説明 波の特性。 分散。 位相速度 と群速度を √ghで割った値を、h / λの関数として示す。A ： 速度 、 B ： 群 速度 C ： 浅水域 で有効 な位相速度と群速度√gh エアリー波理論は、流体表面上の重力波の運動を記述するためにポテンシャル流 （または速度ポテンシャル）アプローチを使用します。水波における（非粘性かつ非回転の）ポテンシャル流の使用は、 粘性 、渦度、 乱流 、または流れの剥離 を考慮することがしばしば不可欠な他の多くの流体の流れを記述できないことを考えると、非常に成功しています。これは、流体運動の振動部分では、波によって誘起される渦度が、流体領域の境界にあるいくつかの薄い振動ストークス境界層に限定されるという事実によるものです。 [ 5 ]
エアリー波理論は、海洋工学 や沿岸工学 でよく用いられます。特に、乱流 波とも呼ばれるランダム波の場合、波の スペクトル を含む波の統計的変化は、波長の観点から見てそれほど遠くなく、水深も浅すぎない範囲でよく予測されます。回折は 、エアリー波理論で記述できる波の効果の一つです。さらに、WKBJ近似を 用いることで、波の浅瀬化 や屈折 を予測することができます。[ 2 ]
表面重力波をポテンシャル流を用いて記述しようとする初期の試みは、ラプラス 、ポアソン 、コーシー 、ケランド らによって行われた。しかし、正しい導出と定式化を最初に発表したのはエアリーで、1841年のことである。 [ 1 ] ストークスによってエアリーの線形理論が 非線形 波動運動に拡張され、ストークスの波動理論 として知られるようになった。これは波の傾斜に関して3次 まで正しい。 [ 6 ] ゲルストナーは 1802年に非線形トロコイド波動 理論を導出したが、これは非回転 ではない。[ 1 ]
エアリー波理論は、ポテンシャル流の表面および水平底面上の波の伝播に関する線形理論である。1つの波成分の自由表面高さη ( x , t )は、水平位置x と時間t の関数として正弦波状 である。
η （ x 、 t ） = 1 コス （ k x − ω t ） {\displaystyle \eta (x,t)=a\cos \left(kx-\omega t\right)} どこ
a は波の振幅 （メートル）です。cosは コサイン 関数です。kは ラジアン / 角波数 で 波長 λ とk = 2π / λ 。 ω はラジアン毎秒の角周波数 で 周期 T と周波数 f との関係は ω = 2π / T = ある 波は位相速度 c p で水面に沿って伝播する。
c p = ω k = λ T 。 {\displaystyle c_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\lambda }{T}}.} 角波数k と周波数ω は独立したパラメータではなく（したがって波長λ と周期T も独立ではない）、互いに連動している。流体上の表面重力波は分散 波であり、周波数分散を示す。つまり、各波数にはそれぞれ固有の周波数と位相速度がある。
なお、工学分野では、波高 H （ 波の頂上 と谷 の高さの差）がよく用いられる。
H = 2 1 そして 1 = 1 2 H 、 {\displaystyle H=2a\quad {\text{and}}\quad a={\tfrac {1}{2}}H,} これは、線形周期波の今回のケースにおいて有効である。
直線波下における軌道運動。黄色の点は、流体粒子が（オレンジ色の）軌道上を移動している瞬間の位置を示しています。黒色の点は、軌道の中心を示しています。 深海（A）と浅海（B）における海洋波中の粒子運動。1）伝播方向。2）波の山。3）波の谷。 水面下では、自由表面の動きに伴う流体運動が起こっている。水面の隆起は伝播する波を示しているが、流体粒子は軌道運動をしている。エアリー波動理論の枠組みでは、軌道は閉曲線であり、深水では円、有限深度では楕円となる。円は流体層の底に到達する前に消滅し、楕円は流体層の底付近で平坦になる。つまり、波が伝播する間、流体粒子は平均 位置の周りをただ周回（振動）しているだけである。伝播する波の運動によって、流体粒子は平均速度を持たずに波の伝播方向にエネルギーを伝達する。軌道の直径は自由表面下の深さとともに減少する。深水では、半波長の深さで軌道の直径は自由表面の値の4%にまで減少する。
同様に、自由表面の下でも圧力 振動が発生し、波によって引き起こされる圧力振動は、流体塊の軌道運動の場合と同様に、自由表面からの深さとともに減少する。
波は水平方向（座標 x ）に伝播し、流体領域は上方に自由表面z = η ( x , t )で境界付けられています。ここで、 z は 垂直方向（上向きを正とする）で、 t は時間です。[ 7 ] z = 0不透過性層は z = − h 非圧縮性かつ 非回転性 であると仮定します。これは、液面上の波に対する流体内部の流れの良い近似です。流れを記述するためにポテンシャル理論を使用できます。 速度ポテンシャル Φ( x , z , t ) は、水平方向 ( x ) および垂直方向 ( z ) の 流れ速度 成分u x およびu z と次の関係にあります。
u x = ∂ Φ ∂ x そして u z = ∂ Φ ∂ z 。 {\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad u_{z}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}.} すると、非圧縮性流れの連続方程式 により、ポテンシャルΦは ラプラス方程式 を満たさなければならない。
境界条件が必要です。線形理論の枠組みの中で境界条件を定式化するには、流れの基本状態（または ゼロ次解 ）を特定する必要があります。ここでは、基本状態を静止状態と仮定し、平均流速がゼロであるものとします。
河床が不透過性であるため、運動学的 河床境界条件が導かれる。
深水の場合（数学的には無限の 水深を意味する）、垂直座標がマイナス無限大に近づくと、流速はゼロになるはずです 。z → −∞
