細胞相同性

数学において、代数位相幾何学における細胞ホモロジーは、 CW複体のカテゴリに対するホモロジー理論です。これは特異点ホモロジーと一致し、ホモロジー加群を計算する効果的な手段を提供できます。

がn骨格を持つCW複合体である場合、細胞相同性モジュールは細胞鎖複合体の相同性群H _{iとして定義される。}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,}$

ここで は空集合とみなされます。 ${\displaystyle X_{-1}}$

グループ

${\displaystyle {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})}$

は自由アーベルであり、生成元はの -セルと同一視できる。を の -セルとし、 を添付写像とする。次に、合成を考える。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},}$

ここで、最初の写像はの特性写像を介して と同一視され、オブジェクトはXの -セルであり、3 番目の写像は点に収縮する商写像（したがって球 にラップされる）であり、最後の写像はの特性写像を介してと同一視されます。 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$${\displaystyle \partial e_{n}^{\alpha}}$${\displaystyle \Phi _{n}^{\alpha }}$${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta} }}$${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$${\displaystyle X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$${\displaystyle \Phi _{n-1}^{\beta }}$${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$

境界地図

${\displaystyle \partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

は、次の式で与えられる。

${\displaystyle {\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right )e_{n-1}^{\beta },}$

ここで はの次数であり、 の和はの生成元として考えられる のすべての-セルにわたって取られます。 ${\displaystyle \deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)}$${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

次の例は、セルホモロジーを使用して行われた計算が、特異ホモロジーのみを使用して計算された計算よりも効率的である理由を示しています。

n次元球面S ^{n は、} 0 セル 1 つとnセル 1 つの 2 つのセルを持つ CW 構造を許容します。ここで、n セルはから 0 セルへの定数マッピングによって接続されます。セル連鎖群の生成元はS ⁿのkセルと同一視できるため、に対してが成り立ち、それ以外は自明です。 ${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})}$${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z} }$${\displaystyle k=0,n,}$

したがって、 に対して、結果として得られる鎖状複素数は ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,}$

しかし、すべての境界写像は自明な群への写像か自明な群からの写像なので、それらはすべてゼロでなければならない。つまり、細胞相同群は

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

のとき、境界マップがゼロであることが確認でき、これはすべての正の に対して上記の式が成り立つことを意味します。 ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \partial _{1}}$${\displaystyle n}$

細胞ホモロジーは、種数g面 のホモロジーを計算するのにも使用できます。の基本多角形は-gonで、1 つの 2 セル、1 セル、および 1 つの 0 セルを含む CW 構造になります。 2 セルは -gon の境界に沿って接続され、すべての 1 セルが 1 回ずつ前方に、1 回ずつ後方に含まれます。 これは、各 1 セルの前方方向と後方方向が打ち消されるため、接続マップがゼロであることを意味します。 同様に、各 1 セルの接続マップもゼロです。これは、 から0 セルへの定数マッピングであるためです。 したがって、結果として得られるチェーン複合体は次のようになります。 ${\displaystyle \Sigma _{g}}$${\displaystyle \Sigma _{g}}$${\displaystyle 4n}$${\displaystyle \Sigma _{g}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 4n}$${\displaystyle S^{0}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,}$

ここで、すべての境界マップはゼロである。したがって、これは種数gの表面の細胞相同性が次のように与えられることを意味する。

${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

同様に、クロスキャップを付加した種数gの表面を、0セル1個、1セルg個、2セル1個のCW複合体として構築することができる。その相同群は$${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

n トーラスは、1 つの 0 セル、n 個の 1 セル、...、および 1 つの n セルを持つ CW 複合体として構築できます。チェーン複合体はであり、すべての境界マップはゼロです。これは、 のケースを明示的に構築し、パターンを確認することで理解できます。 ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0}$$${\displaystyle n=0,1,2,3}$

したがって、。 ${\displaystyle H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}}$

