記述する）それぞれは、ゼロでない成分を1つだけ持つ。具体的には、NPテトラッドに関して
リッチスピノルの唯一の非零成分は
そして、ワイルスピノルの唯一の非零成分は
これは、一般相対性理論の枠組みにおいて、任意のpp波時空をヌルダスト解として解釈できることを意味する。また、ワイルテンソルは常にペトロフ型Nであり、これはベル基準を用いて検証できる。
言い換えれば、pp波は局所的な光速で伝播する様々な種類の古典的かつ質量のない放射をモデル化します。この放射は、重力波、電磁波、ワイルフェルミオン、あるいはこれら3つ以外の何らかの仮説的な質量のない放射、またはこれらの任意の組み合わせである可能性があります。これらの放射はすべて同じ方向に伝播し、ヌルベクトルは波ベクトルとしての役割を果たす。
残念ながら、pp波に関する用語は、かなり標準的ではあるものの、非常に紛らわしく、誤解を招きやすい傾向があります。
任意のpp波時空において、共変的に一定のベクトル場常に同一のゼロ光スカラーを持つ。したがって、pp波はクントクラス（ゼロ光スカラーとのヌル合同を許容するローレンツ多様体のクラス）に属する。
反対方向に見ると、pp波にはいくつかの重要な特殊ケースが含まれる。
前節で示したリッチスピノルの形式から、pp波時空（ブリンクマン図表に記述）が真空解となるのは、以下の条件を満たす場合に限ることがすぐにわかる。は調和関数である（空間座標に関して）物理的には、これらはヌル光線に沿って伝播する純粋な重力波を表しています。。
エーラース、クント、シッペル、ゲナーは、真空pp波時空を自己等長変換群、すなわち自己等長変換群によって分類した。これは常にリー群であり、通常通り、キリングベクトル場の基礎となるリー代数を分類する方が容易である。最も一般的なpp波時空は、ヌル測地線合同という1つのキリングベクトル場しか持たないことがわかった。しかし、さまざまな特殊な形態ではさらに、キリングベクトル場が他にも存在する。
特に対称性の高いpp波の最も重要なクラスは、バルドウィンとジェフリーによって最初に研究された平面波時空である。平面波は、次のpp波である。は二次式であり、したがって単純な形式に変換できる。
ここ、は、の任意の滑らかな関数である。物理的に言えば、存在する可能性のある重力波の2つの線形独立な偏光モードの波形を記述する。非重力放射線の波形を記述します。真空平面波があり、これはしばしば平面重力波と呼ばれます。
言い換えれば、平面波は、少なくとも5次元のキリングベクトル場のリー代数を持つpp波である。、 含むさらに、次の形式のものが4つあります。
どこ
直感的に言えば、平面波の波面は真に平面であるということです。つまり、与えられた2次元波面上のすべての点は等価です。これは、より一般的なpp波では必ずしも当てはまりません。平面波は多くの理由で重要です。例えば、平面波の衝突という興味深いテーマにおいて不可欠な要素です。
より一般的なサブクラスは、軸対称pp波からなり、一般にキリングベクトル場の2次元アーベルリー代数を持つ。これらは、SippelとGönnerの対称性分類における2番目のタイプであるため、 SG2平面波とも呼ばれる。特定の軸対称pp波の極限ケースは、孤立した球対称物体との超相対論的遭遇をモデル化したAichelburg/Sexl超ブーストをもたらす。
（平面波の物理的に重要な特殊なケースについては、平面波時空に関する記事も参照のこと。）
JD Steeleは、一般化されたpp波時空の概念を導入した。これらは、自己双対共変的に一定のヌル双ベクトル場を許容する非平坦ローレンツ時空である。Steeleが指摘するように、これらは名目上は上述の意味での非平坦pp波の特殊なケースであるため、その名称は誤解を招く可能性がある。これらは、ブリンクマン計量形式が保存されるものの、EhlersとKundt、SippelとGönnerなどが研究した真空解とは必ずしも一致しないという意味でのみ一般化されている。
もう一つ重要な特殊なpp波のクラスはサンドイッチ波である。これらはある範囲を除いて曲率がゼロである。は、ミンコフスキー時空背景を通過する重力波を表す。
これらはヌル合同式で定義される非常に単純で自然なローレンツ多様体のクラスを構成するため、他の相対論的 古典重力場理論においても重要であることはさほど驚くべきことではない。特に、pp波はブランズ・ディッケ理論、様々な高次曲率理論、カルツァ・クライン理論、およびJWモファットの特定の重力理論における厳密解である。実際、BOJタッパーは、一般相対性理論とブランズ/ディッケ理論における共通の真空解がまさに真空pp波であることを示した（ただし、ブランズ/ディッケ理論はさらに多くの波状解を許容する）。ハンス・ユルゲン・シュミットは、 （4次元）pp波の理論を2次元計量膨張重力理論の観点から再定式化した。
