ラム波

ラム波は固体の板や球体で伝播します。^[1]ラム波は弾性波であり、その粒子運動は波の伝播方向と板に垂直な方向を含む平面にあります。1917 年、英国の数学者ホレス ラムは、このタイプの音波の古典的な分析と説明を発表しました。その特性は非常に複雑であることが判明しました。無限の媒体は、固有の速度で移動する 2 つの波モードのみをサポートしますが、板は 2 つの無限のラム波モードのセットをサポートします。その速度は、波長と板の厚さの関係によって異なります。

1990 年代以降、コンピューティング能力の急速な向上により、ラム波の理解と利用は大きく進歩しました。ラムの理論的定式化は、特に非破壊検査の分野で、実質的に実用化されています。

レイリー・ラム波という用語は、単一の表面に沿って伝播する波の一種であるレイリー波を含みます。レイリー波とラム波はどちらも、それらを導く表面の弾性特性によって制約されます。

一般的に、固体材料中の弾性波^[2]は、伝播する媒体の境界によって誘導されます。物理音響学で広く使用されている誘導波伝播のアプローチは、構造形状を表す境界条件に従う線形弾性波の波動方程式の正弦波解を求めることです。これは古典的な固有値問題です。

板状の波は、このように解析された最初の誘導波の一つである。この解析は、当時の数理物理学のリーダーであった ホレス・ラム によって1917年に開発され発表された^{[3] 。}

ラム方程式は、 x方向とy方向に無限の大きさを持ち、z方向に厚さdを持つ固体板の形式を設定することによって導かれた。波動方程式の正弦波解は、次の形式のx方向とz方向の変位を持つと仮定された 。

${\displaystyle \xi =A_{x}f_{x}(z)e^{i(\omega t-kx)}\quad \quad (1)}$

${\displaystyle \zeta =A_{z}f_{z}(z)e^{i(\omega t-kx)}\quad \quad (2)}$

この形式は、波長 2π/k、周波数 ω/2π でx方向に伝播する正弦波を表します。変位はx、z、tのみの関数です。y 方向には変位はなく、 y方向の物理量の変化もありません。

プレートの自由表面の物理的境界条件は、 z = +/- d /2におけるz方向の応力成分がゼロであることです。これらの 2 つの条件を上記の波動方程式の定式化された解に適用すると、一対の特性方程式が見つかります。これらは次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\tanh(\beta d/2)}{\tanh(\alpha d/2)}}={\frac {4\alpha \beta k^{2}}{(k^{2}+\beta ^{2})^{2}}}\ \quad \quad \quad \quad (3)}$

対称モードの場合と

${\displaystyle {\frac {\tanh(\beta d/2)}{\tanh(\alpha d/2)}}={\frac {(k^{2}+\beta ^{2})^{2}}{4\alpha \beta k^{2}}}\ \quad \quad \quad (4)}$

非対称モードの場合、

${\displaystyle \alpha^{2}=k^{2}-{\frac {\omega^{2}}{c_{l}^{2}}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad \beta^{2}=k^{2}-{\frac {\omega^{2}}{c_{t}^{2}}}.}$

これらの方程式には、角周波数 ω と波数 k の関係が内在しています。数値的手法を使用して、位相速度 c _p = fλ = ω/kと群速度 c _g = dω / dkをd / λまたはfdの関数として求めます。c _lとc _{t は、}それぞれ縦波速度と横波速度です。

これらの方程式を解くと、方程式 (1) と (2) が一般的な形式でのみ表している粒子の運動の正確な形も明らかになります。方程式 (3) は、プレートの中央面 (平面 z = 0) を中心に対称な運動をする波の族を生じ、方程式 (4) は、中央面を中心に反対称な運動をする波の族を生じることがわかります。図 1 は、各族のメンバーを示しています。

