熱方程式

数学と物理学において、熱方程式は偏微分方程式の一種です。熱方程式の解は熱量関数と呼ばれることもあります。熱方程式の理論は、熱などの量が特定の領域をどのように拡散するかをモデル化する目的で、1822 年にジョセフ フーリエによって初めて開発されました。それ以来、熱方程式とその変種は、純粋数学と応用数学の両方の多くの部分で基本的なものであることがわかっています。

数学では、 R ⁿの開集合UとRの部分区間Iが与えられたとき、関数u  : U × I → Rが熱方程式の解であるという。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}},}$

ここで、( x ₁ , ..., x _n , t )は、ドメインの一般的な点を表します。t を「時間」、x ₁ , ..., x _nを「空間変数」と呼ぶのが一般的ですが、これらのフレーズが直感的な意味を持たない抽象的な文脈でも同様です。空間変数の集合は、単にxと呼ばれることがよくあります。 tの任意の値に対して、方程式の右側の辺は、関数u (⋅, t ) : U → Rのラプラシアンです。そのため、熱方程式は、次のようにより簡潔に記述されることがよくあります。

物理学や工学の分野では、特に媒体を介した拡散の文脈では、直交座標系を固定し、 3つの空間変数（x、y、z）と時間変数 tの関数u（x、y、z、t）の特定のケースを考えるのが一般的です。uが熱方程式の解である場合、

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$

ここで、α は媒体の熱拡散率と呼ばれる正の係数です。他の物理現象に加えて、この式は均質で等方性の媒体における熱の流れを記述します。u ( x , y , z , t ) は、点( x , y , z )および時間tにおける温度です。媒体が均質で等方性でない場合、α は固定係数ではなく、 ( x , y , z )に依存します。また、この式の形式も若干異なります。物理学および工学の文献では、ラプラシアンを表すのに∆ではなく∇ ^{2 を}使用するのが一般的です。

数学だけでなく物理学や工学でも、時間微分にはニュートンの記法を使うのが一般的で、それは次のように表される。${\displaystyle {\dot {u}}}$∂u/∂t⁠なので、この式は次のように書ける。

また、空間変数を明示的に参照せずに、ラプラシアンを表すために∆または∇ ^{2 の}いずれかを使用できることは、ラプラシアンが座標系の選択に依存しないという事実を反映していることにも注意してください。数学的に言えば、ラプラシアンは「並進および回転不変」であると言えます。実際、これは (大まかに言えば) これらの対称性を持つ最も単純な微分演算子です。これは、熱拡散が主な例である均質かつ等方性の物理現象をモデル化する際にラプラシアンと熱方程式を使用することの重要な (そして純粋に数学的な) 正当化として考えることができます。

「拡散定数」αは熱方程式の数学的研究には存在しないことが多いが、その値は工学では非常に重要になることがある。これは大きな違いではないが、その理由は以下の通りである。uを次の関数とする 。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \Delta u.}$

新しい関数を定義する。すると連鎖律によれば、 ${\displaystyle v(t,x)=u(t/\alpha ,x)}$

したがって、一般的なαの値を持つ熱方程式の解とα = 1を持つ熱方程式の解の間を変換する簡単な方法があります。そのため、数学的な分析のためには、 α = 1の場合のみを考慮するだけで十分な場合がよくあります。

を設定することにより、上記 ( ⁎ )のように満足するを定義する別の方法があります。ここで説明する新しい関数を定義する 2 つの方法は、物理的には、時間の測定単位または長さの測定単位を変更することに相当することに注意してください。 ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle v}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v}$${\displaystyle v(t,x)=u(t,\alpha ^{1/2}x)}$${\displaystyle v}$

非公式には、ラプラシアン演算子∆ は、ある点の近傍における関数の平均値とその点における関数の値の差を表します。したがって、u が温度である場合、∆u は、各点の周囲の物質が平均してその点の物質よりも熱いか冷たいか (およびその程度) を示します。

熱力学の第二法則によれば、熱は、温度差とそれらの間の物質の熱伝導率に比例して、より高温の物体から隣接するより低温の物体へ流れます。熱が物質に流入（または流出）すると、その物質の温度は上昇（または下降）します。これは、物質の量（質量）で割った熱量に比例し、比例係数は物質の 比熱容量と呼ばれます。

これらの観察結果を組み合わせると、熱方程式は、ある点の物質が加熱される（または冷却される）速度が、周囲の物質がどれだけ熱い（または冷たい）かに比例することを示しています。方程式の係数α は、物質の 熱伝導率、比熱、および密度を考慮に入れています。${\displaystyle {\dot {u}}}$

