正式なグループ法

数学において、形式群法則とは（大まかに言えば）リー群の積で​​あるかのように振舞う形式的な冪級数である。形式群はS.ボクナー（1946）によって導入された。形式群 という用語は、形式群法則と同じ意味になることもあれば、いくつかの一般化の1つを意味することもある。形式群は、リー群（または代数群）とリー代数の中間である。形式群は代数的整数論と代数的位相幾何学で用いられる。

可換環R上の1次元形式群法則は、 Rに係数を持つ冪級数F ( x , y ) であり、

1. F ( x , y ) = x + y + 高次の項
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z ) (結合性)。

最も単純な例は、加法的な形式群法則 F ( x , y ) = x + yです。定義の考え方は、F がリー群の積の形式的な冪級数展開のようなもので、リー群の恒等式が原点となるように座標を選択するというものです。

より一般的には、n次元形式群法則は、2 n 個の変数を持つn次級数 F _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ , y ₂ , ..., y _n )の集合であり、

1. F ( x , y ) = x + y + 高次の項
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z )

ここで、 ( F ₁ , ..., F _n ) の場合はF を、( x ₁ , ..., x _n ) の場合はx を、というように 書きます。

形式群法則は、F ( x , y ) = F ( y , x )のとき可換であると呼ばれる。Rがねじれなしであれば、R を Q 代数に埋め込み、指数関数と対数関数を使用して任意の 1 次元形式群法則FをF ( x , y ) = exp(log( x ) + log( y ))と書くことができるので、 Fは必ず可換である。^[1]より一般的には、次の式が成り立つ。

定理。R上のすべての1次元形式群法則は、Rが非ゼロの捩れ冪零元（つまり、捩れ冪零元でもある非ゼロ元）を持たない場合に限り、可換である。 ^[2]

群の逆元の存在に類似した公理は必要ありません。これは、形式的な群法則の定義から自動的に導かれるからです。言い換えれば、 F ( x , G ( x )) = 0となる(一意の) べき級数G を常に見つけることができます。

m次元 の形式群法則Fからn次元の形式群法則Gへの準同型は、 m変数のnべき級数の集合fであり、

G ( f ( x ), f ( y )) = f ( F ( x , y ))です。

逆写像を持つ準同型写像は同型写像と呼ばれ、さらにf ( x ) = x + の高次項が成り立つ場合は厳密な同型写像と呼ばれます。同型写像を持つ 2 つの形式群法則は本質的に同じであり、"座標の変更" のみが異なります。

• 加法的形式群法則は次のように与えられる。

${\displaystyle F(x,y)=x+y.\}$

• 乗法形式群法則は次のように与えられる。

${\displaystyle F(x,y)=x+y+xy.\ }$

この規則は次のように理解できます。環R (の乗法群) の積Gは、 G ( a , b ) = abで与えられます。 a = 1 +  x、b = 1 +  y、G = 1 +  Fとして「座標を変更」し、 0 を恒等式にすると、F ( x , y ) = x  +  y  +  xyであることがわかります。

有理数上では、加法形式群の法則から乗法形式群の法則への同型性があり、exp( x )−1で与えられます。一般の可換環R上では、定義に非整数有理数を必要とするような準同型性はなく、加法形式群と乗法形式群は通常同型ではありません。

• より一般的には、単位元における座標を取り、積写像の形式的な冪級数展開を書き下すことによって、 n次元の任意の代数群またはリー群からn次元の形式的な群法則を構築することができます。加法および乗法の形式的な群法則は、このようにして加法および乗法の代数群から得られます。これの別の重要な特殊なケースは、楕円曲線（またはアーベル多様体）の形式的な群（法則）です。
• F ( x , y ) = ( x + y )/(1 + xy ) は、双曲正接関数の加法公式tanh( x  +  y ) = F (tanh( x ), tanh( y )) から導かれる正式な群法則であり、特殊相対性理論における速度の加法公式でもあります(光速は1 に等しい)。
• ${\textstyle F(x,y)=\left.\left(x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}\right)\right/\!(1+x^{2}y^{2})}$は、楕円積分（ストリックランド）の加法公式の形でオイラーによって発見されたZ [1/2]上の正式な群法則である。

${\displaystyle \int _{0}^{x}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}+\int _{0}^{y}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{0}^{F(x,y)}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

任意のn次元形式群法則は、形式群法則の 二次部分F ₂によって定義される、環R上のn次元リー代数を与えます。

[ x , y ] = F ₂ ( x , y ) − F ₂ ( y , x )