自由表面において、微小 波の場合、流れの垂直方向の運動は自由表面の垂直速度と等しくなければならない。これにより、運動学的自由表面境界条件が得られる。
自由表面の高さη ( x , t )ベルヌーイの式 によって与えられます。自由表面上の圧力は一定であると仮定します。このような一定圧力のレベルは流れに影響を与えないため、一般性を失うことなく、この一定圧力をゼロとします。線形化後、動的 自由表面境界条件は次のようになります。
これは線形理論であるため、自由表面境界条件（運動学的境界条件と動的境界条件）の両方において、式（3 ） 4 z = 0 における Φ と∂Φ / ∂ z
進行性単色波の解 単一周波数の伝搬波（単色 波）の場合、表面の隆起は次の形式になります。[ 7 ]
η = 1 コス （ k x − ω t ） 。 {\displaystyle \eta =a\cos(kx-\omega t).} 流体内部におけるラプラス方程式（1）および自由表面（2）と底面（3）における運動学的境界条件を満たす関連速度ポテンシャルは、次のとおりである。
Φ = ω k 1 コッシュ k （ z + h ） シン k h 罪 （ k x − ω t ） 、 {\displaystyle \Phi ={\frac {\omega }{k}}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin(kx-\omega t),} sinh とcoshは それぞれ双曲線正弦関数 と双曲線余弦 関数を表す。しかし、η とΦは 動的境界条件も満たす必要があり、その結果、波の振幅a が非自明（非ゼロ）の値になるのは、線形分散関係 が満たされる場合のみである。
ω 2 = g k タン k h 、 {\displaystyle \omega ^{2}=gk\tanh kh,} tanh は双曲線正接 です。したがって、角周波数ω と波数k 、あるいは等価的に周期T と波長λ は独立して選択することはできず、互いに関連しています。これは、流体表面での波動伝播が固有値問題であることを意味します。ω と k が 分散関係を満たす場合、波の振幅a は 自由に選択できます (ただし、エアリー波動理論が有効な近似となる程度に小さくする必要があります)。
波動量の表 下の表には、エアリー波理論に基づくいくつかの流れの量とパラメータが示されています。[ 7 ] x = ( x , y )波数 ベクトルはk であり、波の山 のカムに垂直です。次に、水平方向の平均流速U が考慮され、深さz に対して均一です (深さ z に依存しません) 。これにより、分散関係にドップラーシフトが 生じます。地球固定位置では、観測される角周波数 (または絶対角周波数 ) はω です。一方、平均速度U で移動する参照系 (この参照系から観測される平均速度はゼロ) では、角周波数は異なります。これは固有角周波数 (または相対角周波数 ) と呼ばれ、σで表されます。したがって、 U = 0 ω とσ は等しくなります。波数k （および波長λ ）は 基準系 に依存せず、ドップラーシフトもありません（単色波の場合）。
この表は、流量量（速度、粒子移動量、圧力）の振動成分のみを示しており、平均値やドリフト値は示していません。振動する粒子移動量ξ x ξ z u x u z 積分 です。
水深は3つの領域に分類されます。[ 8 ]
波長と海底までの深さの関係に基づいて、深水波と浅水波を可視化する。 深水 – 水深が波長 の半分より大きい場合、h > 1 / 2λ では 位相速度 は 水深の影響をほとんど受けません（これは [ 9 ] 浅水域 – 水深が波長の 5% 未満、h < 1/20λ の場合、 波 の位相 速度 は 水深 なく なり ます。[ 10 ] 中間深度 – その他のすべてのケース、 1 / 20 λ < h < 1 / 2 λ 水深が深い場合と浅い場合の極限においては、解を簡略化した近似式を用いることができる。一方、中間的な水深においては、完全な定式化を用いる必要がある。
深水面における重力毛細管波の分散。位相速度と群速度を4 √ gσ / ρで割った 値を、逆相対波長 1 / λ √ σ / ρg の 関数 。 c p c g σ 表面張力 により、分散関係は次のように変化します。[ 11 ]
Ω 2 （ k ） = （ g + γ ρ k 2 ） k タン k h 、 {\displaystyle \Omega ^{2}(k)=\left(g+{\frac {\gamma }{\rho }}k^{2}\right)k\,\tanh kh,} ここでγ はニュートン/メートル単位の表面張力である。重力加速度gを [ 12 ]
g ～ = g + γ ρ k 2 。 {\displaystyle {\tilde {g}}=g+{\frac {\gamma }{\rho }}k^{2}.} 表面張力の影響で、波はより速く伝播します。表面張力は、水と空気の界面における波長が数デシメートル以下の短波にのみ影響を及ぼします。空気と水の界面における波長が2mm以下の非常に短い波では、重力の影響は無視できます。なお、表面張力は界面 活性剤 によって変化する可能性があります。
毛細管波の群速度 ∂Ω / ∂ k は、 表面張力 位相速度 Ω / k よりも大きい。 。 [ 13 ]
界面波 表面波は、密度 が異なる2つの流体の界面 に発生する界面波の特殊なケースである。
無限の深さを持つ2つの層 界面で隔てられ、それ以上の境界がない 2 つの流体を考えます。その場合、それらの分散関係ω 2 = Ω 2 ( k )は[ 11 ] [ 14 ] [ 15 ]
Ω 2 （ k ） = | k | （ ρ − ρ ′ ρ + ρ ′ g + γ ρ + ρ ′ k 2 ） 、 {\displaystyle \Omega ^{2}(k)=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\gamma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),} ここで、ρ とρ ′は、それぞれ界面の下（ ρ ）と界面の上（ρ ′γ は界面における表面張力である。