ラムの特性方程式は、無限プレート内を伝播する波について確立されました。無限プレートとは、2 つの平行な平面で囲まれた均質で等方性の固体で、その平面を超えて波のエネルギーが伝播することはありません。ラムは問題を定式化する際に、粒子の運動成分をプレート法線方向 ( z方向) と波の伝播方向 ( x方向) に限定しました。定義により、ラム波はy方向に粒子の運動がありません。プレート内のy方向の運動は、いわゆる SH またはせん断水平波モードで見られます。これらはx方向またはz方向に運動しないため、ラム波モードを補完します。これら 2 つの波は、上で定義したようにプレート内で直線的で無限の波面で伝播できる唯一の波のタイプです。

ラム波は速度分散を示します。つまり、伝搬速度cは周波数 (または波長) だけでなく、材料の弾性定数と密度にも依存します。この現象は、プレート内の波の挙動を研究し理解する上で中心的な役割を果たします。物理的には、重要なパラメータはプレートの厚さdと波長の比です。この比によってプレートの有効剛性が決まり、波の速度が決まります。技術用途では、この値から簡単に導き出されるより実用的なパラメータ、つまり厚さと周波数の積が使用されます。 ${\displaystyle \lambda}$

速度と周波数 (または波長) の関係は、特性方程式に内在しています。プレートの場合、これらの方程式は単純ではなく、その解法には数値的手法が必要です。これは、ラムの最初の研究から 40 年後にデジタル コンピュータが登場するまで、解決困難な問題でした。旧ソ連のヴィクトロフ^[4]、米国のファイアストン、それに続くウォルトン、そして最終的には他の多くの人々によるコンピュータ生成の「分散曲線」の発表により、ラム波理論は実用化の領域に入りました。無料の「分散計算機」(DC) ^[5]ソフトウェアを使用すると、等方性プレートと多層異方性サンプルの分散図を計算できます。プレートで観察される実験波形は、分散曲線を参照して解釈することで理解できます。

分散曲線 (分散系における波の速度、波長、周波数の関係を示すグラフ) は、さまざまな形式で表すことができます。基礎となる物理現象を最もよく理解できる形式では、y軸に (角周波数) 、x軸にk (波数)が配置されます。ラム波を実用化した Viktorov が使用した形式では、y軸に波の速度、x軸に厚さ/波長比が配置されます。最も実用的な形式では、波の速度が y 軸に、周波数と厚さの積であるfd がx軸に配置されます。この形式は、J. および H. Krautkrämer と Floyd Firestone (ちなみに、「ラム波」という用語の考案者) の功績によるものです。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle d/\lambda }$

ラムの特性方程式は、幅 の無限プレート内に正弦波モードの 2 つのファミリー全体が存在することを示しています。これは、縦波と横波またはせん断波の2 つの波モードのみが存在する無制限の媒体の状況とは対照的です。単一の自由表面に沿って伝播するレイリー波と同様に、ラム波の粒子運動は楕円形であり、そのxおよびz成分はプレート内の深さに依存します。^[6]モードの 1 つのファミリーでは、運動は中央厚さ平面に対して対称です。もう 1 つのファミリーでは反対称です。速度分散の現象により、音波がプレート内を伝播するときに、実験的に観測可能な多種多様な波形が生成されます。観測された波形に見られる変調を決定するのは、前述の位相速度cまたはc _pではなく、群速度c _gです。波形の外観は、観測用に選択された周波数範囲に大きく依存します。曲げモードと伸張モードは比較的認識しやすいため、非破壊検査の手法として提唱されてきました。 ${\displaystyle d}$

対称および反対称のゼロ次モードは特に注意が必要です。これらのモードの「発生周波数」はゼロです。したがって、ゼロから無限に高い周波数までの全周波数スペクトルにわたって存在する唯一のモードです。低周波数範囲 (つまり、波長がプレートの厚さよりも大きい場合) では、これらのモードはそれぞれ「伸張モード」および「曲げモード」と呼ばれることが多く、これは動きの性質と伝播速度を制御する弾性剛性を表す用語です。楕円形の粒子の動きは、対称の伸張モードでは主にプレートの平面内で、反対称の曲げモードではプレートの平面に垂直です。これらの特性は、高周波数では変化します。

