アレクサンダーの二重性

数学において、アレクサンダー双対性は、 1915 年にJW アレクサンダーの結果によって開始され、その後、特にパベル・アレクサンドロフとレフ・ポンチャギンによってさらに発展した双対性理論を指します。これは、ユークリッド空間、球面、またはその他の多様体における部分空間Xの補空間のホモロジー理論特性に適用されます。これは、スパニエ-ホワイトヘッド双対性によって一般化されます。

をn次元の球面のコンパクトで局所的に縮約可能な部分空間とする。を におけるの補空間とする。このとき、 が縮小ホモロジーまたは縮小コホモロジーを表し、係数が与えられたアーベル群にある場合、同型が存在する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{n}\setminus X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{nq-1}(X)}$

すべての に対して成り立ちます。局所的病理に対処するために設計されたČech コホモロジーを使用する場合、仮説の一部として局所的収縮可能性を省略できることに注意してください。 ${\displaystyle q\geq 0}$

これは、における結び目補集合とリンク補集合のコホモロジーを計算するのに便利です。結び目は埋め込みであり、リンクはボロミアン環のような結び目の非結合和集合であることを思い出してください。次に、リンク/結び目を と書くと、次のようになります。 ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle K\colon S^{1}\hookrightarrow S^{3}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{3}\setminus L)\cong {\tilde {H}}^{3-q-1}(L)}$、

コホモロジー群を計算する方法を与える。そして、マッセイ積を用いて異なるリンクを区別することが可能である。^[1] 例えば、ボロミアン環の場合、ホモロジー群は ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {H}}_{0}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{2}(L)=0\ \{\チルダ {H}}_{1}(S^{3}\setminus L)&\cong {\チルダ {H}}^{1}(L)=\mathbb {Z} ^{\oplus 3}\\{\チルダ {H}}_{2}(S^{3}\setminus L)&\cong {\チルダ {H}}^{0}(L)=\mathbb {Z} ^{ \oplus 2}\\{\チルダ {H}}_{3}(S^{3}\setminus L)&\cong 0\\\end{aligned}}}$

を頂点集合 の抽象単体複体とする。のアレクサンダー双対は、 の非面の補面となる面を持つ単体複体として定義される。つまり、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{*}=\{\sigma \ \colon \ V\setminus \sigma \not \in X\}}$。

ご了承ください。 ${\displaystyle (X^{*})^{*}=X}$

アレクサンダー双対性は、次の組合せ論的類似を意味します（任意のアーベル群の係数を持つ、縮小ホモロジーおよびコホモロジーの場合）。

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(X^{*})\cong {\tilde {H}}^{nq-3}(X)}$

すべての に対してが成り立ちます。実際、を 上の完全単体の-スケルトン（つまり、 は最大で のサイズのすべての部分集合の族）とし、その幾何学的実現がとホモトピー同値であることを示すことによって、このことが演繹できます。Björner と Tancer は、基本的な組合せ論的証明を提示し、いくつかの一般化をまとめました。^[2]${\displaystyle q\geq 0}$${\displaystyle Y\simeq S^{n-2}}$${\displaystyle (n-2)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle |X^{*}|}$${\displaystyle |Y|\setminus |X|}$

滑らかな多様体の場合、アレクサンダー双対性はアーベル群の層のヴェルディエ双対性の形式的な帰結である。より正確には、 を滑らかな多様体とし、 を包含 で表される閉部分空間（サイクルを表す部分空間や部分多様体など）とし、 が体である場合、 が -ベクトル空間の層である場合、次の同型性が得られる^{[3] : 307}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\subset X}$${\displaystyle i\colon Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Sh} _{k}(Y)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle H_{c}^{s}(Y,{\mathcal {F}})^{\vee }\cong \operatorname {Ext} _{k}^{ns}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[ns])}$、

ここで、左辺のコホモロジー群はコンパクトに支えられたコホモロジーである。この文をさらに展開すると、それが何を意味するのかをよりよく理解できる。まず、が定数層で、が滑らかな部分多様体であれば、次を得る。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\underline {k}}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{k}^{ns}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[nr])\cong H_{Y}^{ns}(X,\omega _{X})}$、

ここで、右側のコホモロジー群はに台がある局所コホモロジーです。さらに簡約することで、のホモロジーを のコホモロジーと同一視することができます。これは、代数幾何学で射影多様体のコホモロジー群を計算するのに役立ち、ヤコビ環 を使って次数の超曲面のホッジ構造の基底を構築するために活用されます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\setminus Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle d}$

Alexander の元の研究を参照すると、 X は単体複体であると仮定されます。

アレクサンダーは現代の装置をほとんど持っていなかったため、彼の結果は係数が2を法として取られたベッティ数 のみについてのものであった。何を期待するかは例からわかる。例えば、3次元球面におけるクリフォード・トーラス構成は、固体トーラスの補集合が別の固体トーラスであることを示す。これは、他方が閉じていれば開いているが、その相同性には影響しない。固体トーラスのそれぞれは、ホモトピーの観点からは円 である。ベッティ数

1、1、0、0

円周（3次元球面なので まで）を反転すると ${\displaystyle H_{3}}$

0、0、1、1

そして左に1つシフトすると

0、1、1、0

困難がある。なぜなら、当初の目的を達成できていないからである。一方、同じ手順を縮小ベッティ数に適用すると、初期ベッティ数が1ずつ減少し、

0、1、0、0

そして与える

0、0、1、0

どこから

0、1、0、0。

これはうまく機能し、補数の縮小ベッティ数を予測します。

ここでの原型はジョルダン曲線定理であり、これは位相的にはリーマン球面上の円の補集合に関するものである。これも同じことを語っている。我々は正直なベッティ数を持っている。

1、1、0

円の、したがって

0、1、1

ひっくり返して

1、1、0

左にシフトすることによって。これは、ジョーダン定理が述べていることとは異なるものを返します。ジョーダン定理とは、2つの成分があり、それぞれが収縮可能であるということです（ここで使用されているものを正確に言えば、シェーンフライの定理です）。つまり、正直なベッティ数での正しい答えは

2、0、0。

もう一度言いますが、これは縮小ベッティ数です。それでは、

0、1、0

最後に

1、0、0。

したがって、これら2つの例から、アレクサンダーの定式化が推論できる。すなわち、縮小ベッティ数は補集合において次のように関係している。 ${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}}$

${\displaystyle {\チルダ {b}}_{i}\to {\チルダ {b}}_{ni-1}}$。

• ハッチャー、アレン(2002)。代数的位相幾何学(PDF)。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。p. 254。ISBN 0-521-79540-0。
• 「アレクサンダー双対性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

• ミラー、エズラ。シュトゥルムフェルス、ベルント(2005)。組み合わせ可換代数。数学の大学院テキスト。 Vol. 227. ニューヨーク州ニューヨーク州: Springer-Verlag。 Ch. 5アレクサンダー・デュアリティ。ISBN 0-387-22356-8。