ヘルムホルツ分解

もし${\displaystyle (\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})}$はヘルムホルツ分解である${\displaystyle \mathbf {F} }$、 それから ${\displaystyle (\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})}$は、次の場合に限り別の分解となる。

${\displaystyle \Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad }$そして${\displaystyle \quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,}$

どこ

• ${\displaystyle \lambda }$は調和スカラー場である。
• ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$は、以下の条件を満たすベクトル場である。${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,}$
• ${\displaystyle \varphi }$はスカラー場である。

証明: セット${\displaystyle \lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}}$そして${\displaystyle {\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}}$ヘルムホルツ分解の定義によれば、条件は以下と同等である。

${\displaystyle -\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0}$。

この方程式の各項の発散を取ると、 ${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =0}$したがって${\displaystyle \lambda }$調和している。

逆に、任意の調和関数が与えられた場合${\displaystyle \lambda }$、 ${\displaystyle \nabla \lambda }$ソレノイドであるため

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.}$

したがって、上記のセクションによれば、ベクトル場が存在する。${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$そのため ${\displaystyle \nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }}$。

もし${\displaystyle {\mathbf {A} '}_{\lambda }}$は別のベクトル場であり、${\displaystyle \mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ 満たす${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {C} }=0}$したがって${\displaystyle C=\nabla \varphi }$ あるスカラー場に対して${\displaystyle \varphi }$。

「ヘルムホルツの定理」という用語は、以下のことも指すことがあります。CをR ³上の十分に滑らかで無限遠で1/ r ²より速く消滅するソレノイドベクトル場、dを R 3上のスカラー場とします。このとき、次のようなベクトル場Fが存在します。

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C}$$ ;}

さらに、ベクトル場F がr → ∞のときにゼロになるならば、Fは一意である。^{[ 20 ]}

言い換えれば、ベクトル場は指定された発散と指定された回転の両方で構成でき、無限遠でゼロになる場合、その発散と回転によって一意に指定されます。この定理は静電気学において非常に重要です。なぜなら、静的な場合の電場と磁場に関するマクスウェル方程式はまさにこのタイプだからです。 ^{[ 20 ]}証明は、上記の構成を一般化した構成によって行われます。すなわち、とします。

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla ({\mathcal {G}}(d))-\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$$

どこ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$これはニュートン力学におけるポテンシャル演算子を表します。（ ∇ × Fのようなベクトル場に作用する場合、各成分に作用するように定義されます。）

ヘルムホルツ分解は、正則性の仮定（強微分の存在の必要性）を減らすことで一般化できます。Ω が有界で単連結なリプシッツ領域であると仮定します。すべての二乗可積分ベクトル場u ∈ ( L ² (Ω)) ³は直交分解を持ちます。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$$

ここで、φは、分布の意味で定義された偏導関数が二乗可積分であるΩ上の二乗可積分関数のソボレフ空間H ¹ (Ω)に属し、A ∈ H (curl, Ω)は、二乗可積分な回転を持つ二乗可積分なベクトル場からなるベクトル場のソボレフ空間である。

やや滑らかなベクトル場u ∈ H (curl, Ω)に対しても、同様の分解が成り立つ。

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$$

ここで、φ ∈ H ¹ (Ω)、v ∈ ( H ¹ (Ω)) ^{d である}。

ここで述べた定理では、もし${\displaystyle \mathbf {F} }$有界領域で定義されていない場合、${\displaystyle \mathbf {F} }$より速く劣化する${\displaystyle 1/r}$したがって、フーリエ変換は${\displaystyle \mathbf {F} }$と表記される${\displaystyle \mathbf {G} }$は必ず存在する。我々は以下の慣例を適用する。 $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$$

スカラー場のフーリエ変換はスカラー場であり、ベクトル場のフーリエ変換は同じ次元のベクトル場である。

次に、以下のスカラー場とベクトル場について考えてみましょう。 $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$$

したがって

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

物理学でよく用いられる用語では、ベクトル場の回転のない成分を縦方向成分、発散のない成分を横方向成分と呼ぶ。^{[ 24 ]}この用語は次の構成に由来する。3次元フーリエ変換を計算する。${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$ベクトル場の${\displaystyle \mathbf {F} }$次に、各点kにおいて、この場を 2 つの成分に分解します。1 つは縦方向、つまりkに平行な方向を向き、もう 1 つは横方向、つまりkに垂直な方向を向きます。ここまでで、

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$$$${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$$$${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$$

次に、これらの各成分に逆フーリエ変換を適用します。フーリエ変換の性質を用いると、次の式が得られます。

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$$

以来${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$そして${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$、

私たちは手に入れることができます

$${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$

これは確かにヘルムホルツ分解である。^{[ 25 ]}

一般化${\displaystyle d}$回転演算子と外積は（ベクトルとして）3次元でのみ定義されているため、ベクトルポテンシャルでは次元を扱うことはできません。

させて${\displaystyle \mathbf {F} }$ベクトル場となる${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$これはより速く崩壊する${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$のために${\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }$そして${\displaystyle \delta >2}$。

