有限差分時間領域法

有限差分時間領域法（FDTD）またはイー法（1934年生まれの中国系アメリカ人応用数学者ケイン・S・イーにちなんで命名）は、計算電気力学のモデリングに使用される数値解析手法です。

歴史

時間依存偏微分方程式(PDE) の有限差分スキームは、計算流体力学の問題で長年使用されており、 ^{[ 1 ]}空間と時間のスタッガードグリッド上で中心有限差分演算子を使用して 2 次精度を達成するというアイデアも含まれています。^{[ 1 ]} Yee の FDTD スキームの斬新さは、1966 年の彼の画期的な論文で発表されたもので、^{[ 2 ]} Maxwell の回転方程式の各電場および磁場ベクトル場成分に対して、空間と時間のスタッガードグリッド上で中心有限差分演算子を適用することでした。「有限差分時間領域」という記述子とそれに対応する「FDTD」という頭字語は、1980 年にAllen Tafloveによって考案されました。 ^{[ 3 ]} 1990 年頃から、FDTD 技術は、材料構造と電磁波の相互作用を扱う多くの科学および工学の問題を計算モデル化する主要な手段として登場しました。現在の FDTD モデリングの応用範囲は、近直流(地球全体と電離層導波路を含む超低周波地球物理学) からマイクロ波(レーダーシグネチャ技術、アンテナ、無線通信機器、デジタル相互接続、生体医療画像処理/治療) から可視光(フォトニック結晶、ナノプラズモニクス、ソリトン、バイオフォトニクス) まで多岐にわたります。^[⁴^] 2006 年に、科学および工学文献に 2,000 件の FDTD 関連の出版物が掲載されたと推定されています (人気度を参照)。2013 年現在、少なくとも 25 社の商用/独自仕様の FDTD ソフトウェアベンダー、13 社のフリーソフトウェア/オープンソースソフトウェアの FDTD プロジェクト、および商用利用を目的としないフリーウェア/クローズドソースの FDTD プロジェクトが 2 つ存在します (外部リンクを参照)。

FDTD法とマクスウェル方程式の開発

マクスウェル方程式に対するFDTD数値計算手法の基礎、技術開発、そして将来の可能性を理解するには、まずその歴史を考察することから始めると良いでしょう。以下に、この分野における主要な論文をいくつか挙げます。

FDTDモデルと手法

マクスウェルの微分方程式を調べると、時間における電場の変化（時間微分）は空間における磁場の変化（回転）に依存することがわかります。このことから、空間内の任意の点において、時間における電場の更新値は、保存された電場の値と空間における磁場の局所分布の数値回転に依存するという、基本的なFDTD時間ステップ関係が得られます。^{[ 2 ]}

H場も同様の方法で時間ステップ処理されます。空間内の任意の点において、時間経過に伴うH場の更新値は、保存されているH場の値と、空間内のE場の局所分布の数値的な回転に依存します。E場とH場の更新を繰り返すことで、コンピュータのメモリに格納された数値グリッド内で、対象となる連続電磁波のサンプリングデータ類似物が伝播する、時間経過に沿った処理が実現されます。

この説明は、1-D、2-D、および3-D FDTD 手法に当てはまります。複数の次元を考慮すると、数値回転の計算は複雑になる可能性があります。Kane Yee の 1966 年の画期的な論文では、E 場と H 場のベクトル成分を直交座標計算グリッドの長方形の単位セルの周りに空間的にずらすことが提案され、各 E 場ベクトル成分が一対の H 場ベクトル成分の中間に位置し、その逆も同様です。^{[ 2 ]} 現在Yee 格子として知られるこのスキームは、非常に堅牢であることが証明されており、現在の多くの FDTD ソフトウェア構造の中核となっています。

さらに、Yee は、E フィールドと H フィールドの更新をずらして行うリープフロッグ方式を時間的に進行させるように提案しました。これにより、E フィールドの更新は、連続する H フィールドの更新の間の各タイムステップの中間で実行され、その逆もまた同様です。^{[ 2 ]}プラス面としては、この明示的な時間ステップ方式は、連立方程式を解く必要がなく、さらに散逸のない数値波動伝播を実現します。マイナス面としては、この方式は、数値安定性を確保するためにタイムステップの上限を要求します。^{[ 9 ]}その結果、特定の種類のシミュレーションでは、完了までに数千のタイムステップが必要になる場合があります。

FDTD法を用いる

マクスウェル方程式のFDTD法による解法を実装するには、まず計算領域を設定する必要があります。計算領域とは、シミュレーションを実行する物理的な領域のことです。その計算領域内の空間上のあらゆる点で、電場Eと磁場Hが決定されます。計算領域内の各セルの材料を指定する必要があります。一般的に、材料は自由空間（空気）、金属、または誘電体です。透磁率、誘電率、導電率が指定されていれば、どのような材料でも使用できます。

表形式の分散性材料の誘電率は、FDTD スキームに直接代入することはできません。代わりに、複数のデバイ項、ドルーデ項、ローレンツ項、または臨界点項を使用して近似することができます。この近似は、オープンなフィッティングプログラム^{[ 67 ]}を使用して取得できますが、必ずしも物理的な意味を持つとは限りません。

計算領域とグリッド材料が確立されると、ソースが指定されます。ソースは、ワイヤ上の電流、印加された電場、または入射平面波のいずれかです。最後のケースでは、FDTD は、任意の形状の物体、さまざまな入射角での平面周期構造からの光散乱、^{[ 68 ]}^{[ 69 ]}、および無限周期構造のフォトニックバンド構造をシミュレートするために使用できます。^{[ 70 ]}^{[ 71 ]}

E場とH場は直接決定されるため、シミュレーションの出力は通常、計算領域内の1点または一連の点におけるE場またはH場となる。シミュレーションは、E場とH場を時間的に前進させる。

シミュレーションによって返されるE場とH場に対して処理を行うことができる。また、シミュレーションの実行中にデータ処理が行われる場合もある。

FDTD法はコンパクトな空間領域内の電磁場を計算するが、散乱および/または放射された遠方場は、近方場から遠方場への変換によって得られる。^{[ 14 ]}

安定性

FDTD法の線形性により、FDTD法の安定領域はフォン・ノイマン安定性解析によって決定できます。この方法は、電場と磁場が単色複素指数関数に比例すると仮定しています。1タイムステップ後、安定場の振幅は同じかそれ以下である必要があります。これにより、 FDTDパラメータの関係を記述して安定性を確保するクーラン・フリードリヒス・レヴィ条件が導かれます。^{[ 4 ]}

