クノイダル波

無次元化

すべての量は重力加速度gと水深h を使用して無次元化できます。

${\displaystyle {\チルダ {\eta }}={\frac {\eta }{h}},}$   ${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x}{h}}}$  そして  ${\displaystyle {\tilde {t}}={\sqrt {\frac {g}{h}}}\,t.}$

得られたKdV方程式の無次元形は^{[17]である。}

${\displaystyle \partial _{\tilde {t}}{\tilde {\eta }}+\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {3}{2}}\,{\tilde {\eta }}\,\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{\tilde {x}}^{3}{\tilde {\eta }}=0,}$

残りの部分では、表記を簡単にするためにチルダは省略します。

標準フォームとの関係

フォーム

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\phi +6\,\phi \ \partial _{\hat {x}}\phi +\partial _{\hat {x}}^{3}\phi =0}$

変換によって得られる

${\displaystyle {\hat {t}}={\tfrac {1}{6}}\,t,\,}$   ${\displaystyle {\hat {x}}=x-t\,}$  そして  ${\displaystyle \phi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,\,}$

しかし、この形式はこの導出ではこれ以上使用されません。

固定形式の伝播波

位相速度 cで伝わる周期波の解を求めます。これらの永久波は次のようなものでなければなりません。

${\displaystyle \eta =\eta (\xi )\,}$  波の位相で：${\displaystyle \xi }$  ${\displaystyle \xi =x-c\,t.\,}$

したがって、空間と時間に関する偏微分は次のようになります。

${\displaystyle \partial _{x}\eta =\eta '\,}$  そして  ${\displaystyle \partial _{t}\eta =-c\,\eta ',\,}$

ここで、η ′はη ( ξ )の引数ξに関する常微分を表す。

これらをKdV方程式に用いると、次の3次常微分方程式が得られる。^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,\eta '''+\left(1-c\right)\,\eta '+{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\eta '=0.\,}$

1階常微分方程式の積分

これを1回積分すると次の式が得られる。^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\eta ''+\left(1-c\right)\,\eta +{\tfrac {3}{4}}\,\eta ^{2}={\tfrac {1}{4}}r,\,}$

rは積分定数である。4η ′を掛けて さらに積分すると^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}+2\,\left(1-c\right)\,\eta ^{2}+\eta ^{3}=r\,\eta +s,\,}$

sは別の積分定数である。これは次のように表される。

3次多項式f ( η ) は、 ηが大きな正の値のときは負になり、ηが大きな負の値のときは正になります。地表標高ηは実数値なので、積分定数rとsも実数値です。多項式f は、その根 η ₁、η ₂、η ₃で表すことができます。^[7]

f ( η ) は実数値なので、 η ₁、η ₂、η ₃の 3 つの根はすべて実数値であるか、そうでない場合は 1 つが実数で残りの 2 つが複素共役のペアになります。後者の場合、実数値の根が 1 つしかないため、f ( η ) が 0になる標高η は1 つだけです。したがって、表面の傾斜η ′が 0になる標高も 1 つだけです。ただし、ここでは表面の傾斜が 0 になる標高が 2 つ (波の山と谷 (物理学))ある波のような解を探しています。結論として、f ( η ) の 3 つの根はすべて実数値でなければなりません。

一般性を失うことなく、3 つの実根が次のように順序付けられていると仮定します。

${\displaystyle \eta _{1}\geq \eta _{2}\geq \eta _{3}.\,}$

1階常微分方程式の解

ここで、式（A ）から、 f（η）が正の場合にのみ、傾斜の実数値が存在することがわかる。これはη2≤η≤η1に対応しており 、 _{したがって}、 これは表面標高が振動する範囲である（f（η ）のグラフも参照） 。この条件_は、標高η（ξ ）の次の表現で満たされる：^[7]

求められている波動解の周期的性質と、三角関数sinとcosの位相ψ（ξ ）と一致している。この形式から、式（ A）と（B ）のさまざまな項の次の説明が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta -\eta _{1}&=-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{2}&=+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\cos ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{3}&=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),&&{\text{and}}\\\eta '&=-2\,\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin \,\psi (\xi )\;\cos \,\psi (\xi )\;\;\psi '(\xi )&&{\text{with}}\quad \psi '(\xi )={\frac {{\text{d}}\psi (\xi )}{{\text{d}}\xi }}.\end{aligned}}}$

これらを式( A )と式( B )に用いて、いくつかの操作を行うと、 ψとξを関係付ける次の常微分方程式が得られる。^[7]

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\,\left({\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}\xi }}\right)^{2}=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),}$