界面波が存在するためには、下層が上層よりも重くなければならない（ρ > ρ ′）レイリー・テイラー不安定性 が発生する。
水平な剛性平面の間に挟まれた2つの層 密度が異なる2つの非粘性 均質流体の層間の界面における波動運動。これらの層は、水平方向の剛体境界（上部と下部）に挟まれている。運動は重力によって強制される。上層の平均深さはh ′ρ ′h 、 密度はρ である。波の振幅はa 、波長はλ （波数k とk = 2π / λ の関係にある） g 、位相速度 は c p （c p = Ω ( k ) / k ） 界面の下の平均厚さがh 、上の平均厚さが h ′ω 2 = Ω 2 ( k )[ 16 ]
Ω 2 （ k ） = g k （ ρ − ρ ′ ） ρ 布 k h + ρ ′ 布 k h ′ 、 {\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {gk(\rho -\rho ')}{\rho \coth kh+\rho '\coth kh'}},} ここで、ρ とρ ′はcothは 双曲線コタンジェント 関数である。ρ ′ がh の水面上の表面重力波の分散関係に帰着する。
上部が自由表面で区切られた2つの層 この場合、分散関係は 2 つのモードを許容します。自由表面の振幅が 界面波の振幅に比べて大きい順圧モード と、その逆で界面波が自由表面波よりも高く、かつ逆位相である 傾圧 モードです。この場合の分散関係はより複雑な形式になります。[ 17 ]
二次波動特性 波の振幅aに関して二次 関数 となるいくつかの二次 波特性は、エアリー波理論から直接導出できます。これらは、波の状態の予測 など、多くの実用的な用途で重要です。[ 18 ] WKBJ 近似を 使用すると、二次波特性は、ゆっくりと変化する海底 地形、および平均流による海流と表面高度の変化の場合の波の記述にも応用されます。また、波場自体の振幅、周波数、波長、および方向の時間的および空間的変化による波と平均流の相互作用の記述にも応用されます。
二次波動特性表 下の表には、いくつかの二次波動特性と、空間と時間において緩やかに変化する条件の場合にそれらが満たす運動方程式が示されています。これらの詳細については、後述します。この表は、水平方向の空間における波動伝播の結果を示しています。このセクションの後半では、水平方向の空間における伝播の一般的な場合について、より詳細な説明と結果を示します。
最後の 4 つの方程式は、平均流 との相互作用による水深上のゆっくりと変化する波列の進化を記述しており、変分原理、すなわち ウィザム の平均ラグランジュ 法から導出できます。[ 19 ] d ( x ) は静水深、つまり流体層の下の海底はz = −d に 輸送速度 Ũであり、平均 オイラー 速度 (例えば、固定流量計で測定されたもの) ではないことに注意してください。
波のエネルギー密度 波のエネルギーは、波列とともに運ばれる主要な量であるため、主要な関心事です。[ 20 ] 運動 エネルギー密度と位置エネルギー 密度の合計です。最も簡単に導出できるのは、表面重力波の単位水平面積あたりの平均位置エネルギー密度E pot で [ 21 ]
E ポット = ∫ − h η ρ g z d z ¯ − ∫ − h 0 ρ g z d z = 1 2 ρ g η 2 ¯ = 1 4 ρ g 1 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{pot}}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho gz\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho gz\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\overline {{\tfrac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.\end{aligned}}} 上線は平均値を表します（周期波の場合、これは時間平均または空間における1波長にわたる平均のいずれかとして考えることができます）。
波の運動の単位水平面積あたりの平均運動エネルギー密度E kin は、同様に次のようになります。 [ 21 ]
E 親族 = ∫ − h 0 1 2 ρ [ | U + u x | 2 + u z 2 ] d z ¯ − ∫ − h 0 1 2 ρ | U | 2 d z = 1 4 ρ σ 2 k タン k h 1 2 、 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{kin}}&={\overline {\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left[\left|\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right|^{2}+u_{z}^{2}\right]\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left|\mathbf {U} \right|^{2}\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\tfrac {1}{4}}\rho {\frac {\sigma ^{2}}{k\tanh kh}}a^{2},\end{aligned}}} σ は固有周波数であり、波動量の表を 参照のこと。分散関係を用いると、表面重力波の結果は次のようになる。
E 親族 = 1 4 ρ g 1 2 。 {\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.} ご覧のとおり、平均運動エネルギー密度と平均位置エネルギー密度は等しい。これは、保存系 における進行線形波のエネルギー密度の一般的な性質である。[ 22 ] [ 23 ] 位置エネルギーと運動エネルギーの寄与、 E pot E kin Eは次のようになる。