スカラーポテンシャルは、3次元の場合と同様に次のように定義される。 $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',}$$ 積分カーネル${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$これは再びラプラス方程式の基本解であるが、d次元空間におけるものである。 $${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ と${\displaystyle V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}}$d次元単位球の体積と${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )}$ガンマ関数。

のために${\displaystyle d=3}$、${\displaystyle V_{d}}$ちょうど${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$結果として、上記と同じ係数が得られる。回転ポテンシャルは、以下の要素を持つ 反対称行列である。$${\displaystyle A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.}$$ 対角線の上には${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}}$対角線上で鏡像反転した形で再び現れる要素は、負の符号を持つ。3次元の場合、行列要素はベクトルポテンシャルの成分にそのまま対応する。${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]}$しかし、このような行列ポテンシャルは、3次元の場合にのみベクトルとして記述できます。${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}=d}$有効なのは${\displaystyle d=3}$。

3次元の場合と同様に、勾配場は次のように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$$ 一方、回転場は、一般的には行列の行発散として定義される。 $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].}$$ 3次元空間では、これはベクトルポテンシャルの回転に相当する。^{[ 8 ] [ 26 ]}

では${\displaystyle d}$次元ベクトル空間${\displaystyle d\neq 3}$、${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$は、ラプラシアンに対する適切なグリーン関数で置き換えることができ、それは次のように定義されます。 $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$$添え字にはアインシュタインの総和規約が用い られる。${\displaystyle \mu }$。 例えば、${\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$2Dで。

上記と同じ手順で、次のように書くことができます。 $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$ どこ${\displaystyle \delta _{\mu \nu }}$はクロネッカーのデルタです（ここでも総和規約が用いられます）。上記で用いたベクトルラプラシアンの定義の代わりに、レヴィ・チヴィタ記号の恒等式を用います。${\displaystyle \varepsilon }$、 $${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })}$$ これは有効です${\displaystyle d\geq 2}$次元、${\displaystyle \alpha }$は${\displaystyle (d-2)}$-コンポーネントマルチインデックス。これにより $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$

したがって、次のように書くことができます。 $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ベクトルポテンシャルはランク-に置き換えられることに注意してください。${\displaystyle (d-2)}$テンソル${\displaystyle d}$寸法。

なぜなら${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$はのみの関数です${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$交換できる${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\rightarrow -{\frac {\partial }{\partial r'_{\mu }}}}$与える $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&=-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$部分積分は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\nu }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\sigma }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle S=\partial V}$境界は${\displaystyle V}$これらの表現は、上記で示した3次元空間の表現と類似している。

多様体へのさらなる一般化については、下記のホッジ分解 に関する議論を参照してください。

ヘルムホルツの定理は、電位イメージでマクスウェル方程式を記述し、より簡単に解くことができるため、電気力学において特に興味深い。ヘルムホルツ分解を用いると、電流密度と電荷密度が与えられた場合、電場と磁束密度を決定できることを証明できる。密度が無限遠でゼロになり、電位についても同様であると仮定すれば、それらは一意となる。^{[ 18 ]}

流体力学において、ヘルムホルツ射影は、特にナビエ・ストークス方程式の可解性理論において重要な役割を果たします。線形化された非圧縮性ナビエ・ストークス方程式にヘルムホルツ射影を適用すると、ストークス方程式が得られます。これは流れの中の粒子の速度のみに依存し、静圧には依存しなくなるため、方程式を未知数1つに簡略化できます。ただし、ストークス方程式と線形化された方程式はどちらも等価です。演算子${\displaystyle P\Delta }$ストークス演算子と呼ばれる。^{[ 34 ]}

力学系の理論では、ヘルムホルツ分解は「準ポテンシャル」を決定するために使用できるほか、場合によってはリアプノフ関数を計算するためにも使用できます。 ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

ローレンツ系（エドワード・N・ローレンツ、1963年^{[ 38 ]} ）のような大気対流の簡略化モデルなどのいくつかの力学系については、ヘルムホルツ分解の閉形式表現が得られる。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.}$$ ヘルムホルツ分解${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$スカラーポテンシャルを用いて${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}}$次のように与えられます。

$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},}$$$${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.}$$

二次スカラーポテンシャルは座標原点の方向への運動を提供し、これが一部のパラメータ範囲における安定した固定点の原因となっている。他のパラメータについては、回転場によって奇妙なアトラクターが生成され、モデルがバタフライ効果を示すようになる。^{[ 8 ] [ 39 ]}

磁気共鳴エラストグラフィは、臓器の粘弾性を調べるために機械波を使用するMRイメージングの一種であり、ヘルムホルツ分解は、測定された変位場をせん断成分（発散なし）と圧縮成分（カールなし）に分離するために使用されることがある。^{[ 40 ]}この方法で、圧縮波の寄与なしに複素せん断弾性率を計算することができる。

ヘルムホルツ分解はコンピュータ工学の分野でも使用されています。これにはロボット工学、画像再構成だけでなく、流体やベクトル場のリアルな可視化に使用されるコンピュータアニメーションも含まれます。^{[ 16 ] [ 41 ]}