上記の物理的な考え方の前半は数学的な形で表すことができます。鍵となるのは、任意の固定されたxに対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\Delta u(x)\end{aligned}}}$

ここでu _{( x )} ( r )は、 xを中心とする半径rの球面上のuの平均値を表す一変数関数であり、次のように定義される。

${\displaystyle u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|x-y|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},}$

ここで、ω _{n − 1 は}n次元ユークリッド空間における単位球の表面積を表す。これは、点xにおける∆ uの値がu ( x )の値とxの近くの点におけるuの値の差を測るという上記の記述を形式化したものであり、後者はrの小さな正の値に対するu _{( x )} ( r )の値によってエンコードされるという意味である。

この観察に従うと、熱方程式は関数の無限小平均化を課すものとして解釈できる。熱方程式の解が与えられた場合、 τの小さな正の値に対するu ( x , t + τ)の値は次のように近似できる。1/2位⁠ xを中心とする非常に小さな半径の球面上の関数u (⋅, t )の平均値の倍。

熱方程式は、 のピーク (極大値) が徐々に浸食され、窪み (極小値) が埋められることを示しています。ある点の値は、そのすぐ近くの平均値に等しい限り安定しています。特に、近傍の値が線形関数に非常に近い場合、その時点ではその近傍の中心の値が変化しません (つまり、導関数はゼロになります)。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle Ax+By+Cz+D}$${\displaystyle {\dot {u}}}$

より微妙な結果は、最大原理です。これは、媒質のどの領域でも の最大値は、の境界上にある場合を除き、で以前に発生した最大値を超えることはないというものです。つまり、領域の最大温度は、 の外部から熱が流入する場合にのみ上昇します。これは放物型偏微分方程式の特性であり、数学的に証明することは難しくありません (以下を参照)。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

もう 1 つの興味深い特性は、たとえ最初は媒質内のある表面で値が急激にジャンプ (不連続) したとしても、その表面を通る瞬間的な、ごく短時間だが無限に大きい熱流速によって、そのジャンプはすぐに平滑化されるということです。たとえば、最初は均一だが温度が異なる と にある 2 つの孤立した物体を互いに接触させると 、接触点の温度はすぐに中間値になり、その点の周囲に との間で徐々に変化する領域が形成されます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle u_{1}}$

一定量の熱が媒体内のある点に突然加えられると、その熱は拡散波としてあらゆる方向に広がります。弾性波や電磁波とは異なり、拡散波の速度は時間とともに低下します。拡散波が広い領域に広がると温度勾配が減少し、したがって熱流も減少します。

熱の流れについては、熱伝導とエネルギー保存の物理法則から熱方程式が導かれます(Cannon 1984)。

等方性媒体のフーリエの法則によれば、表面を通る単位面積あたりの熱エネルギーの流量は、表面全体の負の温度勾配に比例します。

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\nabla u}$

ここで、は材料の熱伝導率、は温度、 は空間と時間の点における熱流の大きさと方向を表すベクトル場です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle t}$

媒体が均一な断面と材質の細い棒である場合、位置xは単一の座標であり、熱流はスカラー場である。方程式は 次のようになる。${\displaystyle q=q(t,x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}}$

各時点および各時間における棒の単位体積あたりの内部エネルギー（熱）を とします。物質の単位体積あたりの熱の変化率 は、その温度の変化率 に比例します。つまり、 ${\displaystyle Q=Q(x,t)}$${\displaystyle \partial Q/\partial t}$${\displaystyle \partial u/\partial t}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

ここで、は比熱容量（ガスの場合は定圧）で、 は物質の密度（単位体積あたりの質量）です。この導出では、物質の質量密度と熱容量は空間と時間を通じて一定であると仮定しています。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \rho }$

を中心とする媒体の小さな要素にエネルギー保存の法則を適用すると、特定の点における熱の変化率は、その点における熱流の微分（粒子の両側の熱流の差）に等しいという結論が導き出されます。つまり、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}}$

上記の式から、

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

これは拡散係数を持つ1次元の熱方程式である

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c\rho }}}$

この量は媒体の 熱拡散率と呼ばれます。

熱の放射損失を考慮するために、方程式に追加の項を導入することができます。シュテファン・ボルツマンの法則によれば、この項は で、 は周囲の温度、 はシュテファン・ボルツマン定数と物質の放射率に依存する係数です。内部エネルギーの変化率は ${\displaystyle \mu \left(u^{4}-v^{4}\right)}$${\displaystyle v=v(x,t)}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}-\mu \left(u^{4}-v^{4}\right)}$

