分散（水波）

流体力学では、水波の分散は一般に周波数分散を指し、異なる波長の波は異なる位相速度で伝わることを意味します。この場合の水波は、重力と表面張力を復元力として水面上を伝播する波です。その結果、自由表面を持つ水は一般に分散媒体であると考えられています。

ある水深では、表面重力波（空気と水の界面で発生し、それを平坦に戻す唯一の力として重力が働く波）は、波長が長くなるにつれて伝播速度が速くなります。一方、与えられた（固定された）波長では、深い水中の重力波は浅い水中よりも位相速度が速くなります。^[1]重力波の挙動とは対照的に、表面張力のみによって強制される毛細管波は、波長が短いほど速く伝播します。

周波数分散に加えて、水波は振幅分散も示します。これは非線形効果であり、振幅の大きい波は振幅の小さい波とは異なる位相速度を持ちます。

このセクションでは、重力によって強制され、線形理論に従った流体層上の波の周波数分散について説明します。周波数分散に対する表面張力の影響については、エアリー波理論と毛細管波における表面張力の影響を参照してください。

最も単純な不変の伝播波は正弦波である。水面標高 η（x、t）の正弦波は次のように与えられる：^[2]

${\displaystyle \eta (x,t)=a\sin \left(\theta (x,t)\right),\,}$

ここでaは振幅（メートル）、θ = θ ( x , t )は位相関数（ラジアン）であり、水平位置（x、メートル）と時間（t、秒）に依存する：^[3]

${\displaystyle \theta =2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{T}}\right)=kx-\omega t,}$ と ​ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}},}$

どこ：

• λは波長（メートル）です。
• Tは周期（秒）です。
• kは波数（ラジアン/メートル）であり、
• ω は角周波数（ラジアン/秒）です。

水波の特徴的な位相は次のとおりです。

• θ = 0での上向きのゼロ交差、
• 波の頂点θ =  ⁠1/2⁠  π、
• θ = πでの下向きのゼロ交差と
• θ  =  ⁠における波の谷3/2⁠  π。

特定の位相は、2πの整数 m倍の後に繰り返されます: sin( θ ) = sin( θ+m•2π )。

水波や物理学における他の波動現象にとって重要なことは、角周波数ωと波数k（または波長λと周期T ）が関数関係を満たす場合にのみ、振幅がゼロでない自由伝播波が存在するということである。周波数分散関係^{[4] [5]}

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(k).\,}$

分散関係にはω = +Ω(k)とω = −Ω(k)の 2 つの解があり、これは波が正または負のx方向に伝わることを示します。分散関係は一般に、波数kに加えて他のいくつかのパラメータに依存します。重力波の場合、線形理論によれば、これらは重力加速度 gと水深hです。これらの波の分散関係は次のとおりです。^{[6] [5]}

双曲正接関数を表す tanh を含む暗黙の方程式。

初期波の位相θ = θ ₀は空間と時間の関数として伝播します。その後の位置は次のように表されます。

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{T}}\,t+{\frac {\lambda }{2\pi }}\,\theta _{0}={\frac {\omega }{k}}\,t+{\frac {\theta _{0}}{k}}.}$

これは位相が速度とともに動くことを示している：^[2]

${\displaystyle c_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\Omega (k)}{k}},}$

これを位相速度と呼びます。

表面振幅が小さく、波長が一定である正弦波は、位相速度 （速度または位相速度とも呼ばれる）で伝播します。位相速度はベクトルであり、方向が関連付けられていますが、速度または位相速度は位相速度の大きさのみを指します。重力による波の線形理論によると、位相速度は波長と水深に依存します。水深が一定の場合、長い波（波長が大きい）は短い波よりも速く伝播します。

左の図では、水深hよりもはるかに大きい波長λを持つ浅い水波が位相速度^[2]で伝わっているのがわかる。

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {gh}}\qquad \scriptstyle {\text{(浅い水),}}\,}$

ここで、g は重力加速度、c p_は位相速度です。この浅水位相速度は波長に依存しないため、浅水波には周波数分散がありません。

同じ周波数分散関係を別の正規化で表すと、右の図は、波長λが一定であれば、位相速度c _pは水深が増すにつれて増加することを示しています。^[1]水深hが波長λの半分より大きい深海では（つまりh/λ > 0.5）、位相速度c _pは水深に依存しません。^[2]

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}={\frac {g}{2\pi }}T\qquad \scriptstyle {\text{(深海),}}}$