FDTDモデリングの強み

どのモデリング手法にも長所と短所があり、FDTD法も例外ではない。

FDTD法は、マクスウェル方程式を解くために用いられる汎用性の高いモデリング手法です。直感的に理解できるため、ユーザーは容易にその使い方を理解し、与えられたモデルからどのような結果が得られるかを把握できます。
FDTD法は時間領域解析手法であり、広帯域パルス（ガウスパルスなど）を音源として用いることで、広範囲の周波数におけるシステムの応答を単一のシミュレーションで得ることができます。これは、共振周波数が正確に分かっていない場合や、広帯域の結果が必要な場合に特に有効です。
FDTD法は、計算領域内のあらゆる場所で電場（E）と磁場（H）の時間変化を計算するため、モデル内における電磁場の動きをアニメーションで表示するのに適しています。このような表示は、モデル内で何が起こっているかを理解し、モデルが正しく動作していることを確認するのに役立ちます。
FDTD法を用いることで、計算領域内のすべての点における材料特性を指定できます。線形および非線形の誘電体や磁性体など、多種多様な材料を自然かつ容易にモデル化することが可能です。
FDTD法を用いることで、開口部の影響を直接的に求めることができます。遮蔽効果を算出したり、構造物の内外における電界を直接的または間接的に求めることが可能です。
FDTD法は電界（E）と磁界（H）を直接使用します。ほとんどのEMI/EMCモデリングアプリケーションは電界と磁界に関心があるため、シミュレーション実行後にこれらの値を取得するために変換を行う必要がないのは便利です。

FDTDモデリングの弱点

単純な一次元FDTDスキームにおける方形パルス信号の数値分散。パルスのエッジ周辺のリンギングアーティファクトが著しく強調され（ギブス現象）、分散媒質が存在しない場合でも信号は伝搬中に歪みます。このアーティファクトは離散化スキームの直接的な結果です。^{[ 4 ]}

FDTD では計算領域全体をグリッド化する必要があり、グリッドの空間離散化は最小の電磁波長とモデル内の最小の幾何学的特徴の両方を解像できるほど十分に細かくなければならないため、非常に大きな計算領域が作成される可能性があり、その結果、非常に長い解法時間が発生します。長くて細い特徴 (ワイヤなど) を持つモデルは、必要となる計算領域が大きすぎるため、FDTD でモデル化するのが困難です。固有モード展開などの手法は、z 方向に沿って細かいグリッドを必要としないため、より効率的な代替手段を提供できます。^{[ 72 ]}
物質界面における誘電率と透磁率の固有の値を決定する方法は存在しない。
空間ステップと時間ステップはCFL条件を満たさなければならず、そうでない場合、偏微分方程式を解くために使用されるリープフロッグ積分は不安定になる可能性が高い。
FDTD は計算領域内のあらゆる場所で E/H 場を直接求めます。ある距離での場の値が必要な場合、その距離によって計算領域が過度に大きくなる可能性があります。FDTD には遠方場拡張機能がありますが、ある程度の後処理が必要です。^{[ 4 ]}
FDTD シミュレーションでは計算領域内のすべての点で E および H 場を計算するため、コンピュータメモリに保持できるように計算領域は有限でなければなりません。多くの場合、これはシミュレーション空間に人工的な境界を挿入することによって実現されます。このような境界によって生じる誤差を最小限に抑えるように注意する必要があります。無限の非境界計算領域をシミュレートするために、非常に効果的な吸収境界条件(ABC) がいくつか利用可能です。^{[ 4 ]}代わりに、最新の FDTD 実装のほとんどは、吸収境界を実装するために、完全整合層(PML) と呼ばれる特別な吸収「材料」を使用します。^{[ 42 ]}^{[ 47 ]}
FDTDは時間領域で場を順方向に伝播させることで解かれるため、媒質の電磁時間応答を明示的にモデル化する必要があります。任意の応答の場合、これは計算コストの高い時間畳み込みを伴いますが、ほとんどの場合、媒質（または分散（光学））の時間応答は、再帰畳み込み（RC）法、補助微分方程式（ADE）法、またはZ変換法のいずれかを使用して適切かつ簡単にモデル化できます。任意の分散を容易に扱うことができるマクスウェル方程式の別の解法は、空間で場を順方向に伝播させる擬似スペクトル空間領域（PSSD）です。

グリッド切り捨て技術

開放領域 FDTD モデリング問題で最も一般的に使用されるグリッド切り捨て手法は、Mur 吸収境界条件(ABC) ^{[ 13 ]} 、 Liao ABC ^{[ 16 ]}、およびさまざまな完全整合層(PML) 定式化です。^{[ 4 ]}^{[ 43 ]}^{[ 42 ]}^{[ 47 ]} Mur および Liao 手法は、PML よりも単純です。ただし、PML (厳密には境界条件ではなく吸収領域です)は、桁違いに低い反射を提供できます。PML の概念は、J.-P. Berenger が Journal of Computational Physics の 1994 年の画期的な論文で導入しました。^{[ 42 ]} 1994 年以降、Berenger のオリジナルの分割フィールド実装は、単軸 PML (UPML)、畳み込み PML (CPML)、および高次 PML に修正および拡張されています。後者の2つのPML定式化は、エバネッセント波を吸収する能力が向上しているため、原理的にはベレンジャーの元の定式化よりも、シミュレーションされた散乱構造や放射構造により近い位置に配置することができる。