η ₁  −  η ₃  ≥  η ₁  −  η ₂なので、右辺は依然として正である。一般性を失うことなく、ψ ( ξ ) は単調関数であると仮定することができる。なぜなら、 f ( η ) はη ₂  <  η  <  η _{1 の}区間で零点を持たないからである。したがって、上記の常微分方程式は、 ξ ( ψ ) がψの関数であるという観点からも解くことができる。^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}=\pm \,{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\,\psi }}},}$

と：

${\displaystyle \Delta ^{2}={\frac {4}{3}}\,{\frac {1}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$  そして  ${\displaystyle m={\frac {\eta _{1}-\eta _{2}}{\eta _{1}-\eta _{3}}},}$

ここで、mはいわゆる楕円パラメータであり、^{[19] [20]} 0  ≤  m ≤ 1を満たす （η ₃  ≤  η ₂  ≤  η ₁であるため）。 波の頂点でξ = 0を選択した場合、 η (0) =  η _1の積分は^{[7]を得る。}

ここで、F ( ψ | m )は第一種不完全楕円積分である。ヤコビの楕円関数cn と sn はF ( ψ | m ) の逆関数で、

${\displaystyle \cos \,\psi =\operatorname {cn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)}$  そして  ${\displaystyle \sin \,\psi =\operatorname {sn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

式（ C ）を用いると、KdV方程式のクノイダル波解が得られる^[7]。

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

残っているのは、パラメータη ₁、η ₂、Δ 、およびmを決定することです。

クノイド波パラメータ間の関係

まず、η ₁は波頭標高、η _{2 は}波谷標高なので、波高 を導入すると便利です。波高はH  =  η ₁  −  η ₂と定義されます。その結果、 mおよびΔについて次式が求められます。

${\displaystyle m={\frac {H}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$  など​  ${\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}}{m}}={\frac {4}{3\,H}}}$    ${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m}{H}}}}.}$

クノイダル波の解は次のように表すことができます。

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

第二に、谷はψ  =  ⁠に位置している。1/2⁠  π 、つまりξ  = 0 とξ  =  ⁠の間の距離1/2⁠  λは、式 ( D ) より、波長λで表されます。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\lambda =\Delta \,F\left({\begin{array}{c|c}{\tfrac {1}{2}}\,\pi &m\end{array}}\right)=\Delta \,K(m),}$  与える  ${\displaystyle \lambda =2\,\Delta \,K(m)={\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m}{H}}}}\;K(m),}$

ここでK ( m )は第一種完全楕円積分である。第三に、波は平均水深の周りで振動するため、η ( ξ )の平均値はゼロでなければならない。したがって^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-m\,\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta _{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}}$

ここで、E ( m ) は第2種の完全楕円積分である。楕円パラメータmと波高Hの関数として、η ₁、η ₂、η ₃の次の式が得られる: ^[7]

${\displaystyle \eta _{3}=-\,{\frac {H}{m}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}},}$   ${\displaystyle \eta _{1}={\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)}$  そして  ${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

第４に、式（A）と（B）から、位相速度cと根η1、_η2、η3との間 に関係を_確立することが_できる：[ ^7]

${\displaystyle c=1+{\tfrac {1}{2}}\,\left(\eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}\right)=1+{\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

相対的な位相速度の変化は、下の図に示されています。ご覧のように、m  > 0.96 (つまり 1 −  m  < 0.04) の場合、位相速度は波高H の増加とともに増加します。これは、波が長く非線形になることに対応しています。mが固定されている場合、位相速度の非線形変化は、波高Hに比例します。位相速度c は、波長λおよび周期 τと次のように関連していることに注意してください。

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{\tau }}.}$

ソリューションの概要

ここでのすべての量は、無次元化前の表面重力波に有効な次元形式で与えられます。

導出

導出はKdV方程式の場合と同様である。^[22] 無次元BBM方程式は、平均水深hと重力加速度gを用いて無次元化される。^[21]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

これを標準形式に組み込むことができる

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\varphi +\partial _{\hat {x}}\varphi +\varphi \,\partial _{\hat {x}}\varphi -\partial _{\hat {t}}\,\partial _{\hat {x}}^{2}\varphi =0\,}$

変革を通じて：

${\displaystyle {\hat {t}}={\sqrt {6}}\,t,}$   ${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {6}}\,x}$  そして  ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,}$

ただし、この標準形式はここでは使用されません。

KdV方程式のクノイダル波解の導出と同様に、ξ  =  x − ctの周期波解η ( ξ )が考慮され、BBM方程式は3次常微分方程式となり、2回積分して次の式が得られます。

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,c\,\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,}$  と  ${\displaystyle f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,}$