そして進化 の方程式は${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mu }{c\rho }}\left(u^{4}-v^{4}\right).}$

熱力学の第一法則（エネルギー保存則）によって与えられる状態方程式は、次の形式で記述されることに注意してください（質量移動や放射がないと仮定）。この形式はより一般的であり、どの特性（例：c _pまたは）がどの項に影響を与えるかを認識するのに特に役立ちます。 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot {q}}_{V}}$

体積熱源は どこですか。${\displaystyle {\dot {q}}_{V}}$

3次元空間における等方性かつ均質な媒体における熱の伝播の特殊なケースでは、この式は

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle =\alpha \left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)}$

どこ：

• ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$温度は空間と時間の関数として表される。
• ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial t}}}$ある点における時間の経過に伴う温度の変化率です。
• ${\displaystyle u_{xx}}$、、はそれぞれ、、、方向における温度の2次空間微分（熱伝導）です。${\displaystyle u_{yy}}$${\displaystyle u_{zz}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}}$は熱拡散率であり、熱伝導率 、比熱容量、質量密度に依存する材料固有の量です。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \rho }$

熱方程式はフーリエの伝導法則の結果です（熱伝導を参照）。

媒体が空間全体ではない場合は、熱方程式を一意に解くために、uの境界条件も指定する必要があります。空間全体での解の一意性を決定するには、解の増加に対する指数的境界^{[1]や符号条件 (} David Widderの結果により、非負の解は一意である) などの追加条件を仮定する必要があります。^[2]

熱方程式の解は、物体の暖かい部分から冷たい部分への熱の流れによって、初期温度分布が徐々に平滑化されるという特徴があります。一般的に、さまざまな状態や初期条件が同じ安定した平衡に向かう傾向があります。その結果、解を逆にして、現在の熱分布から以前の時間や初期条件について何かを結論付けることは、ごく短い期間を除いて、非常に不正確です。

熱方程式は放物型偏微分方程式の典型的な例です。

ラプラス演算子を使用すると、熱方程式は簡略化され、任意の次元数の空間上の同様の方程式に一般化できます。

${\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,}$

ここで、ラプラス演算子 Δ または ∇ ²、勾配の発散は空間変数で取られます。

熱方程式は、熱拡散だけでなく、粒子拡散や神経細胞内の活動電位の伝播などの他の拡散プロセスも支配します。量子力学の問題の中には、本質的に拡散的ではないものの、熱方程式の数学的類似物によって支配されるものもあります (以下を参照)。また、ブラック・ショールズ過程やオルンシュタイン・ウーレンベック過程など、金融で生じるいくつかの現象をモデル化するためにも使用できます。この方程式とさまざまな非線形類似物は、画像解析にも使用されています。

熱方程式は、その解が擾乱の瞬間的な伝播を伴うため、技術的には特殊相対性理論に違反している。前方光円錐の外側の擾乱の部分は、通常は無視しても問題ないが、熱伝達の適切な速度を求める必要がある場合は、代わりに双曲型の問題、たとえば2次時間微分を含む偏微分方程式を考慮する必要がある。非線形熱伝導のモデルの中には（これも放物型方程式である）、有限の熱伝達速度を持つ解を持つものがある。^{[3] [4]}

上記の関数u は物体の温度を表します。あるいは、単位を変更してu を媒体の熱密度として表すと便利な場合があります。熱密度は均質媒体の温度に比例するため、新しい単位でも熱方程式は適用されます。

ある物体が熱方程式に従い、さらに、空間と時間で変化する既知の関数qで与えられる速度で、単位体積あたりの熱（例えば、ワット/リットル - W/L）を生成すると仮定する。 ^[5]このとき、単位体積あたりの熱uは次式を満たす。

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.}$

たとえば、タングステン電球のフィラメントは熱を発生するため、電源がオンのときはqはゼロ以外の正の値になります。電球がオフのときは、タングステン フィラメントの qの値はゼロになります。

熱方程式の次の解法は、1822年に出版されたジョセフ・フーリエの論文「熱の解析理論」で提案された。1つの空間変数に対する熱方程式を考えてみよう。これは棒の熱伝導をモデル化するのに使用できる。方程式は

ここでu = u ( x , t )は2つの変数xとtの関数である。

• xは空間変数なのでx∈ [0, L ]となり、Lは棒の長さです。
• t は時間変数なので、t ≥ 0 です。

初期条件を仮定する

ここで関数fは与えられ、境界条件は

境界条件( 3 )を満たす、かつ、常にゼロではないが、次の性質を持つ( 1 )の解を見つけようとします。uは、 uのx、tへの依存性が分離された積、つまり次のようになります。