PMLからの不要な数値反射を低減するために、追加の背面吸収層技術を使用することができます。^{[ 73 ]}

参考文献

1 2 J. von Neumann; RD Richtmyer (1950 年 3 月) 「流体力学的衝撃波の数値計算法」Journal of Applied Physics . 21 (3): 232– 237. Bibcode : 1950JAP....21..232V . doi : 10.1063/1.1699639 .
1 2 3 4 5 6 Kane Yee (1966). "等方性媒質におけるマクスウェル方程式を含む初期境界値問題の数値解法". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 14 (3): 302–307 . Bibcode : 1966ITAP...14..302Y . doi : 10.1109/TAP.1966.1138693 . S2CID 122712881 .
1 2 A. Taflove (1980). "正弦波定常電磁波侵入問題への有限差分時間領域法の適用" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 22 (3): 191– 202. Bibcode : 1980ITElC..22..191T . doi : 10.1109/TEMC.1980.303879 . S2CID 39236486 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Allen TafloveおよびSusan C. Hagness (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed . Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9。
↑ TafloveとHagness（2005）の許可を得て改変。
↑リチャード・クーラント;クルト・オットー・フリードリヒス。ハンス・レヴィ (1928)。「数学物理学における重要な部分」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。100 (1): 32–74。ビブコード: 1928MatAn.100...32C。土井：10.1007/BF01448839。JFM 54.0486.01。MR 1512478。S2CID 120760331。
↑ GG O'Brien、M. A Hyman、S. Kaplan (1950)「偏微分方程式の数値解法の研究」Journal of Mathematical Physics . 29 (1): 223– 251. doi : 10.1002/sapm1950291223 . MR 0040805 . {{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
↑ Dong-Hoa Lam (1969). "電磁散乱問題に対する有限差分法" (PDF) .ミシシッピ州立大学、相互作用ノート. 44 .
1 2 A. Taflove; ME Brodwin (1975). "時間依存マクスウェル方程式を用いた定常電磁散乱問題の数値解法" (PDF) . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 23 (8): 623– 630. Bibcode : 1975ITMTT..23..623T . doi : 10.1109/TMTT.1975.1128640 .
↑ A. Taflove; ME Brodwin (1975). "マイクロ波照射を受けた人間の目のモデルにおける電磁場と誘導温度の計算" (PDF) . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 23 (11): 888– 896. Bibcode : 1975ITMTT..23..888T . doi : 10.1109/TMTT.1975.1128708 .
↑ R. Holland (1977). "Threde: 自由場 EMP 結合および散乱コード". IEEE Transactions on Nuclear Science . 24 (6): 2416–2421 . Bibcode : 1977ITNS...24.2416H . doi : 10.1109/TNS.1977.4329229 . S2CID 35395821 .
↑ KS Kunz; KM Lee (1978). "複雑な過渡電磁環境に対する航空機の外部応答の3次元有限差分解". IEEE Trans. Electromagn. Compat. 20 (2): 333– 341. doi : 10.1109/TEMC.1978.303727 . S2CID 31666283 .
1 2 G. Mur (1981). "時間領域電磁場方程式の有限差分近似に対する吸収境界条件". IEEE Trans. Electromagn. Compat. 23 (4): 377– 382. doi : 10.1109/TEMC.1981.303970 . S2CID 25768246 .
1 2 K. R. Umashankar; A. Taflove (1982). "複雑な物体の電磁散乱を解析する新しい方法" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 24 (4): 397– 405. Bibcode : 1982ITElC..24..397U . doi : 10.1109/TEMC.1982.304054 . S2CID 37962500 .
↑ A. Taflove; KR Umashankar (1983). "一般的な3次元散乱体のレーダー断面積" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 25 (4): 433– 440. doi : 10.1109/TEMC.1983.304133 . S2CID 40419955 .
1 2 Z. P. Liao; HL Wong; BP Yang; YF Yuan (1984). 「過渡波解析のための伝達境界」. Scientia Sinica, Series A. 27 : 1063– 1076 .
↑ W. Gwarek (1985). "任意形状の平面回路の解析 ― 時間領域アプローチ". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 33 ( 10 ): 1067–1072 . Bibcode : 1985ITMTT..33.1067G . doi : 10.1109/TMTT.1985.1133170 .
↑ DH Choi; WJ Hoefer (1986). "有限差分時間領域法とその固有値問題への応用". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 34 (12): 1464–1470 . Bibcode : 1986ITMTT..34.1464C . doi : 10.1109/TMTT.1986.1133564 .
↑ GA Kriegsmann; A. Taflove; KR Umashankar (1987). "表面放射境界条件アプローチを用いた電磁波散乱の新しい定式化" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 35 (2): 153– 161. Bibcode : 1987ITAP...35..153K . doi : 10.1109/TAP.1987.1144062 .
↑ TG Moore; JG Blaschak; A. Taflove; GA Kriegsmann (1988). "放射境界演算子の理論と応用" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (12): 1797– 1812. Bibcode : 1988ITAP...36.1797M . doi : 10.1109/8.14402 .
↑ KR Umashankar; A. Taflove; B. Beker (1987). "任意の形状の空洞内の結合ワイヤ上の誘導電流の計算と実験的検証" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 35 (11): 1248– 1257. Bibcode : 1987ITAP...35.1248U . doi : 10.1109/TAP.1987.1144000 .
↑ A. Taflove; KR Umashankar; B. Beker; FA Harfoush; KS Yee (1988). "厚い導電性スクリーンの狭いスロットと重ね合わせた接合部を貫通する電磁界の詳細なFDTD解析" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (2): 247– 257. Bibcode : 1988ITAP...36..247T . doi : 10.1109/8.1102 .
↑ TG Jurgens; A. Taflove; KR Umashankar; TG Moore (1992). "曲面の有限差分時間領域モデリング" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 40 (4): 357– 366. Bibcode : 1992ITAP...40..357J . doi : 10.1109/8.138836 .
↑ DM Sullivan; OP Gandhi; A. Taflove (1988). "人体モデルにおける電磁波吸収の計算における有限差分時間領域法の使用" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 35 (3): 179– 186. doi : 10.1109/10.1360 . PMID 3350546 . S2CID 20350396 .
↑ X. Zhang; J. Fang; KK Mei; Y. Liu (1988). "時間領域有限差分法によるマイクロストリップの分散特性の計算". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 36 (2): 263– 267. Bibcode : 1988ITMTT..36..263Z . doi : 10.1109/22.3514 .
↑ T. Kashiwa; I. Fukai (1990). "電子分極に関連する分散特性のFDTD法による処理". Microwave and Optical Technology Letters . 3 (6): 203– 205. doi : 10.1002/mop.4650030606 .
↑ R. Luebbers; F. Hunsberger; K. Kunz; R. Standler; M. Schneider (1990). "分散性材料に対する周波数依存有限差分時間領域定式化". IEEE Trans. Electromagn. Compat. 32 (3): 222– 227. doi : 10.1109/15.57116 .
↑ RM Joseph; SC Hagness; A. Taflove (1991). "フェムト秒電磁パルスの散乱と伝搬のための吸収を伴う線形分散媒質におけるマクスウェル方程式の直接時間積分" (PDF) . Optics Letters . 16 (18): 1412– 4. Bibcode : 1991OptL...16.1412J . doi : 10.1364/OL.16.001412 . PMID 19776986 .
↑ JG Maloney; GS Smith; WR Scott Jr. (1990). "有限差分時間領域法を用いた単純アンテナからの放射の正確な計算". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 38 (7): 1059–1068 . Bibcode : 1990ITAP...38.1059M . doi : 10.1109/8.55618 . S2CID 31583883 .
↑ DS Katz; A. Taflove ; MJ Piket-May ; KR Umashankar (1991). "FDTD 解析によるホーンアンテナを含むシステムからの電磁波放射" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 39 (8): 1203– 1212. Bibcode : 1991ITAP...39.1203K . doi : 10.1109/8.97356 .
↑ PA Tirkas; CA Balanis (1991). 「ホーンアンテナによる放射のための有限差分時間領域法」. Antennas and Propagation Society Symposium 1991 Digest . Vol. 3. pp. 1750–1753 . doi : 10.1109/APS.1991.175196 . ISBN 978-0-7803-0144-3. S2CID 122038624 .
↑ E. Sano; T. Shibata (1990). "ピコ秒光伝導スイッチの全波解析". IEEE Journal of Quantum Electronics . 26 (2): 372–377 . Bibcode : 1990IJQE...26..372S . doi : 10.1109/3.44970 .
↑ SM El-Ghazaly; RP Joshi; RO Grondin (1990). "サブピコ秒光伝導スイッチモデリングにおける電磁気および輸送に関する考察". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 38 (5): 629–637 . Bibcode : 1990ITMTT..38..629E . doi : 10.1109/22.54932 .
↑ PM Goorjian; A. Taflove (1992). "フェムト秒電磁ソリトンの伝搬と散乱のための非線形分散媒質におけるマクスウェル方程式の直接時間積分" (PDF) . Optics Letters . 17 (3): 180– 182. Bibcode : 1992OptL...17..180G . doi : 10.1364/OL.17.000180 . PMID 19784268 .
↑ RW Ziolkowski; JB Judkins (1993). "有限応答時間を示す非線形カー媒質における超短光パルスの自己集束の全波ベクトルマクスウェル方程式モデリング". Journal of the Optical Society of America B . 10 (2): 186– 198. Bibcode : 1993JOSAB..10..186Z . doi : 10.1364/JOSAB.10.000186 .
↑ RM Joseph; PM Goorjian; A. Taflove (1993). "フェムト秒電磁ソリトンの伝搬と散乱のための2次元誘電体導波路におけるマクスウェル方程式の直接時間積分" (PDF) . Optics Letters . 18 (7): 491– 3. Bibcode : 1993OptL...18..491J . doi : 10.1364/OL.18.000491 . PMID 19802177 .
↑ RM Joseph; A. Taflove (1994). "FDTD Maxwell方程式モデリングによって示される空間ソリトン偏向メカニズム" (PDF) . IEEE Photonics Technology Letters . 2 (10): 1251– 1254. Bibcode : 1994IPTL....6.1251J . doi : 10.1109/68.329654 . S2CID 46710331 .