に隣接次元のセルがない場合（つまり、n 個のセルがある場合、(n-1) 個のセルと (n+1) 個のセルは存在しない）、 は各 に対して、その n 個のセルによって生成される自由アーベル群です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{n}^{CW}(X)}$${\displaystyle n}$

複素射影空間は、0 セル、2 セル、...、(2n) セルを貼り合わせることで得られます。つまり、 の場合は、それ以外の場合は 0 に なります。${\displaystyle P^{n}\mathbb {C} }$${\displaystyle H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z} }$${\displaystyle k=0,2,...,2n}$

実射影空間は、 すべての に対して1 つの-セルを持つ CW 構造を許容します。これらの -セルへの接続マップは、2 重被覆マップ によって与えられます。(すべての に対して-スケルトンであることに注意してください。) この場合、すべての に対して であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle e_{k}}$${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}}$${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$${\displaystyle C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$

境界マップを計算するには

${\displaystyle \partial _{k}\colon C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to C_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),}$

地図の次数を見つけなければならない

${\displaystyle \chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.}$

ここで、、および各点 について、は の各連結成分（開半球）に 1 つずつ、2 つの点から構成されることに注意してください。したがって、写像 の次数を求めるには、これらの各開半球上の の局所次数を求めるだけで十分です。表記を簡単にするために、の連結成分をおよび で表します。すると、 と は同相写像となり、 は反対称写像となります。ここで、 上の反対称写像の次数はです。したがって、一般性を失うことなく、上のの局所次数は であり、上のの局所次数はであることがわかります。局所次数を加算すると、 ${\displaystyle \varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}}$${\displaystyle \varphi ^{-1}(\{x\})}$${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$${\displaystyle \chi _{k}}$${\displaystyle \chi _{k}}$${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$${\displaystyle \chi _{k}|_{B_{k}}}$${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}}$${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S^{k-1}}$${\displaystyle (-1)^{k}}$${\displaystyle \chi _{k}}$${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \chi _{k}}$${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$${\displaystyle (-1)^{k}}$

${\displaystyle \deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\0&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$

境界マップは次のように表されます。 ${\displaystyle \partial _{k}}$${\displaystyle \deg(\chi _{k})}$

したがって、上の CW 構造により、次の鎖複合体が生成されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,}$

ここで、は偶数、は奇数です。したがって、 の細胞相同群は次のようになります。 ${\displaystyle \partial _{n}=2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \partial _{n}=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0{\text{ and }}k=n{\text{ odd}},\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

細胞鎖複合体から、-スケルトンがすべての低次元ホモロジーモジュールを決定することがわかります。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})}$

のために。 ${\displaystyle k<n}$

この細胞的観点の重要な帰結は、CW複合体が連続する次元に細胞を持たない場合、そのホモロジーモジュールはすべて自由であるということ。例えば、複素射影空間は 各偶数次元に1つの細胞を持つ細胞構造を持ち、したがって、 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle {H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

そして

${\displaystyle {H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.}$

アティヤ・ヒルツェブルフスペクトル列は、任意の異常な（コ）ホモロジー理論に対して、CW複体の（コ）ホモロジーを計算する類似の方法です。

細胞複合体 について、 をその- 番目の骨格とし、 を- 細胞の数、すなわち自由モジュール の階数とします。のオイラー特性は次のように定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle c_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {C_{j}}(X_{j},X_{j-1})}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

オイラー特性はホモトピー不変量である。実際、のベッティ数に関して、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).}$

これは次のように正当化できます。三つ組の相対ホモロジーの長い正確なシーケンスを考えてみましょう。 ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1},\varnothing )}$

${\displaystyle \cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .}$

シーケンスを通して正確さを追求することで

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).}$

同じ計算が、、 などの３つ組にも適用されます。帰納法により、 ${\displaystyle (X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )}$${\displaystyle (X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

• アルブレヒト・ドルド：代数的位相幾何学の講義、Springer ISBN  3-540-58660-1。
• Allen Hatcher : Algebraic Topology、Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1。無料の電子版は著者のホームページから入手できます。