この解法は変数分離と呼ばれます。uを式( 1 ) に代入すると、

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.}$

右辺はxのみに依存し、左辺はtのみに依存するため、両辺は定数 − λに等しくなります。したがって、

そして

ここで、 λ≤0の値に対して（ 6 ）の非自明な解は発生しないことを示す。

1. λ < 0と仮定する。すると、実数B、Cが存在し、( 3 )からX (0) = 0 = X ( L )となり 、したがってB = 0 = Cとなり、uは0となる。$${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$$
2. λ = 0と仮定する。すると、 X ( x ) = Bx + Cとなる実数B、Cが存在する。式( 3 )から、式1と同様にuが0であることが分かる。
3. したがって、 λ > 0でなければならない。すると、次の式を満たす実数A、B、Cが存在する。 ( 3 )から、C = 0となり、ある正の整数nに対して、$${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}}$$$${\displaystyle X(x)=B\sin \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right)+C\cos \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right).}$$$${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$$

これは、 uの依存性が特殊な形( 4 )を持つ特別なケースにおける熱方程式を解きます。

一般に、境界条件( 3 )を満たす( 1 )の解の合計は、 ( 1 )と( 3 )も満たす。( 1 )、( 2 )、( 3 )の解は次のように 表される。

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}}$

どこ

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.}$

上で使用した解法は、他の多くのタイプの方程式に大幅に拡張できます。ゼロ境界条件を持つ演算子u _{xx は}、その固有関数で表すことができるという考え方です。これは、線形自己随伴演算子のスペクトル理論の基本的なアイデアの 1 つに自然につながります。

線形演算子Δ u = u _xxを考える。関数の無限列

${\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$

n ≥ 1はΔ の固有関数である。実際、

${\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.}$

さらに、境界条件f (0) = f ( L ) = 0を持つ Δ の任意の固有関数f は、あるn ≥ 1 に対してe _{n の}形をとる。関数e _{n は}、 n ≥ 1に対して、 [0, L ]上の実数値関数の空間上の特定の内積に関して正規直交列を形成する。これは、

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}}$

最後に、シーケンス{ e _n } _{n ∈ N}は、 L ² ((0, L ))の稠密な線形部分空間を張ります。これは、実際には演算子 Δ を 対角化したことを示しています。

一般的に、熱伝導の研究はいくつかの原理に基づいています。熱の流れはエネルギーの流れの一種であるため、空間領域への熱の流入時間率について話すことは意味があります。

• 領域Vへの熱流入の時間率は、時間依存量q _t ( V )で与えられる。qの密度は Qであると仮定すると、$${\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad }$$
• 熱流は時間依存のベクトル関数H ( x ) で、次のように特徴付けられます。面積dSで単位法線ベクトルnを持つ微小表面要素を流れる熱の時間速度は、したがって、 Vへの熱流入速度も表面積分で与えられます。ここで、n ( x ) はxにおける外向きの法線ベクトルです。$${\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS.}$$$${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$$
• フーリエの法則によれば、熱エネルギーの流れは温度勾配に対して次のような線形依存性を持ちます。ここで、A ( x )は対称かつ正定値の3×3実行行列です。$${\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)}$$
• 発散定理により、 Vへの熱流に対する前述の面積分は体積積分に変換できる。$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}}$$
• xにおける温度変化の時間率は、微小体積要素に流入する熱に比例し、比例定数は定数κに依存する。 $${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)}$$

これらの方程式をまとめると、熱の流れの一般的な方程式が得られます。

${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}}$

備考

• 係数κ ( x ) は、xにおける物質の比熱× xにおける物質の密度の逆数です。${\displaystyle \kappa =1/(\rho c_{p})}$
• 等方性媒体の場合、行列Aは熱伝導率 kに等しいスカラー行列です。
• 係数行列Aがスカラーでない場合やxに依存する異方性の場合、熱方程式の解の明示的な式を書き下すことはほとんどできませんが、関連する抽象的なコーシー問題を考えて、それが適切問題であることを示すことや、いくつかの質的特性（正の初期データの保存、無限の伝播速度、平衡への収束、平滑化特性など）を示すことは通常可能です。これは通常、1パラメータ半群理論によって行われます。たとえば、Aが対称行列の場合、によって定義される楕円演算子は自己随伴かつ散逸的であるため、スペクトル定理により1 パラメータ半群が生成されます。$${\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}$$

基本解は熱核とも呼ばれ、既知の位置にある初期点熱源の初期条件に対応する熱方程式の解です。これらは、特定の領域における熱方程式の一般解を見つけるために使用できます。入門的な扱いについては、たとえば (Evans 2010) を参照してください。