↑ W. Sui; DA Christensen; CH Durney (1992). "アクティブおよびパッシブ集中定数素子を持つハイブリッド電磁システムへの2次元FDTD法の拡張". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 40 (4): 724–730 . Bibcode : 1992ITMTT..40..724S . doi : 10.1109/22.127522 .
↑ B. Toland; B. Houshmand; T. Itoh (1993). "FDTD法による非線形アクティブ領域のモデリング". IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 3 (9): 333– 335. doi : 10.1109/75.244870 . S2CID 27549555 .
↑ Aoyagi, PH; Lee, JF; Mittra, R. (1993). "A hybrid Yee algorithm/scalar-wave equation approach". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 41 (9): 1593– 1600. Bibcode : 1993ITMTT..41.1593A . doi : 10.1109/22.245683 .
↑ VA Thomas; ME Jones; MJ Piket-May ; A. Taflove; E. Harrigan (1994). "The use of SPICE lumped circuits as sub-grid model for FDTD high-speed electronic circuit design" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (5): 141– 143. doi : 10.1109/75.289516 . S2CID 32905331 .
1 2 3 4 J. Berenger (1994). "電磁波吸収のための完全整合層" (PDF) . Journal of Computational Physics . 114 (2): 185– 200. Bibcode : 1994JCoPh.114..185B . doi : 10.1006/jcph.1994.1159 .
1 2 E.A. Navarro; C. Wu; PY Chung; J. Litva (1994). "非直交FDTD法へのPML超吸収境界条件の適用". Electronics Letters . 30 (20): 1654–1656 . Bibcode : 1994ElL....30.1654N . doi : 10.1049/el:19941139 .
↑ DS Katz; ET Thiele; A. Taflove (1994). "FDTDメッシュに対するBerenger PML吸収境界条件の検証と3次元への拡張" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (8): 268– 270. doi : 10.1109/75.311494 . S2CID 10156811 .
↑ CE Reuter; RM Joseph; ET Thiele; DS Katz; A. Taflove (1994). "FDTD シミュレーションにおける導波構造の終端のための超広帯域吸収境界条件" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (10): 344– 346. doi : 10.1109/75.324711 . S2CID 24572883 .
↑ WC Chew; WH Weedon (1994). "A 3D perfectly matched medium from modified Maxwell's equations with stretched coordinates". Microwave and Optical Technology Letters . 7 (13): 599–604 . Bibcode : 1994MiOTL...7..599C . doi : 10.1002/mop.4650071304 .
1 2 3 S. D. Gedney (1996). "FDTD格子切断のための異方性完全整合層吸収媒体". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 44 (12): 1630– 1639. Bibcode : 1996ITAP...44.1630G . doi : 10.1109/8.546249 .
↑ ZS Sacks; DM Kingsland; R. Lee; JF Lee (1995). "吸収境界条件として使用する完全整合異方性吸収体". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 43 (12): 1460–1463 . Bibcode : 1995ITAP...43.1460S . doi : 10.1109/8.477075 .
↑ QH Liu (1997). 「擬似スペクトル時間領域 (PSTD) 法: マクスウェル方程式の解法のための新しいアルゴリズム」. IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium 1997. Digest . Vol. 1. pp. 122–125 . doi : 10.1109/APS.1997.630102 . ISBN 978-0-7803-4178-4. S2CID 21345353 .
↑ OM Ramahi (1997). "FDTDシミュレーションにおける相補演算子法". IEEE Antennas and Propagation Magazine . 39 (6): 33–45 . Bibcode : 1997IAPM...39...33R . doi : 10.1109/74.646801 .
↑ JG Maloney; MP Kesler (1998). "周期構造の解析".第 6 章、Advances in Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method、A. Taflove 編、Artech House、出版社。
↑ AS Nagra; RA York (1998). "非線形吸収媒体および利得媒体における波動伝搬のFDTD解析". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 46 (3): 334– 340. Bibcode : 1998ITAP...46..334N . doi : 10.1109/8.662652 .
↑ SC Hagness; A. Taflove; JE Bridges (1998). "乳がん検出用パルスマイクロ波共焦点システムの2次元FDTD解析：固定焦点およびアンテナアレイセンサー" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 45 (12): 1470– 1479. doi : 10.1109/10.730440 . PMID 9835195 . S2CID 6169784 .
↑ JB Schneider; CL Wagner (1999). "FDTD分散の再検討: 光速を超える伝搬". IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 54–56 . CiteSeerX 10.1.1.77.9132 . doi : 10.1109/75.755044 .
↑ F. Zhen; Z. Chen; J. Zhang (2000). "3次元無条件安定有限差分時間領域法の開発に向けて". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 48 (9): 1550–1558 . Bibcode : 2000ITMTT..48.1550Z . doi : 10.1109/22.869007 .
↑ F. Zheng; Z. Chen (2001). "無条件安定3次元ADI-FDTD法の数値分散解析". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 49 (5): 1006–1009 . Bibcode : 2001ITMTT..49.1006Z . doi : 10.1109/22.920165 .
↑ JA Roden; SD Gedney (2000). "Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media" . Microwave and Optical Technology Letters . 27 (5): 334– 339. doi : 10.1002/1098-2760(20001205)27:5 < 334::AID-MOP14 > 3.0.CO ; 2-A .{{cite journal}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)
↑ T. Rylander; A. Bondeson (2000). "Maxwell方程式に対する安定なFDTD-FEMハイブリッド法". Computer Physics Communications . 125 ( 1–3 ): 75–82 . doi : 10.1016/S0010-4655(99)00463-4 .
↑ M. Hayakawa; T. Otsuyama (2002). "FDTD解析による不均質な電離層下導波路モデルにおけるELF波伝搬の解析" . ACES Journal . 17 : 239–244 . 2012年5月27日にオリジナルからアーカイブ済み。
↑ JJ Simpson; A. Taflove (2002). "地球の対蹠ELF伝搬とシューマン共振の2次元FDTDモデル" (PDF) . IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters . 1 (2): 53– 56. Bibcode : 2002IAWPL...1...53S . CiteSeerX 10.1.1.694.4837 . doi : 10.1109/LAWP.2002.805123 . S2CID 368964 . 2010年6月17日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。
↑ H. De Raedt; K. Michielsen; JS Kole; MT Figge (2003). "チェビシェフ法によるマクスウェル方程式の解法：1ステップ有限差分時間領域アルゴリズム". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 51 (11): 3155–3160 . arXiv : physics/0208060 . Bibcode : 2003ITAP...51.3155D . doi : 10.1109/TAP.2003.818809 . S2CID 119095479 .
↑ A. Soriano; EA Navarro; J. Portí; V. Such (2004). "量子デバイスにおけるシュレーディンガー方程式を解くための有限差分時間領域法の解析". Journal of Applied Physics . 95 (12): 8011– 8018. Bibcode : 2004JAP....95.8011S . doi : 10.1063/1.1753661 . hdl : 10550/12837 .
↑ I. Ahmed; EK Chua; EP Li; Z. Chen (2008). "Development of the three-dimensional unconditionally stable LOD-FDTD method". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 56 (11): 3596–3600 . Bibcode : 2008ITAP...56.3596A . doi : 10.1109/TAP.2008.2005544 . S2CID 31351974 .
↑谷口裕、馬場裕、長岡直樹、天谷昭（2008）。「FDTD 計算のための改良された細線表現」。IEEE Transactions on Antennas and Propagation。56（10）：3248–3252。Bibcode：2008ITAP...56.3248T。doi：10.1109 /TAP.2008.929447。S2CID 29617214 。
↑ RMS de Oliveira; CLSS Sobrinho (2009). "有限差分時間領域法による変電所における落雷シミュレーションのための計算環境". IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility . 51 (4): 995–1000 . doi : 10.1109/TEMC.2009.2028879 .
↑ RMS de Oliveira; RR Paiva (2021). "最小二乗有限差分時間領域". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 69 (9): 6111– 6115. Bibcode : 2021ITAP...69.6111D . doi : 10.1109/TAP.2021.3069576 . S2CID 234307029 .
↑ 「誘電関数のフィッティング」。
↑ I. Valuev; A. Deinega; S. Belousov (2008). "有限差分時間領域法による斜入射周期構造解析のための反復手法". Opt. Lett . 33 (13): 1491–3 . Bibcode : 2008OptL...33.1491V . doi : 10.1364/ol.33.001491 . PMID 18594675 .
↑ A. Aminian; Y. Rahmat-Samii (2006). "Spectral FDTD: a novel technique for the analysis of oblique incident plane wave on periodic structures". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 54 (6): 1818– 1825. Bibcode : 2006ITAP...54.1818A . doi : 10.1109/tap.2006.875484 . S2CID 25120679 .
↑ A. Deinega; S. Belousov; I. Valuev (2009). "層状周期構造のためのハイブリッド伝達行列FDTD法". Opt. Lett . 34 (6): 860–2 . Bibcode : 2009OptL...34..860D . doi : 10.1364 / ol.34.000860 . PMID 19282957. S2CID 27742034 .
↑ Y. Hao; R. Mittra (2009). FDTD によるメタマテリアルのモデリング: 理論と応用. Artech House Publishers.
↑ D. Gallagher (2008). 「フォトニクスCADの成熟」（PDF） . LEOSニュースレター.
↑ A. Deinega; I. Valuev (2011). "層状周期構造におけるPML吸収境界の長時間挙動". Comput. Phys. Commun . 182 (1): 149– 151. Bibcode : 2011CoPhC.182..149D . doi : 10.1016/j.cpc.2010.06.006 .
↑ SG Johnson、「カシミール相互作用を計算するための数値的方法」、Casimir Physics（D. Dalvit、 P. Milonni、D. Roberts、F. da Rosa 編）、 Lecture Notes in Physics vol. 834 、ch. 6、pp. 175–218、ベルリン：Springer、2011 年 6 月。