pp波は量子重力の探求においても重要な役割を果たします。ゲイリー・ギボンズが指摘したように、すべてのループ項の量子補正は、あらゆるpp波時空において同一の形で消滅するからです。これは、pp波時空のツリーレベル量子化を研究することで、まだ知られていない量子重力の世界を垣間見ることができることを意味します。
pp波をより高次元に一般化することは自然なことであり、高次元においてもpp波はこれまで議論してきたものと同様の性質を持つ。CM Hullは、このような高次元pp波が11次元超重力理論の重要な構成要素であることを示した。
PP波は数多くの注目すべき特性を備えている。その抽象的な数学的特性については既に述べたが、本節ではさらにいくつかの特性を紹介する。
ミンコフスキー時空における慣性系観測者がサンドイッチ平面波に遭遇した場合を考えてみましょう。このような観測者は、いくつかの興味深い光学的効果を経験するでしょう。もし彼が、すでに波に遭遇した遠方の銀河の到来する波面を観測すると、それらの銀河の像は歪みなく見えるはずです。これは、波が光速で伝播するため、観測者は波が自分の位置に到達するまでその到来を知ることができないので、必然的に起こることです。しかし、これはヌル合同の光学スカラーを直接計算することによって確認できます。さて、波が通過した後、観測者が向きを変え、波面を通してまだ波が到達していない遠方の銀河を観測するとしましょう。すると、観測者は、それらの銀河の光学的像が時間依存的に歪められ、拡大（または縮小）されているのを目にします。もしその波が偏光した重力平面波であれば、観測者は、円形の像が交互に水平方向に圧縮され垂直方向に拡大され、また垂直方向に圧縮され水平方向に拡大されるのを目にするでしょう。これは、一般相対性理論における重力波が光に及ぼす特徴的な効果を直接的に示しています。
偏光した重力平面波が通過する際、（最初は静止していた）試験粒子群の相対位置に及ぼす影響は、質的に非常に類似している。ここで述べておくと、一般に、pp波時空における試験粒子の運動はカオスを示すことがある。
アインシュタインの場の方程式が非線形であることはよく知られています。これは、2つの厳密解が存在する場合、それらを線形的に重ね合わせる方法はほとんどないことを意味します。PP波はこの規則のまれな例外を提供します。共変的に一定のヌルベクトル（同じ測地線ヌル合同、つまり同じ波数ベクトル場）を共有する2つのPP波があり、計量関数がそれぞれ、そして3つ目の正確な解を与える。
ロジャー・ペンローズは、ヌル測地線の近傍では、あらゆるローレンツ時空が平面波のように見えることを発見した。これを示すために、彼は代数幾何学から取り入れた手法を用いて時空を「拡大」し、与えられたヌル測地線が平面波の共変的に一定のヌル測地線合同となるようにした。この構成はペンローズ極限と呼ばれる。
ペンローズはまた、pp波時空では、リーマンテンソルのすべての多項式スカラー不変量が恒等的にゼロになるが、曲率はほとんどゼロにならないことを指摘した。これは、4次元ではすべてのpp波がVSI時空のクラスに属するためである。このような記述は、非ゼロの多項式スカラー不変量を持つ代数型IIの高次元pp波が存在するため、高次元では成り立たない 。リーマンテンソルを双ベクトルに作用する2階テンソルと見なすと、不変量がゼロになることは、非ゼロの零ベクトルの長さの2乗がゼロになるという事実に類似している。
ペンローズはまた、ppサンドイッチ波時空における因果律の奇妙な性質を最初に理解した人物でもあった。彼は、ある事象で放出されたヌル測地線の一部または全部が、後の事象（または一連の事象）で再集束されることを示した。その詳細は、波が純粋に重力波なのか、純粋に電磁波なのか、あるいはどちらでもないのかによって異なる。
pp波はそれぞれ異なるブリンクマン図式を持つ。これらの図式は座標変換によって関連付けられており、この文脈ではゲージ変換とみなすことができる。平面波の場合、これらのゲージ変換によって、衝突する2つの平面波は常に平行な波面を持つとみなすことができ、したがって波は正面衝突すると言える。これは完全非線形一般相対性理論における厳密な結果であり、特殊相対性理論で扱われる電磁平面波に関する同様の結果と類似している。
pp波の注目すべき具体的な例は数多く存在する。（「具体的」とは、計量関数が初等関数、あるいはマチュー関数などのよく知られた特殊関数を用いて記述できることを意味する。）
軸対称pp波の具体的な例としては、
平面波時空の具体的な例としては、
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