これら 2 つのモードは、(a) すべての周波数で存在し、(b) ほとんどの実用的な状況では高次モードよりも多くのエネルギーを運ぶため、最も重要です。

ゼロ次対称モード (S ₀と表記) は、低周波領域では「プレート速度」で伝搬し、ここでは「伸張モード」と呼ばれます。この領域では、プレートは伝播方向に伸び、それに応じて厚さ方向に収縮します。周波数が増加し、波長がプレートの厚さと同程度になると、プレートの湾曲が実効剛性に大きな影響を与え始めます。位相速度は滑らかに低下しますが、群速度は最小値に向かってやや急激に低下します。さらに高い周波数では、位相速度と群速度の両方がレイリー波速度 (上からの位相速度と下からの群速度) に向かって収束します。

伸張モードの低周波限界では、表面変位の z 成分と x 成分は直交し、それらの振幅の比は次のように表されます。 ここで、はポアソン比です。 $${\displaystyle {\frac {a_{z}}{a_{x}}}={\frac {\pi \nu }{(1-\nu )}}.{\frac {d}{\lambda }} }$$${\displaystyle \nu}$

ゼロ次反対称モード (A ₀と表記) は、低周波領域では非常に分散性が高く、ここでは「曲げモード」または「曲げモード」と呼ばれます。非常に低い周波数 (非常に薄いプレート) では、位相速度と群速度は両方とも周波数の平方根に比例します。群速度は位相速度の 2 倍です。この単純な関係は、曲げられた薄いプレートの剛性と厚さの関係の結果です。波長がプレートの厚さよりそれほど大きくないより高い周波数では、これらの関係は崩れます。位相速度は次第に緩やかに上昇し、高周波限界でレイリー波速度に向かって収束します。波長がプレートの厚さとほぼ等しいとき、群速度はせん断波速度より少し速い最大値を通過します。その後、上から高周波限界でレイリー波速度に向かって収束します。

伸張モードと曲げモードの両方を励起して検出できる実験では、伸張モードは曲げモードの前の高速度、低振幅の先行現象として現れることがよくあります。曲げモードは 2 つのうち励起されやすい方で、エネルギーの大部分を運びます。

周波数が上昇すると、ゼロ次モードに加えて高次波モードが出現します。各高次モードはプレートの共振周波数で「生まれ」、その周波数以上でのみ存在します。たとえば、厚さ3 ⁄ 4インチ (19 mm) の鋼板では、周波数 200 kHz で最初の 4 つのラム波モードが存在し、300 kHz では最初の 6 つのラム波モードが存在します。最初のいくつかの高次モードは、好ましい実験条件下では明確に観察できます。好ましくない条件下では、それらは重なり合って区別できません。

高次ラムモードは、プレート表面と平行なプレート内の節面によって特徴付けられます。これらのモードはそれぞれ、その「発生周波数」と呼ばれる特定の周波数を超える場合にのみ存在します。どのモードにも上限周波数はありません。発生周波数は、プレートの平面に垂直に伝播する縦波または横波の共振周波数として表すことができます。

${\displaystyle d={\frac {n\lambda}{2}}\quad \quad {\text{または}}\quad \quad f={\frac {nc}{2d}}}$

ここで、n は任意の正の整数です。ここで、c は縦波速度または横波速度のいずれかであり、結果として生じる各共振セットについて、対応するラム波モードは対称と反対称が交互に現れます。これら 2 つのセットの相互作用により、一見不規則に見える発生周波数のパターンが生じます。たとえば、縦速度が 5890 m/s、横速度が 3260 m/s の 3/4 インチ (19 mm) 厚の鋼板では、反対称モード A ₁と A _{2の発生周波数はそれぞれ 86 kHz と 310 kHz ですが、対称モード S 1}、 S ₂、 S ₃の発生周波数はそれぞれ 155 kHz、172 kHz、343 kHz です。