1つの変数では、グリーン関数は初期値問題の解である（デュアメルの原理により、最初の方程式の解としてデルタ関数を持つグリーン関数の定義と同等）。

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=\delta (x)&\end{cases}}}$

ここで、はディラックのデルタ関数です。この問題の解は基本解（熱核） です。${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right).}$

畳み込みを適用することで、初期条件u ( x , 0) = g ( x ) （−∞ < x < ∞、0 < t < ∞）を持つ1変数熱方程式の一般解を得ることができます。

${\displaystyle u(x,t)=\int \Phi (x-y,t)g(y)dy.}$

複数の空間変数において、基本解は類似の問題を解く。

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=\delta (\mathbf {x} )\end{cases}}}$

n変数の基本解は各変数の基本解の積である。すなわち、

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi (x_{1},t)\Phi (x_{2},t)\cdots \Phi (x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi kt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4kt}}\right).}$

R ⁿ上の熱方程式の一般解は畳み込みによって得られるので、 u ( x , 0) = g ( x )の初期値問題を解くには、

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (\mathbf {x} -\mathbf {y} ,t)g(\mathbf {y} )d\mathbf {y} .}$

R ⁿ内の領域 Ω に関する一般的な問題は

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \Omega \times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=g(\mathbf {x} )&\mathbf {x} \in \Omega \end{cases}}}$

ディリクレ境界データまたはノイマン境界データのいずれかを使用します。グリーン関数は常に存在しますが、領域 Ω を 1 変数問題に簡単に分解できない限り (以下を参照)、明示的に記述することはできない可能性があります。グリーン関数を取得する他の方法としては、像法、変数分離、ラプラス変換などがあります(Cole、2011)。

ここでは、1次元における様々な基本的なグリーン関数の解が記録されているが、他にも多くの解が他の場所で入手可能である。^{[6]これらのうちいくつかでは、空間領域は(−∞,∞)である。他のものにおいては、空間領域は}ノイマンまたはディリクレ境界条件 のいずれかを伴う半無限区間(0,∞)である。さらにもう1つのバリエーションとして、これらのうちいくつかは、不同次方程式を解く。

${\displaystyle u_{t}=ku_{xx}+f.}$

ここでf はxとtの与えられた関数です。

(−∞,∞) における初期値問題

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{Initial condition}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy}$

コメント。この解は、基本解の 変数xに関する畳み込みである。

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),}$

関数g ( x ) 。(基本解の グリーン関数数は X00 です。)

したがって、畳み込みの微分に関する一般的な性質によれば、u = g ∗ Φは同じ熱方程式の解であり、

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.}$

さらに、

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,}$

したがって、恒等式への近似に関する一般的な事実により、特定のgに応じて、さまざまな意味でt → 0 のときにΦ(⋅, t ) ∗ g → gになります。たとえば、g がR上で有界かつ連続であると仮定すると、 t → 0 のときにΦ(⋅, t ) ∗ g はgに一様収束します。これは、 u ( x , t ) がR × [0, ∞)上で連続であり、 u ( x , 0) = g ( x )であることを意味します。

同次ディリクレ境界条件を持つ (0,∞) 上の初期値問題

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

コメント。この解は、奇関数となるようにRに適切に拡張されたデータg ( x ) に適用された前述の式から得られます。つまり、すべてのxに対してg (− x ) := − g ( x ) とします。同様に、 (−∞,∞) 上の初期値問題の解は、 tのすべての値に対して変数xに関する奇関数であり、特に同次ディリクレ境界条件u (0, t ) = 0 を満たします。この解の グリーン関数数は X10 です。

同次ノイマン境界条件を持つ (0,∞) 上の初期値問題

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

コメント。この解は、最初の解の公式を、偶関数となるようにRに適切に拡張されたデータg ( x ) に適用することで得られます。つまり、すべてのxに対してg (− x ) := g ( x )とします。これに対応して、 R上の初期値問題の解は、t > 0のすべての値に対して変数xに関する偶関数であり、特に滑らかであるため、同次ノイマン境界条件u _x (0, t ) = 0 を満たします。この解のグリーン関数数は X20 です。

