正弦平面波

物理学において、正弦平面波は平面波の特殊なケースです。つまり、その値が時間と固定された平面からの距離の正弦関数として変化する場です。これは単色平面波とも呼ばれ、一定の周波数を持ちます (単色放射の場合など)。

空間内の任意の位置と任意の時間に対して、このような場の値は と表すことができます。 ここで、 は単位長さのベクトル、波の伝播方向、 " " は2 つのベクトルのドット積を表します。パラメータ はスカラーまたはベクトルであり、波の振幅と呼ばれます。係数 は正のスカラーで、空間周波数と呼ばれます。無次元スカラー はラジアン単位の角度で、初期位相または位相シフトと呼ばれます。 ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi \right)}$$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \varphi }$

スカラー量は、座標系の原点に垂直で原点を通る平面からの点の（符号付き）変位を示します。この量は、に垂直な各平面上で一定です。 ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\hat {n}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle {\hat {n}}}$

時刻 では、磁場は変位とともに正弦関数として 変化します。 空間周波数は、方向 に沿った単位長さあたりの完全なサイクル数です。 のその他の値では、磁場の値は方向 の距離だけ変位します。つまり、磁場全体がその方向に速度 で移動しているように見えます。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle F({\vec {x}},0)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})+\varphi \right)}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle c}$

各変位 に対して、原点から 距離で に垂直な移動面は波面と呼ばれます。この平面はのときに原点から距離 にあり、速度 で方向に動きます。この場合、場の値はどの点においても時間的に同じで一定です。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle d+ct}$${\displaystyle d}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle c}$

正弦平面波は、音源の距離に比べて小さい空気の体積内の音波に適したモデルです (近くの物体からのエコーがない場合)。その場合、 はスカラー場、つまり時点における空気圧の通常レベルからの偏差 になります。${\displaystyle F({\vec {x}},t)\,}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle t}$

任意の固定点 では、磁場も時間とともに正弦波的に変化します。これは、 との間の振幅 のスカラー倍になります。${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle +A}$${\displaystyle -A}$

振幅が に直交するベクトルである場合、その波は横波であるといわれます。が 2 つの非共線方向に沿って配向できる場合、そのような波は偏光を示すことがあります。が と共線であるベクトルである場合、その波は縦波であるといわれます。 これら 2 つの可能性は、地震学で研究されるS (剪断) 波とP (圧力) 波によって例示されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\hat {n}}}$

上記の式は、波の運動を引き起こす物理的プロセスに関係なく、波の純粋に「運動学的な」説明を提供します。等方性媒体を伝播する機械的または電磁気的な波では、波の見かけの伝播のベクトルは、エネルギーまたは運動量が実際に流れる方向でもあります。ただし、異方性媒体では、2 つの方向が異なる可能性があります。(波動ベクトル#波動ベクトルの方向も参照してください。) ${\displaystyle {\hat {n}}}$

上記と同じ正弦平面波は、 という基本的な恒等式を使用して、余弦ではなく正弦で表すこともできます。したがって、位相シフトの値と意味は、波が正弦で定義されているか、余弦で定義されているかによって異なります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \cos a=\sin(a+\pi /2)}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi '\right)}$$${\displaystyle \varphi '=\varphi +\pi /2}$

初期位相に の任意の整数倍を追加しても、フィールドに影響はありません。 の奇数倍を追加すると、振幅を反転するのと同じ効果があります。空間周波数に負の値を割り当てると、初期位相を適切に調整して、伝播方向を反転する効果があります。 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nu }$

正弦平面波の式は、他のいくつかの方法で記述できます。

平面正弦波は、複素指数関数 で表現されることもあります。 ここで、は自然指数関数の底、 は 虚数単位で、方程式 i 2 = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} で定義されます。これらのツールを使用すると、複素指数平面波を と 定義できます。 ここで、は（実）正弦平面波で定義されたとおりです。この方程式は、値が複素数、または複素座標を持つベクトルであるフィールドを与えます。元の波の表現は、実数部のみになり、 $${\displaystyle e^{\mathrm {i} z}=\exp(\mathrm {i} z)=\cos z+\mathrm {i} \sin z}$$${\displaystyle e}$${\displaystyle \mathrm {i} }$$${\displaystyle U({\vec {x}},t)\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi )]\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]}$$${\displaystyle A,\nu ,{\hat {n}},c,{\vec {v}},\omega ,\varphi }$${\displaystyle U({\vec {x}},t)}$$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=\operatorname {Re} {\left[U({\vec {x}},t)\right]}}$$

この方程式と以前の方程式との関係を理解するために、同じ方程式を正弦と余弦を使用して表現したものを以下に示します。最初の項が、先ほど説明した平面波の実数形式に等しいことに注目してください。

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccc}U({\vec {x}},t)&=&A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\\[1ex]U({\vec {x}},t)&=&F({\vec {x}},t)&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\end{array}}}$$