これは、左辺の( η ′ ) ²の前の係数cによってのみ KdV 方程式の方程式と異なります。座標変換β  =  ξ  / によって係数cが削除され、KdV 方程式と BBM 方程式の両方で同じ 1 次常微分方程式が得られます。ただし、ここでは前の式で与えられた形式が使用されます。これにより、 KdV 方程式で見つかった Δとは異なる定式化が行われます。${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {c}}}$

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,c}{H}}}}.}$

Hとmの関数としての波長λの関係は、この変化によって影響を受ける。${\displaystyle \Delta :}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,c}{H}}}}\;K(m).}$

残りの導出は KdV 方程式の場合と同様であるため、ここでは繰り返さないことにします。

再開する

結果は、深さhの流体層上の水波について、次元形式で提示されます。

ヤコビ楕円関数cnはフーリエ級数に展開できる^[26]

${\displaystyle \operatorname {cn} (z|m)={\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\sum _{n=0}^{\infty }\,\operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)\;\cos \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,z}{2\,K(m)}}\right).}$

K ′ ( m ) は虚数四分の一周期として知られ、K ( m ) はヤコビ楕円関数の実数四分の一周期とも呼ばれる。これらは次のように関係している: K ′ ( m ) =  K (1− m ) ^[27]

ここでの関心は小さな波高、すなわち小さなパラメータm ≪ 1に対応するものであるため、関連するパラメータのマクローリン級数を検討し、完全な楕円積分 KとEから始めるの が便利である: ^{[28] [29]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,m+\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,m^{2}+\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,m^{3}+\cdots \right],\\E(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,{\frac {m}{1}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,{\frac {m^{2}}{3}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,{\frac {m^{3}}{5}}-\cdots \right].\end{aligned}}}$

すると、フーリエ級数に現れる双曲余弦項は、m  ≪ 1 の小さい値に対して次のように展開できる: ^[26]

${\displaystyle \operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=2\,{\frac {q^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{1+q^{2n+1}}}}$  qは次のように与えられる。  ${\displaystyle q=\exp \left(-\pi \,{\frac {K'(m)}{K(m)}}\right).}$

ノームqは小さいmに対して次のような振る舞いをする：^[30]

${\displaystyle q={\frac {m}{16}}+8\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{2}+84\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{3}+992\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{4}+\cdots .}$

したがって、フーリエ級数の最初の項の 振幅は次のようになります。

したがって、m  ≪ 1 の場合、ヤコビの楕円関数には最初のフーリエ級数の項があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} \,(z|m)&={\Bigl (}1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,3\,\alpha \,z\;+\;\cdots ,\end{aligned}}}$  と  ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\pi }{2\,K(m)}}.}$

そしてその正方形は

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} ^{2}\,(z|m)&={\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,4\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,6\,\alpha \,z\;+\;\cdots .\end{aligned}}}$

楕円パラメータmの値が小さい場合、クノイダル波の自由表面η ( x , t ) はフーリエ級数で表されます。まず、 cn 関数の引数はξ / Δであり、波長λ  = 2  Δ K ( m ) であることに注目してください。つまり、  

${\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi \,\xi }{K(m)}}\,{\frac {\xi }{\Delta }}=2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}.}$  

さらに、平均自由表面標高はゼロです。したがって、小振幅波の表面標高は

${\displaystyle \eta (x,t)=\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,2\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,3\theta \;+\;\cdots .}$

また、波長λ は、 KdV 方程式と BBM 方程式で異なる方法で、 楕円パラメータmのマクローリン級数に展開できますが、これは現在の目的では必要ありません。

クノイダル波の位相速度は、KdV方程式とBBM方程式の両方において、次のように表される: ^{[7] [22]}

${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right].}$

この定式化では、位相速度は波高 Hとパラメータmの関数である。しかし、無限小の高さの波の波動伝播を決定するには、パラメータmがゼロに近づく限界で一定の波長 λにおける位相速度の挙動を決定する必要がある。これは、KdV方程式とBBM方程式とは異なる波長の方程式を使用して行うことができる。^{[7] [22]}

相対波数 κhを導入する：

${\displaystyle \kappa \,h={\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,h,}$

位相速度と波長に関する上記の式を使用すると、位相速度の係数H  /  m はκhとmに置き換えることができます。結果として得られる位相速度は次のようになります。

mが小さい場合の極限挙動は、K ( m )とE ( m )のマクローリン級数を用いて解析することができ、 ^{[28]両方の式の}cの共通因子について次の式が得られる。

${\displaystyle \gamma ={\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-\,{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)=-{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{2}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{3}+\cdots ,}$

したがって、 m → 0の極限では 、因子γ  → − ⁠1/6⁠ . m ≪ 1 の場合の位相速度の限界値が 直接得られます。