リー群または代数群からリー代数への自然関数は、リー群から形式群法則への関数に因数分解することができ、その後、形式群のリー代数を取ることができます。

リー群 → 形式群法則 → リー代数

特性が0 の体上では、形式群法則は本質的に有限次元リー代数と同じである。より正確には、有限次元形式群法則から有限次元リー代数への関数は、カテゴリの同値である。^[3]特性が 0 でない体上では、形式群法則はリー代数と同値ではない。実際、この場合、代数群からそのリー代数に移行すると情報が多すぎることが多く、代わりに形式群法則に移行すると十分な情報が保持されることがよく知られている。したがって、ある意味では、形式群法則は特性p  > 0 のリー代数の「正しい」代替物である。

もしF が可換Q代数R上の可換n次元形式群法則ならば、それは加法形式群法則と厳密に同型である。^[4]言い換えれば、加法形式群からFへの厳密同型fが存在し、これは Fの対数と呼ばれ、

f ( F ( x , y )) = f ( x ) + f ( y ) です。

例:

• F ( x , y ) = x  +  yの対数はf ( x ) = xです。
• F ( x , y ) = x  +  y  +  xyの対数はf ( x ) = log(1 +  x )です。これは、log(1 +  x  +  y  +  xy ) = log(1 +  x ) + log(1 +  y ) であるためです。

R が有理数を含まない場合、スカラーをR ⊗ Qに拡張することで写像fを構築できます が、 R が正の特性を持つ場合、これによってすべてがゼロになります。環R上の形式群法則は、多くの場合、その対数をR ⊗ Qの係数を持つべき級数として書き下し、次にR ⊗ Q上の対応する形式群の係数が実際にRにあることを証明することで構築されます。正の特性で作業する場合、通常、R を、ウィットベクトルの環W ( R )など、 Rへの全射を持ち、最後に Rに簡約される混合特性環に置き換えます。

Fが 1 次元の場合、その対数を不変微分ω(t)で表すことができます。 ^{[5] を}dtという記号上の階数 1 の自由 - 加群とします。すると、 ω はという意味で変換不変であり、と書くと、定義により となります。次に展開 を考えると、式はFの対数を定義します。 $${\displaystyle \omega (t)={\frac {\partial F}{\partial x}}(0,t)^{-1}dt\in R[[t]]dt,}$$${\textstyle R[[t]]dt}$${\textstyle R[[t]]}$ $${\displaystyle F^{*}\omega =\omega ,}$$${\textstyle \omega (t)=p(t)dt}$$${\displaystyle F^{*}\omega :=p(F(t,s)){\frac {\partial F}{\partial x}}(t,s)dt.}$$${\textstyle \omega (t)=(1+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots )dt}$$${\displaystyle f(t)=\int \omega (t)=t+{\frac {c_{1}}{2}}t^{2}+{\frac {c_{2}}{3}}t^{3}+\dots }$$

形式群法則の形式群環は、群の群環やリー代数の普遍包絡代数に類似した、可換ホップ代数です。どちらも可換ホップ代数です。一般に、可換ホップ代数は群と非常によく似た動作をします。

簡単にするために、1 次元の場合について説明します。高次元の場合も同様ですが、表記がより複雑になります。

F がR上の（1次元）形式群法則であるとします。その形式群環（超代数または共変双代数とも呼ばれる）は、次のように構成される 可換ホップ代数Hです。

• R加群として、H は基底 1 = D ⁽⁰⁾、D ⁽¹⁾、D ⁽²⁾、...で自由になります。
• 余積 Δ は、 Δ D ^{( n )} = Σ D ^{( i )}  ⊗  D ^{( n − i )}で与えられます(したがって、この余代数の双対は、形式的な冪級数の環にすぎません)。
• 係数ηはD ⁽⁰⁾の係数によって与えられる。
• 恒等式は1 = D ⁽⁰⁾である。
• 対掌体SはD ( ^{n )を}(−1) ^nD ( ^{n )}にします^。
• 積D ^{( i )} D ^{( j )における}D ⁽¹⁾の係数はF ( x , y ⁾におけるxiyj^の係数である。

逆に、コ代数構造が上記で与えられたホップ代数が与えられた場合、そこから形式群法則F を復元できます。したがって、1 次元形式群法則は、コ代数構造が上記で与えられたホップ代数と本質的に同じです。

R上のn次元形式群法則Fと可換R代数Sが与えられると、基底集合がN ⁿである群F ( S ) を形成できます。ここで、N はSのべき零元の集合です。積は、F を使用してN ⁿの要素を乗算することで得られます。ポイントは、すべての形式冪級数が、べき零元に適用されているため収束し、非ゼロ項は有限個しかないということです。これにより、F は可換R代数Sから群への 関数になります。

F ( S )の定義をいくつかの位相R代数に拡張することができます。特に、S が離散R代数の逆極限である場合、 F ( S ) を対応するグループの逆極限として定義できます。たとえば、これによりp進数の値を持つF ( Z _p ) を定義できます。

Fの群値関数は、Fの形式群環H を使って記述することもできます。簡単のため、F は1 次元であると仮定します。一般的な場合も同様です。任意の可換ホップ代数に対して、Δ g = g ⊗ gかつ ε g = 1 であり、群のような元が乗法の下で群を形成する場合、元g は群のような元と呼ばれます。環上の形式群法則のホップ代数の場合、群のような元はまさに次の形式の元です。

D ⁽⁰⁾  +  D ⁽¹⁾ x  +  D ⁽²⁾ x ²  + ...