導入された平面波の複素形式は、実数値の振幅を複素数値の 振幅で置き換えることで簡略化できます。 具体的には、複素形式は とすることで位相因子を複素振幅に 吸収できるため、よりコンパクトな式が得られます。 ${\displaystyle C\,}$${\displaystyle A\,}$
$${\displaystyle \exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]\;=\;\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]\,e^{\mathrm {i} \varphi }}$$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }}$${\displaystyle C=Ae^{\mathrm {i} \varphi }}$$${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t)]}$$

複素形式には虚数成分がありますが、複素平面で必要な計算を実行すると、その実数値 (実際に物理的に観測または測定する波に対応) を抽出して、実際の平面波を表す実数値方程式を得ることができます。 $${\displaystyle \operatorname {Re} [U({\vec {x}},t)]=F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )}$$

平面波の複素指数形式を選択する主な理由は、複素指数は三角関数の正弦や余弦よりも代数的に扱いやすいことが多いためです。特に、指数の場合、角度の加算規則は非常に単純です。

さらに、損失のある媒体内の波にフーリエ解析技術を使用する場合、結果として生じる減衰は、複素フーリエ係数を使用して簡単に処理できます。波が損失のある媒体を通過している場合、波の振幅は一定ではなくなり、したがって厳密に言えば、波は真の平面波ではなくなります。

量子力学では、シュレーディンガー波動方程式の解は本質的に複素数値であり、最も単純な例では上記の複素平面波表現と同じ形式をとります。ただし、その例の虚数成分は数学的な便宜のために導入されたものではなく、実際には「波」の固有の部分です。

特殊相対論では、 4元ベクトルを使用することでさらにコンパクトな表現を利用できます。

したがって 、 $${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]}$$$${\displaystyle U({\vec {x}})=C\exp[-\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}})]}$$

均質な誘電体媒体における電磁放射を記述する方程式は、正弦平面波である特殊解を認める。電磁気学では、場は典型的には電場、磁場、またはベクトルポテンシャルであり、等方性媒体では伝播方向に対して垂直である。振幅は、最大強度場と等しい同じ性質のベクトルである。伝播速度は、媒体内の光速となる。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$

均質弾性固体の振動を記述する方程式には、横方向と縦方向の両方の正弦平面波の解も含まれています。これら 2 つのタイプは伝播速度が異なり、媒体の 密度とラメ パラメータに依存します。

媒体が伝播速度を課すということは、パラメータとが媒体の分散関係特性を満たさなければならないことを意味します。分散関係は、関数 として表現されることがよくあります。比は位相速度の大きさ を与え、導関数は群速度 を与えます。屈折率 の等方性媒体における電磁気学では、位相速度は であり、屈折率が周波数に依存しない場合は群速度に等しくなります。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega (k)}$${\displaystyle \omega /|k|}$${\displaystyle \partial \omega /\partial k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c/r}$

線形均一媒体では、波動方程式の一般解は、正弦平面波の重ね合わせとして表すことができます。この方法は、角スペクトル法として知られています。平面波解の形は、実際には並進対称性の一般的な帰結です。より一般的には、離散並進対称性を持つ周期構造の場合、解はブロッホ波の形を取ります。これは、結晶性原子材料で最も有名ですが、フォトニック結晶やその他の周期波動方程式でも見られます。もう1つの一般化として、1つの方向に沿ってのみ均一な構造（方向に沿った導波管など）の場合、解（導波モード）は、何らかの振幅関数を乗じた形になります。これは、分離可能な偏微分方程式の特殊なケースです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle exp[i(kx-\omega t)]}$${\displaystyle a(y,z)}$

最初の図の右側には、直線偏波の電磁波が表されています。これは平面波なので、軸上の点から正弦波までの垂直方向の変位を示す青いベクトルはそれぞれ、軸に垂直な平面全体の電界 の大きさと方向を表します。

2 番目の図は、円偏波の電磁平面波を表しています。軸上の点かららせんまでの垂直方向の変位を示す青いベクトルは、軸に垂直な平面全体の電界の大きさと方向も表しています。

どちらの図でも、軸に沿って、長い青いベクトルを縮小した一連の短い青いベクトルがあります。これらの短い青いベクトルは、空間の体積を埋める黒いベクトルのブロックに外挿されます。特定の平面では、黒いベクトルは同一であり、電界の大きさと方向がその平面に沿って一定であることを示しています。

直線偏光の場合、平面ごとに電界強度は、ある方向では最大値からゼロまで変化し、その後反対方向では再び最大値まで変化します。

円偏光の場合、電界強度は平面ごとに一定のままですが、その方向は回転型に着実に変化します。

どちらの図にも、電界に対応する磁場は示されていません。磁場は、空間内の各点における電界の強さに比例しますが、電界に対して直角です。磁場ベクトルの図は、すべてのベクトルが伝播方向と電界ベクトルの両方に垂直になるように伝播軸を中心に 90 度回転されることを除けば、これらと実質的に同一です。

自由空間における平面波の電界成分と磁界成分の振幅の比は自由空間波動インピーダンスと呼ばれ、376.730313 オームに等しくなります。

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