E = E ポット + E 親族 = 1 2 ρ g 1 2 。 {\displaystyle E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}.} 表面張力の影響が無視できない場合、それらの寄与は位置エネルギー密度と運動エネルギー密度にも加算され、[ 22 ]となる。
E ポット = E 親族 = 1 4 （ ρ g + γ k 2 ） 1 2 、 {\displaystyle E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},} それで
E = E ポット + E 親族 = 1 2 （ ρ g + γ k 2 ） 1 2 、 {\displaystyle E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},} γ は表面張力 である。
一般に、波の運動と平均流体運動の間にはエネルギーの伝達が存在する可能性があります。これは、波のエネルギー密度が常に保存量であるわけではない（散逸効果を 無視した場合）が、全エネルギー密度（波の運動と平均流運動の単位面積あたりのエネルギー密度の合計）は保存量であることを意味します。ただし、ゆっくりと変化する水深 と平均流場を伝播するゆっくりと変化する波列には、同様の保存波量、波の作用 A = E / σ があります [ 19 ] [ 24 ] [ 25 ]
∂ A ∂ t + ∇ ⋅ [ （ U + c g ） A ] = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\mathcal {A}}\right]=0,} ここで、( U + c g A は 作用フラックス 、c g c g e k は 速度ベクトルです。作用保存則は、多くの 風波モデル や波の乱流 モデルの基礎となっています。 [ 26 ] また、波の浅瀬化 を計算するための沿岸工学 モデルの基礎でもあります。[ 27 ] [ 28 ]
∂ E ∂ t + ∇ ⋅ [ （ U + c g ） E ] + S : （ ∇ U ） = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right)E\right]+{\boldsymbol {S}}:\left(\nabla \mathbf {U} \right)=0,} と：
この非保存形式の方程式では、フロベニウス内積 S : (∇ U )∇ U = 0 の場合のみ、平均波エネルギー密度E が保存されます。2 つのテンソルS ∇ U は、次の形式のデカルト座標系 にあります。[ 29 ]
S = （ S x x S x y S y x S y y ） = 私 （ c g c p − 1 2 ） E + 1 k 2 （ k x k x k x k y k y k x k y k y ） c g c p E 、 私 = （ 1 0 0 1 ） 、 ∇ U = （ ∂ U x ∂ x ∂ U y ∂ x ∂ U x ∂ y ∂ U y ∂ y ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {I}}\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E+{\frac {1}{k^{2}}}{\begin{pmatrix}k_{x}k_{x}&k_{x}k_{y}\\[2ex]k_{y}k_{x}&k_{y}k_{y}\end{pmatrix}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}E,\\[6px]{\boldsymbol {I}}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\\[6px]\nabla \mathbf {U} &={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial x}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial y}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}} ここで、 k x とk y は波数ベクトル k U x とU y は平均速度ベクトル U
波の質量流量と波の運動量 波の運動によって誘発される単位面積あたりの平均水平運動量 M 質量流束 または質量輸送 は次のようになります。[ 30 ]
M = ∫ − h η ρ （ U + u x ） d z ¯ − ∫ − h 0 ρ U d z = E c p e k 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \left(\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right)\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho \mathbf {U} \,\mathrm {d} z\\[6px]&={\frac {E}{c_{p}}}\mathbf {e} _{k},\end{aligned}}} これは周期的な進行性水波に対する正確な結果であり、非線形波にも有効である。[ 31 ] ストークスは すでに周期的な非線形波の位相速度の2つの可能な定義を特定している。 [ 6 ]
波の運動量M E の間の上記の関係は、ストークスの第1定義の枠組み内で有効である。
しかし、海岸線に垂直な波や閉鎖された実験室の波水路 内の波の場合、2番目の定義（S2）の方が適切です。これらの波系は、2番目の定義を使用すると質量流束と運動量がゼロになります。[ 32 ] U （底流 と呼ばれる）によってバランスが取られなければなりません。
したがって、一般的には、かなり微妙な点が関係しています。そのため、波の運動量の代わりに波の擬似運動量という用語も使用されます。[ 33 ]
