浅水方程式

浅水方程式は、質量保存則と線運動量保存則（ナビエ・ストークス方程式）から導出され、水理跳躍などの浅水条件が成り立たない場合でも有効です。水平な河床で、コリオリ力、摩擦力、粘性力が無視できる場合、浅水方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho \eta )}{\partial t}}&+{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho \eta u^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\rho \eta v^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial x}}=0.\end{aligned}}}$$

ここで、η は流体柱の全高さ（ x、y、tの関数としての瞬間的な流体深さ）であり、2D ベクトル ( u、v ) は垂直方向の柱全体で平均化された流体の水平流速です。さらに、gは重力加速度、ρ は流体密度です。最初の式は質量保存則から、後の 2 つの式は運動量保存則から導出されます。^{[ 3 ]}

上記の導関数を積の法則を用いて展開すると、浅水方程式の非保存形式が得られる。速度は基本的な保存方程式に従わないため、非保存形式は衝撃波や水理跳躍を越えては成り立たない。また、コリオリ力、摩擦力、粘性力の適切な項も含まれており、（流体密度が一定の場合）次の式が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}(H+h)u{\Bigr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}(H+h)v{\Bigr )}=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \end{aligned} \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

どこ

多くの場合、バルク移流の影響を表すuとvの二次項は、他の項に比べて小さい。これは地衡平衡と呼ばれ、ロスビー数が小さいことと同義である。また、波高が平均波高に比べて非常に小さい ( h ≪ H ) と仮定すると、(横方向の粘性力がない場合)、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv.\end{aligned}}}$$

任意の断面を持つ開水路内の1 次元非圧縮性流れを記述する偏微分方程式のシステムは、サン＝ヴナンが 1871 年の論文で導出し提示したもの (式 19 および 20) で次のとおりです。^{[ 6 ]}

そして

ここで、xはチャネル軸に沿った空間座標、tは時間、A ( x , t ) は位置xにおける流れの断面積、u ( x , t ) は流速、ζ ( x , t ) は自由表面の高さ、τ( x , t ) は位置xにおける断面の濡れた周縁P ( x , t )に沿った壁面せん断応力です。さらに、ρ は (一定の) 流体密度、gは重力加速度です。

双曲型方程式系（1）～（2 ）の閉包は、断面の形状から得られます。つまり、各位置xにおける断面積Aと表面標高 ζの間の関数関係を与えることによって得られます。例えば、一定の水路幅Bと水路底標高z _bを持つ長方形断面の場合、断面積はA = B (ζ − z _b ) = B hとなります。瞬間水深はh ( x , t ) = ζ( x , t ) − z _b ( x )であり、z _b ( x ) は水路底レベル（すなわち、基準面からの水路底の最低点の標高、断面図を参照）です。水路壁が動かない場合、式（1 ）の断面積A は次のように表すことができます。 $${\displaystyle A(x,t)=\int _{0}^{h(x,t)}b(x,h')\,dh',}$$ ここで、b ( x , h )は流体深さがhのときの、位置xにおけるチャネル断面の有効幅である。したがって、矩形チャネルの場合はb ( x , h ) = B ( x )となる。^{[ 7 ]}

壁面せん断応力τは流速uに依存し、例えばダルシー・ワイスバッハ式、マニング式、またはシェジー式を用いて関連付けることができる。

さらに、式（１）は連続の式であり、この非圧縮性均質流体における水の体積保存を表しています。式（２）は運動量方程式であり、力と運動量変化率のバランスを示しています。

河床勾配S ( x )、摩擦勾配Sf ( x , t ) および水力半径R ( x , t )_は次のように定義される。 $${\displaystyle S=-{\frac {\mathrm {d} z_{\mathrm {b} }}{\mathrm {d} x}},}$$$${\displaystyle S_{\mathrm {f} }={\frac {\tau }{\rho gR}}}$$ そして $${\displaystyle R={\frac {A}{P}}.}$$

したがって、運動量方程式（2）は次のように書くことができる：^{[ 7 ]}

運動量方程式（3 ）は、サン・ヴナン方程式（1）と（3 ）に対するいくつかの代数的操作によって、いわゆる保存形式に書き換えることもできます。流量Q = Auに関して：^{[ 8 ]}

ここで、A、I ₁、I _{2 は、チャネル幅}B (σ、x )で表されるチャネル形状の関数です。ここで、σ は、位置xにおける断面の最下点からの高さです（断面図を参照）。したがって、σ は、底面レベルz _b ( x ) (断面の最下点) からの高さです。$${\displaystyle {\begin{aligned}A(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }B(\sigma ',x)\;\mathrm {d} \sigma ',\\I_{1}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,B(\sigma ^{\prime },x)\;\mathrm {d} \sigma '\qquad {\text{and}}\\I_{2}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,{\frac {\partial B(\sigma ',x)}{\partial x}}\;\mathrm {d} \sigma '.\end{aligned}}}$$

上記の運動量方程式（4）の保存形式では、A、I ₁、I _2はσ = h（x、t）で評価されます。項g I _1は、特定の断面における静水圧を表します。また、非角柱状のチャネルの場合、g I _2はチャネル軸xに沿った形状変化の影響を表します。

応用においては、扱う問題に応じて、運動量方程式を非保存形式（2）または（3）で使用するか、保存形式（4 ）を使用するかが好まれることが多い。例えば、水理ジャンプの記述の場合、運動量フラックスはジャンプ全体にわたって連続であるため、保存形式が好ましい。