発生周波数では、これらの各モードの位相速度は無限大で、群速度はゼロです。高周波数限界では、これらすべてのモードの位相速度と群速度は、せん断波速度に収束します。これらの収束のため、レイリー速度とせん断速度 (互いに非常に近い) は厚板で非常に重要になります。エンジニアリング上最も重要な材料の観点から簡単に言えば、鋼板で長距離を伝播する高周波波エネルギーのほとんどは、3000～3300 m/s で伝搬されます。

ラム波モードでの粒子の運動は一般に楕円形で、プレートの平面に対して垂直な成分と平行な成分の両方を持ちます。これらの成分は直交しており、つまり 90° の位相差があります。成分の相対的な大きさは周波数の関数です。特定の周波数と厚さの積では、1 つの成分の振幅がゼロを通過するため、運動はプレートの平面に対して完全に垂直または平行になります。プレート表面上の粒子の場合、これらの条件はそれぞれラム波の位相速度が√ 2 c _tのとき、または対称モードの場合はc _lのときにのみ発生します。これらの方向性の考慮は、プレートから隣接する流体への音響エネルギーの放射を考慮するときに重要です。

モードの発生周波数では、粒子の動きはプレートの平面に対して完全に垂直または完全に平行になります。プレートの縦波共振に対応するモードの発生周波数に近づくと、粒子の動きはプレートの平面に対してほぼ完全に垂直になり、横波共振に近づくと平行になります。

J. および H. Krautkrämer は^[7]、ラム波はプレートに沿って適切な角度で伝播する縦波と横波のシステムとして考えることができると指摘しています。これらの波は反射し、モード変換し、結合して持続的でコヒーレントな波パターンを生成します。このコヒーレントな波パターンが形成されるためには、プレートの厚さが、基礎となる縦波と横波の伝播角度と波長に対してちょうど適切でなければなりません。この要件により、速度分散関係が生まれます。

ラムの解析では直線波面を想定していましたが、同じ特性方程式が円筒板波（つまり、板に垂直な線源から外側に伝播する波）にも当てはまることが示されています^[ 8]。違いは、直線波面の「キャリア」が正弦波であるのに対し、軸対称波の「キャリア」はベッセル関数であることです。ベッセル関数は、波源での特異性を処理し、遠距離では正弦波の挙動に収束します。

これらの円筒波は、点状擾乱に対するプレートの応答を構成するための固有関数です。したがって、点状擾乱に対するプレートの応答は、ラム波と近傍場のエバネッセント項の組み合わせとして表現できます。全体的な結果は、池に落とされた石の波紋のような円形の波面のパターンとして大まかに視覚化できますが、波紋が外側に進むにつれて形状が大きく変化します。ラム波理論は (r,z) 方向の動きにのみ関係し、横方向の動きは別のトピックです。

このフレーズは、非破壊検査でよく見かけます。「誘導ラム波」は、実際のテスト オブジェクトの有限の寸法によって誘導されるラム波のような波として定義できます。したがって、「ラム波」というフレーズに接頭辞「誘導」を追加すると、ラムの無限プレートは実際にはどこにも見つからないことを認識することになります。

実際には、有限のプレート、円筒形のパイプや容器に巻かれたプレート、薄いストリップに切断されたプレートなどを扱います。ラム波理論は、このような構造の波動の挙動の多くを非常にうまく説明できることが多いです。完璧な説明はできないため、「ラム波」という語句の方が「ラム波」よりも実用的に適しています。1 つの疑問は、ラム波のような波の速度とモード形状が、部品の実際の形状によってどのように影響を受けるかということです。たとえば、薄い円筒内のラム波のような波の速度は、円筒の半径と、波が軸に沿って伝わるのか円周を回るのかによってわずかに異なります。もう 1 つの疑問は、部品の実際の形状には、まったく異なる音響挙動と波モードが存在する可能性があるということです。たとえば、円筒形のパイプには、パイプ全体の物理的な動きに関連する曲げモードがあり、パイプ壁のラム波のような曲げモードとはまったく異なります。