質量と運動量の進化方程式 ゆっくりと変化する水深 、波浪、平均流場の場合、平均流の進化は、次のように定義される平均質量輸送速度Ũ [ 34 ]
U ～ = U + M ρ h 。 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {U} }}=\mathbf {U} +{\frac {\mathbf {M} }{\rho h}}.} 深水の場合、平均水深h が無限大になると、平均オイラー速度U Ũ は
質量保存の式は次のとおりです。[ 19 ] [ 34 ]
∂ ∂ t （ ρ h ） + ∇ ⋅ （ ρ h U ～ ） = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)=0,} ここで、 h ( x , t )
同様に、平均水平運動量は次のように変化します。[ 19 ] [ 34 ]
∂ ∂ t （ ρ h U ～ ） + ∇ ⋅ （ ρ h U ～ ⊗ U ～ + 1 2 ρ g h 2 私 + S ） = ρ g h ∇ d 、 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {S}}\right)=\rho gh\nabla d,} ここで、d は静水深 (海底はz = – d S テンソル 、I 単位行列 、⊗は 二項積 です。
U ～ ⊗ U ～ = （ U ～ x U ～ x U ～ x U ～ y U ～ y U ～ x U ～ y U ～ y ） 。 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}={\begin{pmatrix}{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{y}\\{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{y}\end{pmatrix}}.} 平均水平運動量は 、海底が水平である場合（静水深d が一定である場合）にのみ保存されることに注意してください。これは、ノーターの定理 と一致します。
方程式系は波の記述によって閉じられる。波のエネルギー伝播は、波の作用保存方程式（散逸と非線形波の相互作用なし）によって記述される：[ 19 ] [ 24 ]
∂ ∂ t （ E σ ） + ∇ ⋅ [ （ U + c g ） E σ ] = 0. {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {E}{\sigma }}\right)+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\frac {E}{\sigma }}\right]=0.} 波の運動学は波頂保存方程式によって記述される：[ 35 ]
∂ k ∂ t + ∇ ω = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {k} }{\partial t}}+\nabla \omega =\mathbf {0} ,} 角周波数ω は、 （角） 波数 k 分散関係 によって関連付けられています。これが可能となるためには、波動場はコヒーレントでなければなりません。波の山の保存則の 回転 を取ると、最初に非回転の 波数場は非回転のままであることがわかります。
ストークスドリフト 純粋な波動運動 ( U = 0 [ 36 ] ストークスドリフト を示し、その2次式はエアリー波理論の結果から導出できます ( 2次波特性に関する上記の表を 参照)。[ 37 ] 1つの波サイクル後の粒子ドリフトを周期 で割ったストークスドリフト速度ū S [ 38 ]
u ¯ S = 1 2 σ k 1 2 コッシュ 2 k （ z + h ） シン 2 k h e k 、 {\displaystyle {\bar {\mathbf {u} }}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}\mathbf {e} _{k},} そのため、 を 深 さで積分する と、平均波運動量M [ 38 ]
注記 1 2 3 Craik, Alex (2004). "The Origins of Water Wave Theory". Annual Review of Fluid Mechanics . 36 : 1–28 . doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118 . 1 2 ゴダ、Y. (2000). ランダム海と海洋構造物の設計 . 海洋工学アドバンストシリーズ. 第 15巻. シンガポール: ワールドサイエンティフィック出版. ISBN 978-981-02-3256-6 OCLC 45200228 ↑ ディーン＆ダルリンプル（1991）。 ↑ Phillips (1977)、§3.2、37～43ページおよび§3.6、60～69ページ。 ↑ Lighthill, MJ (1986). "海洋構造物への波浪荷重に関する基礎". J. Fluid Mech . 173 : 667–681 . Bibcode : 1986JFM...173..667L . doi : 10.1017/S0022112086001313 . S2CID 113694460 . 1 2 ストークス（1847）。 1 2 3 4 深水および浅水における方程式、解、および結果として得られる近似値については、Dingemans (1997)、第 1 部、§2.1、pp. 38–45 を参照してください。または、Phillips (1977)、pp. 36–45 を参照してください。 ↑ ディーン＆ダルリンプル（1991）64～65ページ ↑ 深さh を無限大とみなした 場合、位相速度の誤差は 0.2% 未満です ( h > 1 / 2 λ の 場合) ↑ h < 1 / 20 λの場合 、 波長の 影響を無視すれば位相速度の誤差は 2% 未満です。 