キャップ製品

代数的位相幾何学において、キャップ積は、 q ≤ pとなるように、 p次連鎖をq次共連鎖と結合して、 p − q次合成連鎖を形成する方法である。これは 1936 年にエドゥアルト・チェフによって導入され、1938 年に ハスラー・ホイットニーによって独立に導入された。

Xを位相空間、Rを係数環とする。キャップ積は特異ホモロジーとコホモロジー上の双線型写像である。

${\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{pq}(X;R).}$

特異なチェーンを特異な コチェーンと縮約して次の式で定義されます。 ${\displaystyle \sigma :\Delta \^{p}\rightarrow \X}$ ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R),}$

${\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}.}$

ここで、表記は、単体写像を基底のベクトルによって張られる面に制限することを示します。Simplex を参照してください。 ${\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}}$${\displaystyle \sigma}$

カップ積をキュネスの公式 で解釈することと同様に、キャップ積の存在を次のように説明できます。CW近似を使用して、 が CW 複合体であり、(および) がその細胞鎖 (または共鎖) の複合体である と仮定できます。次に、鎖複合体 のテンソル積 を取っている合成を考えます。は鎖複合体上の写像を誘導する 対角写像であり 、 は評価写像( を除いて常に 0 ) です。${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$${\displaystyle C^{\bullet }(X)}$$${\displaystyle C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\Delta _{*}\otimes \mathrm {Id} }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$$${\displaystyle \Delta _{*}\colon C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X\times X)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)}$$${\displaystyle \varepsilon \colon C_{p}(X)\otimes C^{q}(X)\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle p=q}$

この合成は次に商に渡されてキャップ積 を定義します。上記の合成を注意深く見ると、それが実際にマップ の形をとることがわかります。マップ は に対して常に 0 です。 ${\displaystyle \frown \colon H_{\bullet }(X)\times H^{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X)}$${\displaystyle \frown \colon H_{p}(X)\times H^{q}(X)\to H_{pq}(X)}$${\displaystyle p<q}$

内の任意の点に対して、（係数が）内のペア（M, M - {x}）のホモロジーにおける長完全列が成り立つ（相対ホモロジーを参照）。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(M-{x};R){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(M-{x};R)\to \cdots .}$

が の生成子である場合、の元は の基本クラスと呼ばれます。が閉じておりR 有向可能な場合、 の基本クラスが存在します。実際、が閉じており、連結で -有向可能な多様体である場合、写像は内のすべての に対する同型であり、したがって の任意の生成子を基本クラスとして 選択できます。${\displaystyle [M]}$${\displaystyle H_{n}(M;R)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j_{*}([M])}$${\displaystyle H_{n}(M,M-{x};R)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$${\displaystyle H_{n}(M;R)}$

（ の任意の生成元として選択できる）の基本クラスを持つ閉じた- 向き n 次元多様体の場合、キャップ積写像は すべての に対して同型です。この結果は、ポアンカレ双対性として有名です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [M]}$${\displaystyle H_{n}(M;R)}$${\displaystyle H_{n}(M;R)}$$${\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R),\alpha \mapsto [M]\frown \alpha }$$${\displaystyle k}$

上記の議論でを に置き換えると、マッピング と から始めて、構築を（部分的に）再現することができます。${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X\times Y}$$${\displaystyle C_{\bullet }(X\times Y)\otimes C^{\bullet }(Y)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(Y)\otimes C^{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$$${\displaystyle C^{\bullet }(X\times Y)\otimes C_{\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(Y)\otimes C_{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}$$

それぞれ、傾斜積 を得る： および ${\displaystyle /}$$${\displaystyle H_{p}(X\times Y;R)\otimes H^{q}(Y;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}$$$${\displaystyle H^{p}(X\times Y;R)\otimes H_{q}(Y;R)\rightarrow H^{p-q}(X;R).}$$

X = Yの場合、最初のものは対角写像によってキャップ積に関連付けられます。 ${\displaystyle \Delta _{*}(a)/\phi =a\frown \phi }$

これらの「積」は、ある意味では乗算よりも除算に似ており、そのことは表記法にも反映されています。

キャップ積の境界は次のように与えられる。

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}$

マップfが与えられると、誘導マップは次を満たします。

${\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}$

キャップとカップ製品は次のように関連しています。

${\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}$

どこ

${\displaystyle \sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X}$、 そして${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}$

が より高い次数であることが許される場合、最後の恒等式はより一般的な形を取る。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle (\sigma \frown \varphi )\frown \psi =\sigma \frown (\varphi \smile \psi )}$

これは右モジュールになります。 ${\displaystyle H_{\ast }(X;R)}$${\displaystyle H^{\ast }(X;R)}$

• カップ製品
• ポアンカレ双対性
• 特異ホモロジー
• ホモロジー理論

• Hatcher, A. , Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN  0-521-79540-0 . 単体複体と多様体のホモロジー理論、特異ホモロジーなどの詳細な議論。
• May JP (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF) . University of Chicago Press . 2022-10-09 にオリジナルからアーカイブ(PDF) . 2008-09-27に取得。セクション 2.7 では、群体のカテゴリにおける余極限としての定理のカテゴリ理論的表現を示します。
• nラボの傾斜製品
• nラボにおけるポアンカレ双対性