さらに読む

Nature Milestones: Photonsに掲載された以下の記事は、マクスウェル方程式に関連するFDTD法の歴史的重要性について解説しています。

David Pile (2010年5月) 「マイルストーン2（1861年）マクスウェル方程式」 Nature Milestones: Photons . doi : 10.1038/nmat2639 . 2010年6月17日取得。

アレン・タフロブ氏によるインタビュー記事「数値解法」は、マクスウェル方程式の発表150周年を記念したNature Photonics誌2015年1月号の特集号に掲載されました。このインタビューでは、FDTD法の開発が、マクスウェルの電気力学理論の1世紀半にわたる歴史とどのように関連しているかについて触れています。

Nature Photonics誌のインタビュー

以下の大学レベルの教科書は、FDTD法に関する優れた入門書です。

カール・S・クンツ、レイモンド・J・リューバーズ（1993）。電磁気学のための有限差分時間領域法。CRC Press。ISBN 978-0-8493-8657-22007年12月10日にオリジナルからアーカイブされました。 2006年8月5日に取得。

アレン・タフロブ、スーザン・C・ハグネス（2005）。計算電磁気学：有限差分時間領域法、第3版。アーテック・ハウス出版。ISBN 978-1-58053-832-9。

Wenhua Yu; Raj Mittra; Tao Su; Yongjun Liu; Xiaoling Yang (2006).並列有限差分時間領域法. Artech House Publishers. ISBN 978-1-59693-085-8。

ジョン・B・シュナイダー（2010）。FDTD法の理解。オンラインで入手可能。

外部リンク

フリーソフトウェア／オープンソースソフトウェアFDTDプロジェクト：

FDTD++：高度な機能を備えたFDTDソフトウェア。洗練された材料モデルと定義済みの適合に加え、ディスカッション/サポートフォーラムとメールサポートも提供されます。
openEMS （C++で記述された、 Matlab / Octaveインターフェースを使用する、完全3D直交座標系および円筒座標系メッシュEC-FDTDソルバー）
pFDTD（キム・セホン氏が開発した3D C++ FDTDコード）
JFDTD（ジェフリー・M・マクマホンによってナノフォトニクス向けに開発された2D/3D C++ FDTDコード）
WOLFSIMは、2008年7月2日にWayback Machine （NCSU）にアーカイブされました（2D）。
Meep（MIT、2D/3D/円筒平行FDTD）
（ジオ）レーダーFDTD
bigboy（メンテナンスされておらず、リリースファイルもありません。ソースコードはCVSから入手する必要があります）
C++ の並列 (MPI&OpenMP) FDTD コード(Zs. Szabó によって開発)
Fortran 90で記述されたFDTDコード
2次元電磁波シミュレーションのためのC言語によるFDTDコード
Angora（イルケル・R・カポグル氏が保守管理する3次元並列FDTDソフトウェアパッケージ）
GSvit（グラフィックカードによる演算をサポートする3D FDTDソルバー、C言語で記述、グラフィカルユーザーインターフェースXSvitが利用可能）
gprMax（オープンソース（GPLv3）、GPR用に開発されたPython/Cythonによる3D/2D FDTDモデリングコードですが、一般的な電磁界モデリングにも使用できます。）

フリーウェア／クローズドソースのFDTDプロジェクト（商用利用不可のものも含む）：

EMTL（電磁テンプレートライブラリ）（電磁シミュレーション用の無料C++ライブラリ。現在のバージョンは主にFDTDを実装しています）。

[vonneumann49-1] 1 2 J. von Neumann; RD Richtmyer (1950 年 3 月) 「流体力学的衝撃波の数値計算法」Journal of Applied Physics . 21 (3): 232– 237. Bibcode : 1950JAP....21..232V . doi : 10.1063/1.1699639 .