同次初期条件と非同次ディリクレ境界条件を持つ (0,∞) 上の問題

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0}$

コメント。この解は、変数tに関する畳み込みである。

${\displaystyle \psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

関数h ( t )である。Φ( x , t )は

${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2},}$

関数ψ ( x , t ) も同じ熱方程式の解であり、畳み込みの微分に関する一般的な性質のおかげで u  := ψ ∗ hも同様である。さらに、

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,}$

したがって、恒等式への近似に関する一般的な事実により、特定のhに応じて、 x → 0 のときに ψ ( x , ⋅) ∗ h → h が様々な意味で成立します。たとえば、 h が [0, ∞) に台を持ち R 上で連続であると仮定すると、 x → 0 のときにψ ( x , ⋅ ) ∗ hはコンパクト上でhに一様収束します。これは、u ( x , t ) が[0, ∞) × [0, ∞)上で連続であり、 u (0, t ) = h ( t )であることを意味します。

(-∞,∞)同次初期条件に関する問題

コメント。この解は、 R ^{2における、つまり変数}xとtの両方に関する、基本解の 畳み込みである。

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

と関数f ( x , t )は、両方ともR ²全体で定義され、すべてのt → 0 に対して0であることを意味します。

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *f)=f,}$

これを分布の言語で表現すると、

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi =\delta ,}$

ここで分布 δ はディラックのデルタ関数、つまり 0 における評価です。

同次ディリクレ境界条件と初期条件を持つ (0,∞) 上の問題

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

コメント。この解は、変数xの奇関数となるようにR × [0,∞)に適切に拡張されたデータf ( x , t ) に適用された前述の式から得られます。つまり、すべてのxとtについてf (− x , t ) := − f ( x , t ) とします。同様に、 (−∞,∞) 上の不同次問題の解は、 tのすべての値について変数xに関する奇関数であり、特に同次ディリクレ境界条件u (0, t ) = 0 を満たします。

同次ノイマン境界条件と初期条件を持つ (0,∞) 上の問題

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

コメント。この解は、変数xの偶関数となるようにR × [0,∞)に適切に拡張されたデータf ( x , t ) に適用された最初の式から得られます。つまり、すべてのxとtについてf (− x , t ) := f ( x , t ) とします。同様に、 (−∞,∞) 上の不同次問題の解は、tのすべての値について変数xに関する偶関数であり、特に、滑らかな関数であるため、同次ノイマン境界条件u _x (0, t ) = 0 を満たします。

熱方程式は線形であるため、境界条件、不均質項、初期条件の他の組み合わせの解は、上記のグリーン関数の解の 適切な線形結合を取ることによって見つけることができます。

例えば、

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\end{cases}}}$

u = w + vとすると、wとvは問題を解く。

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&{\text{IC}}\end{cases}}}$

同様に、

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

u = w + v + rとすると、w、v、rは問題を解く。

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&{\text{IC}}\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

熱方程式の解

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

調和関数の平均値特性に類似した平均値特性を満たす、

${\displaystyle \Delta u=0,}$

少し複雑ですが、正確には 、

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

そして

${\displaystyle (x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)}$

それから

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,}$

ここで、E _λは「熱球」、つまり熱方程式の基本解のスーパーレベルセットです。

${\displaystyle E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \},}$

${\displaystyle \Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).}$

注意してください

${\displaystyle \mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)}$

λ → ∞として、上の式はλが十分に大きい場合、（開）集合dom( u )内の任意の( x , t )に対して成り立ちます。 ^[7]これは調和関数の場合と同様の議論で示すことができます。

定常熱方程式は定義上、時間に依存しません。言い換えると、次のような条件が存在すると仮定されます。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

この条件は、時間定数と、境界条件が課されてから経過した時間に依存します。したがって、時間平衡定数が十分に速く、より複雑な時間依存の熱方程式を定常状態の場合に近似できる状況では、この条件が満たされます。同様に、定常状態条件は、十分な時間が経過して熱場u が時間とともに変化しなくなったすべての場合に存在します。

定常状態の場合、空間的な温度勾配が存在する場合（または存在しない場合もあります）がありますが、存在する場合は時間とともに変化しません。したがって、この式は、すべての熱問題において、ソースがオンになり（たとえば、自動車のエンジンが始動）、すべての永続的な温度勾配が空間で確立するのに十分な時間が経過し、その後、これらの空間勾配が時間とともに変化しなくなる（エンジンが十分長い間作動している自動車の場合も同様）という最終結果を説明しています。もう 1 つの（自明な）解決方法は、すべての空間的な温度勾配も消えることです。この場合、温度も空間的に均一になります。

この方程式ははるかに単純で、熱輸送プロセスのダイナミクスに焦点を当てることなく、材料の物理的性質をよりよく理解するのに役立ちます。これは、温度場と熱輸送が時間とともに平衡状態にあると仮定する単純な工学問題に広く使用されています。

