三角波

三角波
帯域制限された三角波[1]を時間領域（上）と周波数領域（下）で図示したもの。基本波は220Hz（A3）である。
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle x(t)=4\left\vert t-\left\lfloor t+3/4\right\rfloor +1/4\right\vert -1}$
応用分野	エレクトロニクス、シンセサイザー
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} }$
コドメイン	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$
基本機能
パリティ	奇数
期間	1
具体的な特徴
根	${\displaystyle \left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z} }$
派生語	矩形波
フーリエ級数	${\displaystyle x(t)=-{\frac {8}{{\pi }^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{\left(2k-1\right)^{2}}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)}$

三角波の音サンプル

220 Hzの三角波5秒

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加算三角波サウンドサンプル

1秒ごとに正弦波に高調波が追加され、220Hzの三角波が作成されます。

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三角波または三角波は、その三角形の形状から名付けられた非正弦波形です。これは、周期的、区分線形、連続的な実関数です。

方形波と同様に、三角波には奇数次高調波のみが含まれます。ただし、高次高調波は方形波よりもはるかに速く減衰します(単なる逆数ではなく、高調波数の逆二乗に比例します)。

周期pで範囲 [0, 1] にわたる 三角波は、床関数として 定義されます。これは、シフトされたのこぎり波の絶対値と見ることができます。 $${\displaystyle x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|,}$$${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$

[−1, 1]の範囲にわたる三角波の場合、式は次のようになる。 $${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)\right|-1.}$$

絶対値とモジュロ演算を用いた振幅と周期を持つ三角波のより一般的な方程式は次のようになる。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-a.}$$

たとえば、振幅 5、周期 4 の三角波の場合: $${\displaystyle y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr )}-2\right|-5.}$$

項の値を変更することで位相シフトが得られ、項の値を変更することで垂直オフセットを調整できます。 ${\displaystyle -p/4}$${\displaystyle -a}$

これはモジュロ演算と絶対値のみを使用するため、ハードウェア エレクトロニクス上で三角波を簡単に実装するために使用できます。

多くのプログラミング言語では、%演算子 は剰余演算子 (結果は被除数と同じ符号) であり、モジュロ演算子((x % p) + p) % pではないことに注意してください。モジュロ演算はの代わりにを使用することで取得できますx % p。たとえば JavaScript では、これは という形式の方程式になります4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a。

三角波は方形波の積分として表すこともできます。 $${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {u}{p}}\right)\,du.}$$

周期pと振幅aの三角波は、正弦と逆正弦(値の範囲は - π /2 からπ /2) で表すことができます。 この恒等式を使用して、三角形の「正弦」波を三角形の「余弦」波に変換できます。この位相シフトされた三角波は、余弦と逆余弦でも表すことができます。 $${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$$${\displaystyle y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$

三角波の別の定義は、範囲が-1から1で周期がpの場合、次のようになる。 $${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }.}$$

基本波の奇数次高調波を加算しながら、他のすべての奇数次高調波に -1 を掛け（または、位相をπだけ変え）、高調波の振幅にモード番号 n の 2 乗分の 1 （基本波に対する相対周波数の 2 乗分の 1 に相当）を掛けることにより、加法合成で三角波を近似することができます。

上記は数学的に次のように要約できます。 ここで、Nは近似に含める高調波の数、tは独立変数 (音波の場合は時間など)、は基本周波数、iはモード番号と によって関連付けられる高調波ラベルです。 $${\displaystyle x_{\text{triangle}}(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}{\frac {(-1)^{i}}{n^{2}}}\sin(2\pi f_{0}nt),}$$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle n=2i+1}$

この無限フーリエ級数は、アニメーションに示されているように、 N が無限大に近づくにつれて、急速に三角波に収束します。

三角波の周期あたりの弧の長さはsで表され、振幅aと周期長pによって次のように表される。 $${\displaystyle s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.}$$

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• Weisstein、Eric W.「フーリエ級数 - 三角波」。MathWorld。