[yee66-2] 1 2 3 4 5 6 Kane Yee (1966). "等方性媒質におけるマクスウェル方程式を含む初期境界値問題の数値解法". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 14 (3): 302–307 . Bibcode : 1966ITAP...14..302Y . doi : 10.1109/TAP.1966.1138693 . S2CID 122712881 .

[taflove80-3] 1 2 A. Taflove (1980). "正弦波定常電磁波侵入問題への有限差分時間領域法の適用" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 22 (3): 191– 202. Bibcode : 1980ITElC..22..191T . doi : 10.1109/TEMC.1980.303879 . S2CID 39236486 .

[taflove05-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Allen TafloveおよびSusan C. Hagness (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed . Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9。

[5] TafloveとHagness（2005）の許可を得て改変。

[courant1928-6] リチャード・クーラント;クルト・オットー・フリードリヒス。ハンス・レヴィ (1928)。「数学物理学における重要な部分」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。100 (1): 32–74。ビブコード: 1928MatAn.100...32C。土井：10.1007/BF01448839。JFM 54.0486.01。MR 1512478。S2CID 120760331。

[obrien1950-7] GG O'Brien、M. A Hyman、S. Kaplan (1950)「偏微分方程式の数値解法の研究」Journal of Mathematical Physics . 29 (1): 223– 251. doi : 10.1002/sapm1950291223 . MR 0040805 . {{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

[lam69-8] Dong-Hoa Lam (1969). "電磁散乱問題に対する有限差分法" (PDF) .ミシシッピ州立大学、相互作用ノート. 44 .

[taflove75a-9] 1 2 A. Taflove; ME Brodwin (1975). "時間依存マクスウェル方程式を用いた定常電磁散乱問題の数値解法" (PDF) . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 23 (8): 623– 630. Bibcode : 1975ITMTT..23..623T . doi : 10.1109/TMTT.1975.1128640 .

[taflove75b-10] A. Taflove; ME Brodwin (1975). "マイクロ波照射を受けた人間の目のモデルにおける電磁場と誘導温度の計算" (PDF) . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 23 (11): 888– 896. Bibcode : 1975ITMTT..23..888T . doi : 10.1109/TMTT.1975.1128708 .

[holland77-11] R. Holland (1977). "Threde: 自由場 EMP 結合および散乱コード". IEEE Transactions on Nuclear Science . 24 (6): 2416–2421 . Bibcode : 1977ITNS...24.2416H . doi : 10.1109/TNS.1977.4329229 . S2CID 35395821 .

[kunz77-12] KS Kunz; KM Lee (1978). "複雑な過渡電磁環境に対する航空機の外部応答の3次元有限差分解". IEEE Trans. Electromagn. Compat. 20 (2): 333– 341. doi : 10.1109/TEMC.1978.303727 . S2CID 31666283 .

[mur81-13] 1 2 G. Mur (1981). "時間領域電磁場方程式の有限差分近似に対する吸収境界条件". IEEE Trans. Electromagn. Compat. 23 (4): 377– 382. doi : 10.1109/TEMC.1981.303970 . S2CID 25768246 .

[umashankar82-14] 1 2 K. R. Umashankar; A. Taflove (1982). "複雑な物体の電磁散乱を解析する新しい方法" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 24 (4): 397– 405. Bibcode : 1982ITElC..24..397U . doi : 10.1109/TEMC.1982.304054 . S2CID 37962500 .

[taflove83-15] A. Taflove; KR Umashankar (1983). "一般的な3次元散乱体のレーダー断面積" (PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 25 (4): 433– 440. doi : 10.1109/TEMC.1983.304133 . S2CID 40419955 .

[liao84-16] 1 2 Z. P. Liao; HL Wong; BP Yang; YF Yuan (1984). 「過渡波解析のための伝達境界」. Scientia Sinica, Series A. 27 : 1063– 1076 .

[gwarek85-17] W. Gwarek (1985). "任意形状の平面回路の解析 ― 時間領域アプローチ". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 33 ( 10 ): 1067–1072 . Bibcode : 1985ITMTT..33.1067G . doi : 10.1109/TMTT.1985.1133170 .

[choi86-18] DH Choi; WJ Hoefer (1986). "有限差分時間領域法とその固有値問題への応用". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 34 (12): 1464–1470 . Bibcode : 1986ITMTT..34.1464C . doi : 10.1109/TMTT.1986.1133564 .

[kriegsmann87-19] GA Kriegsmann; A. Taflove; KR Umashankar (1987). "表面放射境界条件アプローチを用いた電磁波散乱の新しい定式化" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 35 (2): 153– 161. Bibcode : 1987ITAP...35..153K . doi : 10.1109/TAP.1987.1144062 .

[moore88-20] TG Moore; JG Blaschak; A. Taflove; GA Kriegsmann (1988). "放射境界演算子の理論と応用" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (12): 1797– 1812. Bibcode : 1988ITAP...36.1797M . doi : 10.1109/8.14402 .

[umashankar87-21] KR Umashankar; A. Taflove; B. Beker (1987). "任意の形状の空洞内の結合ワイヤ上の誘導電流の計算と実験的検証" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 35 (11): 1248– 1257. Bibcode : 1987ITAP...35.1248U . doi : 10.1109/TAP.1987.1144000 .

[taflove88-22] A. Taflove; KR Umashankar; B. Beker; FA Harfoush; KS Yee (1988). "厚い導電性スクリーンの狭いスロットと重ね合わせた接合部を貫通する電磁界の詳細なFDTD解析" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (2): 247– 257. Bibcode : 1988ITAP...36..247T . doi : 10.1109/8.1102 .

[jurgens92-23] TG Jurgens; A. Taflove; KR Umashankar; TG Moore (1992). "曲面の有限差分時間領域モデリング" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 40 (4): 357– 366. Bibcode : 1992ITAP...40..357J . doi : 10.1109/8.138836 .

[sullivan88-24] DM Sullivan; OP Gandhi; A. Taflove (1988). "人体モデルにおける電磁波吸収の計算における有限差分時間領域法の使用" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 35 (3): 179– 186. doi : 10.1109/10.1360 . PMID 3350546 . S2CID 20350396 .

[zhang88-25] X. Zhang; J. Fang; KK Mei; Y. Liu (1988). "時間領域有限差分法によるマイクロストリップの分散特性の計算". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 36 (2): 263– 267. Bibcode : 1988ITMTT..36..263Z . doi : 10.1109/22.3514 .

[kashiwa90-26] T. Kashiwa; I. Fukai (1990). "電子分極に関連する分散特性のFDTD法による処理". Microwave and Optical Technology Letters . 3 (6): 203– 205. doi : 10.1002/mop.4650030606 .

[luebbers90-27] R. Luebbers; F. Hunsberger; K. Kunz; R. Standler; M. Schneider (1990). "分散性材料に対する周波数依存有限差分時間領域定式化". IEEE Trans. Electromagn. Compat. 32 (3): 222– 227. doi : 10.1109/15.57116 .