Tは波の周期（周波数fの逆数、T=1/f ）です。したがって、深海では位相速度は波長と周期とともに増加します。

位相速度はc _p = λ/T = λf を満たすため、波長と周期（または周波数）は関連しています。たとえば深海では次のようになります。

${\displaystyle \lambda ={\frac {g}{2\pi }}T^{2}\qquad \scriptstyle {\text{(深水).}}}$

中間深度における分散特性は以下の通りです。

わずかに異なる波長を持ち、振幅と伝播方向が同じである 2 つの正弦波の干渉により、波群と呼ばれるビート パターンが生成されます。アニメーションでわかるように、波群は周波数分散により、位相速度c _pとは異なる群速度c _gで移動します。

群速度は、上の 2 つの図の赤い線 ( Bでマーク) で示されています。浅瀬では、群速度は浅瀬の位相速度に等しくなります。これは、浅瀬の波が分散しないためです。深海では、群速度は位相速度の半分に等しくなります: {{math| c _g = ⁠1/2⁠ c _p . ^[7]

群速度はエネルギー輸送速度でもある。これは平均波エネルギーが狭帯域波動場内で水平方向に輸送される速度である。^{[8] [9]}

群速度が位相速度と異なる場合、ある瞬間の空間のスナップショットから数えた場合と、固定位置で測定された表面高度から時間的に数えた場合とでは、波群で数えられる波の数が異なります。長さΛ _g、群持続時間τ _gの波群を考えてみましょう。群速度は次のように表されます。^[10]

${\displaystyle c_{g}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}.}}$

ある瞬間に空間で測定された波群の波の数は、Λ _g  / λです。時間的に固定された場所で測定された場合、波群の波の数は、τ _g  / Tです。したがって、空間で測定された波の数と時間で測定された波の数の比は、次のようになります。

${\displaystyle {\tfrac {\text{空間内の波の数}}{\text{時間内の波の数}}}={\frac {\Lambda _{g}/\lambda }{\tau _{g}/T}}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}\cdot {\frac {T}{\lambda }}={\frac {c_{g}}{c_{p}}}.}$

深い水では、c _g = ⁠1/2⁠ c _p、 ^[11]波群は時間的に空間的に2倍の波を持ちます。 ^[12]

完全な変調の二色波群の水面高度η(x,t)は、水平位置xと時間tの関数として、次のように数学的に定式化できる。^[11]

${\displaystyle \eta =a\,\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)+a\,\sin \left(k_{2}x-\omega _{2}t\right),}$

と：

• 各周波数成分の波の振幅（メートル単位）、
• k ₁およびk _{2 は}各波成分の波数（ラジアン/メートル単位）、
• ω ₁とω _{2 は}、各波成分の角周波数（ラジアン/秒）です。

ω ₁とk ₁、およびω ₂とk ₂は、分散関係を満たす必要があります。

${\displaystyle \omega _{1}^{2}=\オメガ ^{2}(k_{1})\,}$ そして ${\displaystyle \omega _{2}^{2}=\オメガ ^{2}(k_{2}).\,}$

三角関数の等式を用いると、表面標高は次のように表される。^[10]

${\displaystyle \eta =\left[2\,a\,\cos \left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\right]\;\cdot \;\sin \left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right).}$

角括弧で囲まれた部分は、グループの波数を持つグループのゆっくりと変化する振幅です。1/2⁠  ( k ₁  − k ₂  )と群角周波数⁠1/2⁠  ( ω ₁  − ω ₂  )。その結果、群速度は、 k ₁  → k _{2 の}極限で次のようになる 。 ^{[10] [11]}

${\displaystyle c_{g}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\Omega (k_{1})-\Omega (k_{2})}{k_{1}-k_{2}}}={\frac {{\text{d}}\Omega (k)}{{\text{d}}k}}.}$

波群は、平均波数と比較して波数差k ₁  − k _{2が小さい狭帯域信号の場合にのみ識別できる}⁠1/2⁠  (k ₁  + k ₂ ) .

周波数分散の影響により、波は波長の関数として伝わり、伝搬する波の空間的および時間的な位相特性は常に変化します。たとえば、重力の作用により、波長の長い水波は波長の短い水波よりも速く伝わります。

2 つの正弦波が重なり合ったものは二色波と呼ばれ、そのエンベロープは変化せずに伝わるが、3 つ以上の正弦波成分があると、波とそのエンベロープのパターンが変化する。海の状態、つまり海や海洋の実際の波は、波長、振幅、初期位相、伝播方向が異なる多数の正弦波の重ね合わせとして説明できる。これらの各成分は、分散関係に従って、独自の位相速度で伝わる。このような表面の統計は、そのパワー スペクトルによって説明できる。^[13]