定常状態条件:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

熱源を含む体積（不均質なケース）の定常熱方程式はポアソン方程式です。

${\displaystyle -k\nabla ^{2}u=q}$

ここで、uは温度、kは熱伝導率、q は単位体積あたりの熱発生率です。

静電気学では、これは対象空間に電荷が含まれている場合と同等です。

体積内に熱源がない場合（均質の場合）の定常熱方程式は、電荷を含まない自由空間の体積に対する静電気学の方程式です。これはラプラス方程式で記述されます。

${\displaystyle \nabla ^{2}u=0}$

熱方程式は、典型的な放物型偏微分方程式として、純粋数学で最も広く研究されているトピックの 1 つであり、その解析は偏微分方程式というより広い分野の基礎と見なされています。熱方程式はリーマン多様体上でも考えられ、多くの幾何学的応用につながっています。Subbaramiah MinakshisundaramとÅke Pleijelの研究に続いて、熱方程式はスペクトル幾何学と密接に関連しています。熱方程式の独創的な非線形変種は、1964 年にJames EellsとJoseph Sampsonによって微分幾何学に導入され、1982 年にRichard Hamiltonによるリッチフロー導入のきっかけとなり、2003 年にGrigori Perelmanによるポアンカレ予想の証明で最高潮に達しました。熱核として知られる熱方程式の特定の解は、アティヤ–シンガー指数定理への応用で例示されるように、それが定義されている領域に関する微妙な情報を提供します。^[8]

熱方程式とその変種は、科学や応用数学の多くの分野でも重要である。確率論では、熱方程式はフォッカー・プランク方程式を介してランダムウォークやブラウン運動の研究と結びついている。金融数学のブラック・ショールズ方程式は熱方程式の小さな変種であり、量子力学のシュレーディンガー方程式は虚数時間における熱方程式とみなすことができる。画像解析では、熱方程式はピクセル化を解決したりエッジを特定したりするために使用されることがある。ロバート・リヒトマイヤーとジョン・フォン・ノイマンによる「人工粘性」法の導入以降、熱方程式の解は流体力学的衝撃の数学的定式化に役立っている。熱方程式の解は、1950年代のジム・ダグラス、DWピースマン、ヘンリー・ラッチフォード・ジュニアの研究に始まり、 数値解析の文献でも大きな注目を集めている。

粒子の拡散は、次のいずれかの方程式によってモデル化できます。

• 多数の粒子が集団拡散する場合の粒子の体積濃度（c ）または
• 単一粒子の位置に関連付けられた確率密度関数（Pと表記） 。

どちらの場合も、熱方程式を使用する。

${\displaystyle c_{t}=D\Delta c,}$

または

${\displaystyle P_{t}=D\Delta P.}$

cとP は両方とも位置と時間の関数です。Dは拡散プロセスの速度を制御する拡散係数で、通常はメートルの 2 乗/秒で表されます。拡散係数Dが一定ではなく、濃度c (または2 番目のケースではP )に依存する場合は、非線形拡散方程式が得られます。

確率過程を 確率微分方程式の解とする${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {d} X_{t}={\sqrt {2k}}\;\mathrm {d} B_{t}\\X_{0}=0\end{cases}}}$

ここで はウィーナー過程（標準ブラウン運動）である。の確率密度関数は任意の時点で次のように 与えられる。${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

これは初期値問題の解である

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{cases}}}$

ここで、 はディラックのデルタ関数です。 ${\displaystyle \delta }$

単純な除算により、力場が存在しない 質量mの単一粒子に対するシュレーディンガー方程式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi }$、

ここで、 iは虚数単位、ħは換算プランク定数、ψ は粒子の 波動関数です。

この方程式は、次の変換によって得られる粒子拡散方程式と形式的には類似しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}}$

この変換を粒子拡散の場合に決定されたグリーン関数の表現に適用すると、シュレーディンガー方程式のグリーン関数が得られ、これを使用して、t = 0での波動関数の積分を通じて任意の時点の波動関数を取得できます。

${\displaystyle \psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^{0},t=0\right)G\left(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},}$

と

${\displaystyle G(\mathbf {R} ,t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.}$

注: 量子力学と拡散のこの類似性は、純粋に形式的なものである。物理的には、シュレーディンガー方程式を満たす波動関数の発展は、拡散以外の起源を持つ可能性がある^[要出典]。

熱方程式をフーリエ理論と組み合わせて球座標で直接応用すると、熱伝達プロファイルの予測とポリマーの熱拡散率の測定が可能になります(Unsworth とDuarte )。この理論と実験の二重手法は、ゴム、実用上のさまざまなポリマー材料、およびマイクロ流体に適用できます。これらの著者は、球の中心の温度T _{Cを表す式を導き出しました。}