1 2 フィリップス (1977)、37ページ。 ↑ ライトヒル（1978）、223ページ。 ↑ フィリップス (1977)、175ページ。 ↑ ラム、H. （1994）、§267、458～460ページ。↑ ディンジマンズ (1997)、セクション 2.1.1、p. 45. ↑ Turner, JS (1979), Buoyancy effects in fluids , Cambridge University Press, p. 18, ISBN 978-0521297264 ↑ Apel, JR (1987), Principles of ocean physics , Academic Press, pp. 231–239 , ISBN 9780080570747 ↑ 例えば、 NOAA の国立気象局による外洋予報を参照。 1 2 3 4 5 Whitham, GB (1974). 線形波と非線形波 . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-94090-6 OCLC 815118。 ↑ フィリップス (1977)、23-25ページ。 1 2 フィリップス (1977)、39ページ。 1 2 フィリップス (1977)、38ページ。 ↑ レイリー卿 (JW ストラット) (1877) 「進行波について」 ロンドン数学 会 紀要 9 : 21– 26. doi : 10.1112/plms/s1-9.1.21 . 『音響理論 1』 、マクミラン社、第2版改訂版、1894年に付録として再録。1 2 フィリップス (1977)、p. 26。 ↑ Bretherton, FP ; Garrett, CJR (1968). "不均質な移動媒体における波列". Proceedings of the Royal Society of London, Series A . 302 (1471): 529– 554. Bibcode : 1968RSPSA.302..529B . doi : 10.1098/rspa.1968.0034 . S2CID 202575349 . ↑ フィリップス (1977)、179–183頁。 ↑ フィリップス (1977)、70-74頁。 ↑ フィリップス (1977)、p. 66。 ↑ フィリップス (1977)、p. 68。 ↑ フィリップス (1977)、39-40 頁および 61 頁。 ↑ フィリップス (1977)、p. 40。 ↑ フィリップス (1977)、70ページ。 ↑ McIntyre, M. E. (1978). "On the 'wave-momentum' myth". Journal of Fluid Mechanics . 106 : 331– 347. Bibcode :1981JFM...106..331M. doi :10.1017/S0022112081001626. S2CID 18232994.1 2 3 Phillips (1977), pp. 61–63. ↑ Phillips (1977), p. 23. ↑ LeBlond, P.H.; Mysak, L.A. (1981). Waves in the Ocean . Elsevier Oceanography Series. Vol. 20. Elsevier. pp. 85 & 110–111. ISBN 978-0-444-41926-2 . ↑ Craik, A.D.D. (1988). Wave interactions and fluid flows . Cambridge University Press. p. 105. ISBN 978-0-521-36829-2 . 1 2 Phillips (1977), p. 44.
References
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Further reading Craik, A. D. D. (2004). "The origins of water wave theory". Annual Review of Fluid Mechanics . 36 : 1– 28. Bibcode :2004AnRFM..36....1C. doi :10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118. Dean, R. G.; Dalrymple, R. A. (1991). Water wave mechanics for engineers and scientists . Advanced Series on Ocean Engineering. Vol. 2. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0420-4 . OCLC 22907242. Dingemans, M. W. (1997). Water wave propagation over uneven bottoms . Advanced Series on Ocean Engineering. Vol. 13. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0427-3 . OCLC 36126836. Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6th ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9 . OCLC 30070401.ランダウ、LD ；リフシッツ、EM （1986）。流体力学 。理論物理学講義。第 6巻（第2版改訂 版）。パーガモン・プレス。ISBN 978-0-08-033932-0 OCLC 15017127。 ライトヒル、MJ （1978）。流体中の波動 。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-29233-7 OCLC 2966533。 Phillips, OM (1977).海洋上層の力学 （第2 版）. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29801-8 . OCLC 7319931 . Wehausen, JV & Laitone, EV (1960), Flügge, S. & Truesdell, C. (編), "表面波" , Encyclopaedia of Physics , 9 , Springer Verlag: 653–667 , §27, OCLC 612422741 , 2013年5月21日にオリジナルからアーカイブされ、 2013 年5月5日に取得されました 