サン・ヴナン方程式（1）～（2 ）は特性曲線法を用いて解析することができる。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}特性曲線上の2つの速度d x /d tは次の通りである。 ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u\pm c,}$$と$${\displaystyle c={\sqrt {\frac {gA}{B}}}.}$$

フルード数Fr = | u | / cは、流れが亜臨界( Fr < 1 ) か超臨界( Fr > 1 ) かを決定します。

幅が一定の長方形および角柱状のチャネル、すなわちA = B hおよびc = √ ghの場合、リーマン不変量は次のようになります。^{[ 9 ]}$${\displaystyle r_{+}=u+2{\sqrt {gh}}}$$そして$${\displaystyle r_{-}=u-2{\sqrt {gh}},}$$ したがって、特性形式の方程式は次のようになります。^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u+2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u+{\sqrt {gh}}\quad {\text{and}}\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u-2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u-{\sqrt {gh}}.\end{aligned}}}$$

任意の断面を持つ角柱状チャネルのリーマン不変量と特性曲線法は、Didenkulova & Pelinovsky (2011) によって記述されている。^{[ 12 ]}

特性とリーマン不変量は流れの挙動に関する重要な情報を提供するだけでなく、(解析的または数値的な)解を得るプロセスにも使用できます。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

摩擦がなく、チャネルが長方形の角柱状断面を持つ場合、 [ ^{17 ]サン}・ブナン方程式はハミルトニアン構造を持つ。^{[ 18 ]}ハミルトニアンHは自由表面流のエネルギーに等しい。 $${\displaystyle H=\rho \int \left({\frac {1}{2}}Au^{2}+{\frac {1}{2}}gB\zeta ^{2}\right)\mathrm {d} x,}$$ ここで、Bはチャネル幅、ρは流体密度を表す定数である。ハミルトンの法則は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial u}}\right)=\rho \left(B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=\rho \left({\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=0,\\&\rho B{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial \zeta }}\right)=\rho B\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)=0,\end{aligned}}}$$∂ A /∂ ζ = B なので)。

1次元サン・ブナン運動量方程式は、流体運動を記述するナビエ・ストークス方程式から導出できる。ナビエ・ストークス方程式のx成分は、デカルト座標系でx方向を表すと、次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f_{x},}$$

ここで、 uはx方向の速度、 vはy方向の速度、wはz方向の速度、tは時間、pは圧力、ρは水の密度、νは動粘度、f _xはx方向の体積力である。

1. 摩擦を物体力として考慮すると仮定すると、${\displaystyle \nu }$ゼロとみなせるので、次のようになります。$${\displaystyle \nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0.}$$
2. x方向の一次元流れを仮定すると、次のことが成り立つ。^{[ 27 ]}$${\displaystyle v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=0}$$
3. 圧力分布がほぼ静水圧であると仮定すると、次のことが導かれる。^{[ 27 ]}$${\displaystyle p=\rho gh}$$または微分形式で表すと次のようになります。$${\displaystyle \partial p=\rho g(\partial h).}$$そして、これらの仮定をナビエ・ストークス方程式のx成分に適用すると、次のようになります。$${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\rho g\left(\partial h\right)}{\partial x}}=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}.}$$
4. 流路内の流体には、重力と摩擦という2つの体積力が作用する。$${\displaystyle f_{x}=f_{x,g}+f_{x,f}}$$ここで、f _x,gは重力による物体力、f _x,fは摩擦による物体力である。
5. f _{x、g は}基本的な物理学と三角法を使用して計算できます: ^{[ 28 ]}$${\displaystyle F_{g}=\sin(\theta )gM}$$ここで、F _gはx方向の重力、θは角度、Mは質量である。

   

   sin θ の式は、三角法を用いて次のように簡略化できます。$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{hyp}}}.}$$θが小さい場合（ほとんどすべての流れで妥当な値）、以下のことが仮定できます。$${\displaystyle \sin \theta =\tan \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{adj}}}=S}$$f _{x が}単位質量あたりの力を表すとすると、式は次のようになります。$${\displaystyle f_{x,g}=gS.}$$
6. エネルギー勾配線が水路勾配と同じではないと仮定し、勾配が一定の区間では摩擦損失が一定であると仮定すると、次のことが成り立つ。^{[ 29 ]}$${\displaystyle f_{x,f}=S_{f}g.}$$
7. これらの仮定をすべて組み合わせると、 x方向における1次元のサン＝ブナン方程式が得られる。$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0,}$$$${\displaystyle (a)\quad \ \ (b)\quad \ \ \ (c)\qquad \ \ \ (d)\quad (e)\ }$$ここで、(a)は局所加速度項、(b)は対流加速度項、(c)は圧力勾配項、(d)は摩擦項、(e)は重力項である。

条項

局所加速度（a）は、時間経過に伴う速度の変化を表すため、「非定常項」とも呼ばれます。対流加速度（b）は、位置による速度変化によって生じる加速度であり、例えば、流体が狭窄部や開口部に入る際に加速したり減速したりする場合などがこれに該当します。これら2つの項は、1次元サン＝ブナン方程式の慣性項を構成します。

圧力勾配項（c）は、位置による圧力の変化を表し、圧力は静水圧であると仮定しているため、これは位置による水頭の変化に相当します。摩擦項（d）は摩擦によるエネルギー損失を表し、重力項（e）は河床勾配による加速度を表します。