慣性波

慣性波は慣性振動とも呼ばれ、回転する流体で起こり得る機械的波の一種です。海岸や浴槽でよく見られる表面重力波とは異なり、慣性波は表面ではなく流体の内部を流れます。他の種類の波と同様に、慣性波は復元力によって引き起こされ、その波長と周波数によって特徴付けられます。慣性波の復元力はコリオリの力であるため、その波長と周波数は特殊な方法で関連しています。慣性波は横方向です。最も一般的には、大気、海洋、湖、および実験室での実験で観測されます。ロスビー波、地衡流、地衡風は慣性波の例です。慣性波は、自転する地球の溶融核にも存在する可能性があります。

慣性波は、回転の結果として生じるコリオリの力によって平衡状態に戻ります。正確に言うと、回転フレームでは、常に加速しているという事実を説明するために、コリオリの力（遠心力とともに）が発生します。したがって、慣性波は回転なしでは存在できません。弦の張力よりも複雑で、コリオリの力は運動の方向に対して 90° の角度で作用し、その強さは流体の回転速度に依存します。これら 2 つの特性が、慣性波の特異な特性につながります。

慣性波は、流体が回転しているときのみ発生し、流体の表面ではなく、流体のバルク内に存在します。光波と同様に、慣性波は横波です。つまり、慣性波の振動は、波の進行方向に対して垂直に発生します。慣性波の独特な幾何学的特性の 1 つは、波の山と谷の動きを表す位相速度が、エネルギーの伝播の尺度である群速度に対して垂直であることです。

音波や電磁波はどの周波数でも起こり得ますが、慣性波は 0 から流体の回転速度の 2 倍までの周波数範囲でのみ存在できます。さらに、波の周波数は移動方向によって決まります。回転軸に垂直に移動する波の周波数は 0 で、地衡モードと呼ばれることもあります。軸に平行に移動する波の周波数は最大 (回転速度の 2 倍) で、中間の角度にある波の周波数は中間です。自由空間では、慣性波は 0 から回転速度の 2 倍までの任意の周波数で存在できます。ただし、密閉容器では、あらゆる種類の波と同様に、慣性波の可能な周波数に制限が課せられることがあります。密閉容器内の慣性波は、慣性モードと呼ばれることがよくあります。たとえば、球体では、慣性モードは離散的な周波数をとらざるを得ず、モードが存在できないギャップが残ります。

あらゆる種類の流体が慣性波を起こす可能性があります。水、油、液体金属、空気、その他の気体などです。慣性波は、惑星の大気 (ロスビー波、地衡風) と海洋および湖 (地衡流) で最も一般的に観測され、そこで行われる混合の多くは慣性波によるものです。海底の傾斜の影響を受ける慣性波は、ロスビー波と呼ばれることがよくあります。慣性波は、実験室実験や、流体が回転している工業用流体で観測できます。慣性波は地球の液体の外核にも存在する可能性があり、少なくとも 1 つのグループ [1] がその証拠があると主張しています。同様に、慣性波は、星、降着円盤、惑星のリング、銀河などの回転する天体の流れでも発生する可能性があります。

流体の流れは、運動量に関するナビエ・ストークス方程式によって支配されます。圧力下で粘性を持ち、一定速度で回転する流体の流速は 、時間とともに次の式に従って 変化します。${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}} =-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\オメガ }}\回 {\vec {u}}.}$

右側の最初の項は圧力を表し、2 番目の項は粘性拡散を表し、運動量方程式 (上記) の右側の 3 番目 (最後) の項はコリオリの項です。

正確には、回転座標系で観測される流速です。回転座標系は加速しているため（つまり非慣性座標系）、この座標変換の結果として、遠心力とコリオリの力という2つの追加の（疑似）力（前述のとおり）が発生します。上記の式では、遠心力は一般化圧力の一部として含まれており、回転軸からの距離に応じて、通常の圧力と次のように関連しています。 ${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega ^{2}.}$

回転速度が大きい場合、コリオリの力と遠心力は他の項に比べて大きくなります。比較すると小さいため、拡散と「対流微分」（左辺の2番目の項）は省略できます。両辺の回転を取り、いくつかのベクトル恒等式を適用すると、結果は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){ \vec {u}}.}$

この方程式の解の1つのクラスは、2つの条件を満たす波である。まず、が波動ベクトルである場合、 ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,}$

つまり、波は前述のように横波でなければならない。第二に、解は分散関係を満たす 周波数を持つ必要がある。${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },}$

ここで、回転軸と波の方向の間の角度です。これらの特定の解は慣性波として知られています。 ${\displaystyle \theta}$

分散関係は、運動量方程式のコリオリの項によく似ています。回転速度と係数 2 に注目してください。これは、慣性波の可能な周波数の範囲と、その周波数の方向への依存性をすぐに示します。

• Aldridge, KD; I. Lumb (1987). 「地球の流体外核で特定された慣性波」. Nature . 325 (6103): 421– 423. Bibcode :1987Natur.325..421A. doi :10.1038/325421a0. S2CID  4312055.
• グリーンスパン、HP（1969）。回転流体の理論。ケンブリッジ大学出版局。
• Landau, LD; EM Lifschitz (1987)。流体力学、第2版。ニューヨーク：エルゼビア。ISBN 978-0-7506-2767-2。