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{pot}}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho gz\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho gz\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\overline {{\tfrac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b9d1f161bedb7c8cc470b8df4944d643a672e5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{kin}}&={\overline {\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left[\left|\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right|^{2}+u_{z}^{2}\right]\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left|\mathbf {U} \right|^{2}\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\tfrac {1}{4}}\rho {\frac {\sigma ^{2}}{k\tanh kh}}a^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc8cbb31729008fd59ba3f6348533138cc0d1ff)
![{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\mathcal {A}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ddfc6a2fe62df278e5dc4c91aca7963c249a19)
![{\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right)E\right]+{\boldsymbol {S}}:\left(\nabla \mathbf {U} \right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383fb93bcfb3cac9b63ea74a0f984feaf18a91f0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {I}}\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E+{\frac {1}{k^{2}}}{\begin{pmatrix}k_{x}k_{x}&k_{x}k_{y}\\[2ex]k_{y}k_{x}&k_{y}k_{y}\end{pmatrix}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}E,\\[6px]{\boldsymbol {I}}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\\[6px]\nabla \mathbf {U} &={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial x}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial y}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53bed8a24fc6734ea673b27c3c90c87df027b85)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \left(\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right)\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho \mathbf {U} \,\mathrm {d} z\\[6px]&={\frac {E}{c_{p}}}\mathbf {e} _{k},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488c9ce81a7c093b88bab3e8980c07f7d9544b56)
![\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {E}{\sigma }}\right)+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\frac {E}{\sigma }}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b7f9f91676efeb18f39b992a79a4a7cb3e8a7f)