${\displaystyle {\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)}$

ここで、T ₀は球体の初期温度、T _{S は}半径Lの球体の表面温度です。この式は、タンパク質のエネルギー移動や生物物理学における熱モデリングにも応用されています。

熱方程式は、多くの現象のモデル化で登場し、金融数学のオプションのモデル化でよく使用されます。ブラック・ショールズ・オプション価格設定モデルの微分方程式は、熱方程式に変換できるため、使い慣れた数学体系から比較的簡単に解くことができます。単純なオプション モデルの拡張の多くは閉じた形式の解を持たないため、モデル化されたオプション価格を取得するには数値的に解く必要があります。多孔質媒体内の圧力拡散を記述する方程式は、熱方程式と同じ形式です。ディリクレ、ノイマン、ロビンの境界条件を扱う拡散問題には、閉じた形式の解析解があります (Thambynayagam 2011)。熱方程式は、画像分析 (Perona & Malik 1990) や、スケール スペース法やグラフ ラプラシアン法の駆動理論として機械学習でも広く使用されています。熱方程式は、暗黙のクランク・ニコルソン法(Crank & Nicolson 1947)を使用して数値的に効率的に解くことができます。この方法は、閉じた形式の解を持たない多くのモデルに拡張できます。たとえば、(Wilmott、Howison、Dewynne 1995) を参照してください。

多様体上の熱方程式の抽象的な形式は、アティヤ・シンガーの指数定理への主要なアプローチを提供し、リーマン幾何学における熱方程式に関するさらなる研究につながりました。

• カロリー多項式
• 曲線短縮フロー
• 拡散方程式
• 相対論的熱伝導
• シュレーディンガー方程式
• ワイエルシュトラス変換

• キャノン、ジョン・ロジアー（1984）、1次元熱方程式、数学とその応用百科事典、第23巻、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェズリー出版社、アドバンスト・ブック・プログラム、ISBN 0-201-13522-1、MR  0747979、Zbl  0567.35001
• クランク、J.; ニコルソン、P. (1947)、「熱伝導型偏微分方程式の解の数値評価のための実用的な方法」、ケンブリッジ哲学協会紀要、43 (1): 50–67、Bibcode :1947PCPS...43...50C、doi :10.1017/S0305004100023197、S2CID  16676040
• エヴァンス、ローレンス C. (2010)、偏微分方程式、大学院数学研究、第 19 巻 (第 2 版)、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-4974-3
• Perona, P; Malik, J. (1990)、「異方性拡散を用いたスケールスペースとエッジ検出」(PDF)、IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence、12 (7): 629–639、doi :10.1109/34.56205、S2CID  14502908
• Thambynayagam, RKM (2011)、「拡散ハンドブック：エンジニアのための応用ソリューション」、McGraw-Hill Professional、ISBN 978-0-07-175184-1
• ウィルモット、ポール、ハウソン、サム、デウィン、ジェフ（1995）「金融派生商品の数学。学生向け入門書」ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-49699-3

• Carslaw, HS ; Jaeger, JC (1988)、「固体の熱伝導」、Oxford Science Publications (第2版)、ニューヨーク：The Clarendon Press、Oxford University Press、ISBN 978-0-19-853368-9
• コール、ケビン D.; ベック、ジェームズ V.; ハジシェイク、A.; リトコウヒ、バハン (2011)、「グリーン関数を使用した熱伝導」、力学と熱科学における計算および物理プロセスシリーズ (第 2 版)、ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス、ISBN 978-1-43-981354-6
• アインシュタイン、アルバート(1905)、「分子動力学理論を理解するための理論」(PDF)、Annalen der Physik、322 (8): 549–560、Bibcode :1905AnP...322..549E、土井: 10.1002/andp.19053220806
• フリードマン、アヴナー（1964）、放物型偏微分方程式、ニュージャージー州エングルウッドクリフス：プレンティスホール
• アンズワース、J.;ドゥアルテ、FJ (1979)、「固体球内の熱拡散とフーリエ理論」、Am. J. Phys.、47 (11): 891–893、Bibcode :1979AmJPh..47..981U、doi :10.1119/1.11601
• Jili, Latif M. (2009)、熱伝導、Springer (第3版)、ベルリン-ハイデルベルク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-642-01266-2
• Widder, DV (1975)、「熱方程式」、純粋および応用数学、第 67 巻、ニューヨーク-ロンドン: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich、出版社]

• 熱方程式の導出
• 線形熱方程式: 特殊解と境界値問題 - EqWorld より
• 「熱方程式」。PBS Infinite Series。2017年11月17日。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。