超音波検査の目的は通常、検査対象物の個々の欠陥を見つけて特徴付けることです。このような欠陥は、衝突波が反射または散乱し、反射または散乱した波が十分な振幅で探知ユニットに到達したときに検出されます。

従来、超音波検査は、検査対象部品の寸法よりはるかに短い波長の波を使用して行われてきました。この高周波領域では、超音波検査装置は、無限媒質の縦波および横波モードに近い波を使用し、プレートの厚さを横切ってジグザグに動きます。ラム波の先駆者たちは非破壊検査への応用に取り組み、その理論に注目を集めましたが、分散曲線を計算し、それを実験的に観測可能な信号に関連付けるコンピュータ プログラムがはるかに広く利用可能になった 1990 年代まで、広範な使用は実現しませんでした。これらの計算ツールと、ラム波の性質に関するより広範な理解により、プレートの厚さと同等かそれ以上の波長を使用する非破壊検査の手法を考案することが可能になりました。これらの長い波長では、波の減衰が少なくなるため、より遠くにある欠陥を検出できます。

超音波検査にラム波を使用する際の大きな課題と技術は、適切に伝播し、きれいな「エコー」を返す特定の周波数で特定のモードを生成することです。これには、励起を慎重に制御する必要があります。この技術には、櫛形トランスデューサー、ウェッジ、液体媒体からの波、電磁音響トランスデューサー ( EMAT ) の使用が含まれます。

音響超音波検査は、欠陥を個別に特徴付けるのではなく、かなり広い範囲に分布する損傷 (およびその他の材料特性) を評価する手段として考案されたという点で、超音波検査とは異なります。ラム波は、プレートの厚み全体を照射し、一定の運動パターンでかなりの距離を伝播するため、この概念に適しています。

アコースティック エミッションは、従来の超音波検査よりもはるかに低い周波数を使用し、センサーは通常、最大数メートルの距離にあるアクティブな欠陥を検出できると期待されています。アコースティック エミッションで通常検査される構造物の大部分は、タンク、圧力容器、パイプなど、鋼板で作られています。したがって、ラム波理論は、アコースティック エミッション検査を行う際に観察される信号形式と伝播速度を説明する主要な理論です。ガイド波理論によるアコースティック エミッション信号の分析は、モード アコースティック エミッション (MAE) と呼ばれます。ラム波の知識体系をよく理解し、巧みに活用することで、音源位置の精度 (AE 検査の主要技術) を大幅に向上できます。

プレートに任意の機械的励起を加えると、さまざまな周波数にわたってエネルギーを運ぶラム波が多数生成されます。これは、アコースティック エミッション波の場合に当てはまります。アコースティック エミッション テストでは、受信波形内の複数のラム波成分を認識し、それらを音源の動きの観点から解釈することが課題となります。これは、単一の周波数で単一の適切に制御されたラム波モードを生成することが最初の課題である超音波テストの状況とは対照的です。ただし、超音波テストでも、生成されたラム波が欠陥と相互作用するとモード変換が発生するため、複数のモードから合成された反射信号の解釈が欠陥の特性評価の手段となります。

• 音響
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• 波動方程式
• 導波管
• 導波管（音響）
• 導波管（電磁気）

• Rose, JL; 「固体媒体における超音波」、ケンブリッジ大学出版局、1999 年。

• NDT リソース センターの音波伝播モード
• 非破壊検査百科事典におけるラム波
• Liu Zhenqing による「プレート内の音響超音波信号のラム波解析」: 完全なラム波方程式を含む記事。