[joseph91-28] RM Joseph; SC Hagness; A. Taflove (1991). "フェムト秒電磁パルスの散乱と伝搬のための吸収を伴う線形分散媒質におけるマクスウェル方程式の直接時間積分" (PDF) . Optics Letters . 16 (18): 1412– 4. Bibcode : 1991OptL...16.1412J . doi : 10.1364/OL.16.001412 . PMID 19776986 .

[maloney90-29] JG Maloney; GS Smith; WR Scott Jr. (1990). "有限差分時間領域法を用いた単純アンテナからの放射の正確な計算". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 38 (7): 1059–1068 . Bibcode : 1990ITAP...38.1059M . doi : 10.1109/8.55618 . S2CID 31583883 .

[katz91-30] DS Katz; A. Taflove ; MJ Piket-May ; KR Umashankar (1991). "FDTD 解析によるホーンアンテナを含むシステムからの電磁波放射" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 39 (8): 1203– 1212. Bibcode : 1991ITAP...39.1203K . doi : 10.1109/8.97356 .

[tirkas91-31] PA Tirkas; CA Balanis (1991). 「ホーンアンテナによる放射のための有限差分時間領域法」. Antennas and Propagation Society Symposium 1991 Digest . Vol. 3. pp. 1750–1753 . doi : 10.1109/APS.1991.175196 . ISBN 978-0-7803-0144-3. S2CID 122038624 .

[sano90-32] E. Sano; T. Shibata (1990). "ピコ秒光伝導スイッチの全波解析". IEEE Journal of Quantum Electronics . 26 (2): 372–377 . Bibcode : 1990IJQE...26..372S . doi : 10.1109/3.44970 .

[el-ghazaly90-33] SM El-Ghazaly; RP Joshi; RO Grondin (1990). "サブピコ秒光伝導スイッチモデリングにおける電磁気および輸送に関する考察". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 38 (5): 629–637 . Bibcode : 1990ITMTT..38..629E . doi : 10.1109/22.54932 .

[goorjian92-34] PM Goorjian; A. Taflove (1992). "フェムト秒電磁ソリトンの伝搬と散乱のための非線形分散媒質におけるマクスウェル方程式の直接時間積分" (PDF) . Optics Letters . 17 (3): 180– 182. Bibcode : 1992OptL...17..180G . doi : 10.1364/OL.17.000180 . PMID 19784268 .

[ziolkowski93-35] RW Ziolkowski; JB Judkins (1993). "有限応答時間を示す非線形カー媒質における超短光パルスの自己集束の全波ベクトルマクスウェル方程式モデリング". Journal of the Optical Society of America B . 10 (2): 186– 198. Bibcode : 1993JOSAB..10..186Z . doi : 10.1364/JOSAB.10.000186 .

[joseph93-36] RM Joseph; PM Goorjian; A. Taflove (1993). "フェムト秒電磁ソリトンの伝搬と散乱のための2次元誘電体導波路におけるマクスウェル方程式の直接時間積分" (PDF) . Optics Letters . 18 (7): 491– 3. Bibcode : 1993OptL...18..491J . doi : 10.1364/OL.18.000491 . PMID 19802177 .

[joseph94-37] RM Joseph; A. Taflove (1994). "FDTD Maxwell方程式モデリングによって示される空間ソリトン偏向メカニズム" (PDF) . IEEE Photonics Technology Letters . 2 (10): 1251– 1254. Bibcode : 1994IPTL....6.1251J . doi : 10.1109/68.329654 . S2CID 46710331 .

[sui92-38] W. Sui; DA Christensen; CH Durney (1992). "アクティブおよびパッシブ集中定数素子を持つハイブリッド電磁システムへの2次元FDTD法の拡張". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 40 (4): 724–730 . Bibcode : 1992ITMTT..40..724S . doi : 10.1109/22.127522 .

[toland93-39] B. Toland; B. Houshmand; T. Itoh (1993). "FDTD法による非線形アクティブ領域のモデリング". IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 3 (9): 333– 335. doi : 10.1109/75.244870 . S2CID 27549555 .

[aoyagi93-40] Aoyagi, PH; Lee, JF; Mittra, R. (1993). "A hybrid Yee algorithm/scalar-wave equation approach". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 41 (9): 1593– 1600. Bibcode : 1993ITMTT..41.1593A . doi : 10.1109/22.245683 .

[thomas94-41] VA Thomas; ME Jones; MJ Piket-May ; A. Taflove; E. Harrigan (1994). "The use of SPICE lumped circuits as sub-grid model for FDTD high-speed electronic circuit design" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (5): 141– 143. doi : 10.1109/75.289516 . S2CID 32905331 .

[berenger94-42] 1 2 3 4 J. Berenger (1994). "電磁波吸収のための完全整合層" (PDF) . Journal of Computational Physics . 114 (2): 185– 200. Bibcode : 1994JCoPh.114..185B . doi : 10.1006/jcph.1994.1159 .

[navarro94-43] 1 2 E.A. Navarro; C. Wu; PY Chung; J. Litva (1994). "非直交FDTD法へのPML超吸収境界条件の適用". Electronics Letters . 30 (20): 1654–1656 . Bibcode : 1994ElL....30.1654N . doi : 10.1049/el:19941139 .

[katz94-44] DS Katz; ET Thiele; A. Taflove (1994). "FDTDメッシュに対するBerenger PML吸収境界条件の検証と3次元への拡張" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (8): 268– 270. doi : 10.1109/75.311494 . S2CID 10156811 .

[reuter94-45] CE Reuter; RM Joseph; ET Thiele; DS Katz; A. Taflove (1994). "FDTD シミュレーションにおける導波構造の終端のための超広帯域吸収境界条件" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (10): 344– 346. doi : 10.1109/75.324711 . S2CID 24572883 .

[chewweedon94-46] WC Chew; WH Weedon (1994). "A 3D perfectly matched medium from modified Maxwell's equations with stretched coordinates". Microwave and Optical Technology Letters . 7 (13): 599–604 . Bibcode : 1994MiOTL...7..599C . doi : 10.1002/mop.4650071304 .

[gedney96-47] 1 2 3 S. D. Gedney (1996). "FDTD格子切断のための異方性完全整合層吸収媒体". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 44 (12): 1630– 1639. Bibcode : 1996ITAP...44.1630G . doi : 10.1109/8.546249 .

[sacks95-48] ZS Sacks; DM Kingsland; R. Lee; JF Lee (1995). "吸収境界条件として使用する完全整合異方性吸収体". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 43 (12): 1460–1463 . Bibcode : 1995ITAP...43.1460S . doi : 10.1109/8.477075 .

[liu97-49] QH Liu (1997). 「擬似スペクトル時間領域 (PSTD) 法: マクスウェル方程式の解法のための新しいアルゴリズム」. IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium 1997. Digest . Vol. 1. pp. 122–125 . doi : 10.1109/APS.1997.630102 . ISBN 978-0-7803-4178-4. S2CID 21345353 .