下の表には、角周波数ω = 2π / Tと波数k = 2π / λの間の分散関係ω ² = [ Ω(k) ] ²と、位相速度と群速度が示されています。^[10]

深水は波長の半分よりも深い水深に相当し、これは海洋では一般的な状況です。深水では、より長い周期の波がより速く伝播し、そのエネルギーをより速く輸送します。深水の群速度は位相速度の半分です。浅い水では、海岸近くで非常によく見られるように、水深の20倍よりも大きい波長の場合、 ^[14]群速度は位相速度に等しくなります。

完全な線形分散関係はピエール＝シモン・ラプラスによって初めて発見されたが、線形波の問題に対する彼の解法にはいくつかの誤りがあった。分散を含む線形水波の完全な理論はジョージ・ビデル・エアリーによって導かれ、1840年頃に出版された。同様の式はフィリップ・ケランドによっても同時期に発見された（ただし、波動理論の導出にはいくつかの誤りがあった）。^[15]

浅水（h / λが小さい）の限界ω ² = gh k ²は、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュによって導出されました。

重力波の場合、表面張力が波に影響を及ぼすため、分散関係は次のようになる。^[5]

${\displaystyle \omega ^{2}=\left(gk+{\frac {\sigma }{\rho }}k^{3}\right)\tanh(kh),}$

σは表面張力（N/m）です。

水と空気の界面（σ = 0.074 N/m、ρ = 1000 kg/m ³ ）では、波長が0.4 cm（0.2インチ）未満の場合は、表面張力の影響が支配的な純粋な表面張力波として波を近似することができます。波長が7 cm（3インチ）を超えると、波は表面張力の影響がほとんどない純粋な表面重力波にほぼ近似されます。 ^[16]

界面下の平均厚さhと界面上の平均厚さh ′の2つの均質な流体層（重力の作用下にあり、上下に水平な剛体壁で囲まれている）の場合、重力波の分散関係ω ²  = Ω ² ( k )は次のように表される：^[17]

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {g\,k(\rho -\rho ')}{\rho \,\coth(kh)+\rho '\,\coth(kh')}},}$

ここで、ρとρ ′ は界面の下と上の密度であり、 coth は双曲余接関数です。ρ ′がゼロの場合、これは有限の深さhの水上の表面重力波の分散関係に簡略化されます。

2つの流体層の深さが非常に大きくなると（h →∞、h ′ →∞）、上記の式の双曲余接の値は1に近づきます。

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g\,k.}$

振幅分散効果は、例えば孤立波に現れる。孤立波とは、浅い水底を一定の速度で移動する単一の水のこぶである。孤立波はソリトンに近いが、厳密にはそうではないことに注意されたい。2つの孤立波（衝突または追い越し）の相互作用の後、それらの振幅が少し変化し、振動残差が残る。^[18]波の頂上から離れた水深hにおける波高Hのコルテウェグ・ド・フリース方程式の単一ソリトン解は、速度とともに移動する。

${\displaystyle c_{p}=c_{g}={\sqrt {g(h+H)}}.}$

したがって、この非線形重力波の場合、波の頂上下の全水深によって速度が決まり、高い波は低い波よりも速く移動します。孤立波解はHの正の値に対してのみ存在し、低い孤立重力波は存在しないことに注意してください。

線形分散関係（波の振幅に影響されない）は、非線形波の場合も摂動論展開の2次の順序で正しく、次数は波の傾きka（ここでaは波の振幅）に関する。3次の順序で、深海の場合、分散関係は^{[19]である。}

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\left[1+(ka)^{2}\right],}$  それで  ${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g}{k}}}\,\left[1+{\tfrac {1}{2}}\,(ka)^{2}\right]+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$

これは、同じ周波数の大きな波は小さな波よりも速く伝わることを意味します。これは、波の傾斜kaが大きい場合にのみ顕著になります。

平均流上の水波（つまり移動媒体内の波）はドップラーシフトを経験します。移動しない媒体の分散関係が次の通りであると仮定します。

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(k),\,}$

ここでkは波数である。平均速度 ベクトル Vを持つ媒体の場合、ドップラーシフトと分散の関係は次のようになる。^[20]

${\displaystyle \left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {V} \right)^{2}=\Omega ^{2}(k),}$

ここで、kは波数ベクトルで、kとの関係はk = | k |です。ドット積 k • Vはk • V = kV cos αに等しく、Vは平均速度ベクトルVの長さ、V = | V | です。αは波の伝播方向と平均流方向の間の角度です。波と流れが同じ方向の場合、k • V = kVです。

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• 分散波の数学的側面については、Dispersive Wiki で説明されています。