[ramahi97-50] OM Ramahi (1997). "FDTDシミュレーションにおける相補演算子法". IEEE Antennas and Propagation Magazine . 39 (6): 33–45 . Bibcode : 1997IAPM...39...33R . doi : 10.1109/74.646801 .

[maloney98-51] JG Maloney; MP Kesler (1998). "周期構造の解析".第 6 章、Advances in Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method、A. Taflove 編、Artech House、出版社。

[nagra98-52] AS Nagra; RA York (1998). "非線形吸収媒体および利得媒体における波動伝搬のFDTD解析". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 46 (3): 334– 340. Bibcode : 1998ITAP...46..334N . doi : 10.1109/8.662652 .

[hagness98-53] SC Hagness; A. Taflove; JE Bridges (1998). "乳がん検出用パルスマイクロ波共焦点システムの2次元FDTD解析：固定焦点およびアンテナアレイセンサー" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 45 (12): 1470– 1479. doi : 10.1109/10.730440 . PMID 9835195 . S2CID 6169784 .

[schneider99-54] JB Schneider; CL Wagner (1999). "FDTD分散の再検討: 光速を超える伝搬". IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 54–56 . CiteSeerX 10.1.1.77.9132 . doi : 10.1109/75.755044 .

[zhen00-55] F. Zhen; Z. Chen; J. Zhang (2000). "3次元無条件安定有限差分時間領域法の開発に向けて". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 48 (9): 1550–1558 . Bibcode : 2000ITMTT..48.1550Z . doi : 10.1109/22.869007 .

[zheng01-56] F. Zheng; Z. Chen (2001). "無条件安定3次元ADI-FDTD法の数値分散解析". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 49 (5): 1006–1009 . Bibcode : 2001ITMTT..49.1006Z . doi : 10.1109/22.920165 .

[roden00-57] JA Roden; SD Gedney (2000). "Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media" . Microwave and Optical Technology Letters . 27 (5): 334– 339. doi : 10.1002/1098-2760(20001205)27:5 < 334::AID-MOP14 > 3.0.CO ; 2-A .{{cite journal}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)

[rylander00-58] T. Rylander; A. Bondeson (2000). "Maxwell方程式に対する安定なFDTD-FEMハイブリッド法". Computer Physics Communications . 125 ( 1–3 ): 75–82 . doi : 10.1016/S0010-4655(99)00463-4 .

[hayakawa02-59] M. Hayakawa; T. Otsuyama (2002). "FDTD解析による不均質な電離層下導波路モデルにおけるELF波伝搬の解析" . ACES Journal . 17 : 239–244 . 2012年5月27日にオリジナルからアーカイブ済み。

[simpson02-60] JJ Simpson; A. Taflove (2002). "地球の対蹠ELF伝搬とシューマン共振の2次元FDTDモデル" (PDF) . IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters . 1 (2): 53– 56. Bibcode : 2002IAWPL...1...53S . CiteSeerX 10.1.1.694.4837 . doi : 10.1109/LAWP.2002.805123 . S2CID 368964 . 2010年6月17日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。

[de_raedt03-61] H. De Raedt; K. Michielsen; JS Kole; MT Figge (2003). "チェビシェフ法によるマクスウェル方程式の解法：1ステップ有限差分時間領域アルゴリズム". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 51 (11): 3155–3160 . arXiv : physics/0208060 . Bibcode : 2003ITAP...51.3155D . doi : 10.1109/TAP.2003.818809 . S2CID 119095479 .

[SorianoNavarro2004-62] A. Soriano; EA Navarro; J. Portí; V. Such (2004). "量子デバイスにおけるシュレーディンガー方程式を解くための有限差分時間領域法の解析". Journal of Applied Physics . 95 (12): 8011– 8018. Bibcode : 2004JAP....95.8011S . doi : 10.1063/1.1753661 . hdl : 10550/12837 .

[Ahmed2008-63] I. Ahmed; EK Chua; EP Li; Z. Chen (2008). "Development of the three-dimensional unconditionally stable LOD-FDTD method". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 56 (11): 3596–3600 . Bibcode : 2008ITAP...56.3596A . doi : 10.1109/TAP.2008.2005544 . S2CID 31351974 .

[baba08-64] 谷口裕、馬場裕、長岡直樹、天谷昭（2008）。「FDTD 計算のための改良された細線表現」。IEEE Transactions on Antennas and Propagation。56（10）：3248–3252。Bibcode：2008ITAP...56.3248T。doi：10.1109 /TAP.2008.929447。S2CID 29617214 。

[oliveira09-65] RMS de Oliveira; CLSS Sobrinho (2009). "有限差分時間領域法による変電所における落雷シミュレーションのための計算環境". IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility . 51 (4): 995–1000 . doi : 10.1109/TEMC.2009.2028879 .

[oliveira2021-66] RMS de Oliveira; RR Paiva (2021). "最小二乗有限差分時間領域". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 69 (9): 6111– 6115. Bibcode : 2021ITAP...69.6111D . doi : 10.1109/TAP.2021.3069576 . S2CID 234307029 .

[fitting-67] 「誘電関数のフィッティング」。

[obl_it-68] I. Valuev; A. Deinega; S. Belousov (2008). "有限差分時間領域法による斜入射周期構造解析のための反復手法". Opt. Lett . 33 (13): 1491–3 . Bibcode : 2008OptL...33.1491V . doi : 10.1364/ol.33.001491 . PMID 18594675 .

[obl_sfdtd-69] A. Aminian; Y. Rahmat-Samii (2006). "Spectral FDTD: a novel technique for the analysis of oblique incident plane wave on periodic structures". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 54 (6): 1818– 1825. Bibcode : 2006ITAP...54.1818A . doi : 10.1109/tap.2006.875484 . S2CID 25120679 .

[TMatrix-70] A. Deinega; S. Belousov; I. Valuev (2009). "層状周期構造のためのハイブリッド伝達行列FDTD法". Opt. Lett . 34 (6): 860–2 . Bibcode : 2009OptL...34..860D . doi : 10.1364 / ol.34.000860 . PMID 19282957. S2CID 27742034 .

[Hao-71] Y. Hao; R. Mittra (2009). FDTD によるメタマテリアルのモデリング: 理論と応用. Artech House Publishers.

[phot_cad-72] D. Gallagher (2008). 「フォトニクスCADの成熟」（PDF） . LEOSニュースレター.

[back_pml-73] A. Deinega; I. Valuev (2011). "層状周期構造におけるPML吸収境界の長時間挙動". Comput. Phys. Commun . 182 (1): 149– 151. Bibcode : 2011CoPhC.182..149D . doi : 10.1016/j.cpc.2010.06.006 .

[74] SG Johnson、「カシミール相互作用を計算するための数値的方法」、Casimir Physics（D. Dalvit、 P. Milonni、D. Roberts、F. da Rosa 編）、 Lecture Notes in Physics vol. 834 、ch. 6、pp. 175–218、ベルリン：Springer、2011 年 6 月。

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

[ 9 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 14 ]

[ 72 ]

[ 42 ]

[ 47 ]

[ 13 ]

[ 16 ]

[ 43 ]

[ 73 ]

[ 74 ]