べき零元xに対して。特に、H ⊗ Sの群状元をSのべき零元と同一視することができ、 H ⊗ Sの群状元上の群構造はF ( S )上の群構造と同一視される。

f が特性p  > 0 の体上の 1 次元形式群法則間の準同型であると仮定します。この場合、 f はゼロであるか、またはその冪級数展開の最初の非ゼロ項が非負整数h （準同型fの高さと呼ばれる）になります。ゼロ準同型の高さは ∞ と定義されます。 ${\displaystyle ax^{p^{h}}}$

特性p > 0の体上の 1 次元形式群法則の高さは、 p マップによる乗算 の高さとして定義されます。

特性p > 0 の代数的に閉じた体上の 2 つの 1 次元形式群法則は、高さが同じである場合に限り 同型であり、高さは任意の正の整数または ∞ になります。

例:

• 加法形式群法則F ( x , y ) = x  +  yは、 p乗写像が 0 であるため、高さが ∞ になります。
• 乗法形式群法則F ( x , y ) = x  +  y  +  xyは、そのp乗写像が (1 +  x ) ^p  − 1 = x ^pであるため、高さは 1 です。
• 楕円曲線の形式群法則は、曲線が通常の場合は高さ 1 で、曲線が超特異の場合は高さ 2 です。超特異性は、アイゼンシュタイン級数が消えることで検出できます。${\displaystyle E_{p-1}}$

次のように定義される普遍可換環上の普遍可換1次元形式群則が存在する。

F ( x , y )

なれ

x + y + Σ c _{i , j} x ⁱ y ^j

不確定要素の場合

c _i、j、

そして、普遍環R を、形式群法則の結合法則と可換法則によって強制される関係を持つ、要素c _i、jによって生成される可換環として定義します。多かれ少なかれ定義により、環R は次の普遍特性を持ちます。

任意の可換環Sに対して、 S上の 1 次元形式群法則はRからSへの 環準同型に対応する。

上記で構築された可換環R は、ラザードの普遍環として知られています。一見すると、それは信じられないほど複雑に見えます。その生成元間の関係が非常に厄介です。しかし、ラザードは、それが非常に単純な構造であることを証明しました。それは、次数 2、4、6、... の生成元上の多項式環(整数上) にすぎません (ただし、 c _{i、j は}次数 2( i  +  j  − 1) です)。ダニエル・キレンは、複素コボルディズムの係数環が、ラザードの普遍環の次数付き環として自然に同型であることを証明し、珍しい次数を説明しました。

形式グループとは、形式スキームのカテゴリ内のグループ オブジェクトです。

• がアルティン代数から群への関数で、左正確である場合、それは表現可能です ( Gは形式群の点の関数です。 (関数の左正確性は有限射影極限と可換であることに相当します)。)${\displaystyle G}$
• が群スキームである場合、恒等式におけるGの形式的完備化は形式群の構造を持ちます。${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$
• 滑らかな群スキームの形式的完備化は と同型である。逆が成り立つ場合、形式的群スキームを滑らかと呼ぶ人もいれば、この形式の局所的なオブジェクトに対して「形式的群」という用語を使用する人もいる。^[6]${\displaystyle \mathrm {Spf} (R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]])}$
• 形式的な滑らかさは、変形のリフトの存在を主張し、点よりも大きい形式的なスキームに適用できます。滑らかな形式的なグループ スキームは、形式的なグループ スキームの特殊なケースです。
• 滑らかな形式群が与えられた場合、均一化セクションの集合を選択することによって、形式群法則と体を構築できます。
• パラメータの変化によって誘導される形式群の法則間の（非厳密な）同型性は、形式群上の座標変化の群の要素を構成します。

形式群と形式群法則は、可換環や可換体だけでなく任意のスキーム上でも定義することができ、族は基底からパラメータ化オブジェクトへの写像によって分類することができます。

形式群法則のモジュライ空間は、その成分が次元によってパラメータ化され、点が冪級数Fの許容係数によってパラメータ化された、無限次元アフィン空間の互いに素な和集合である。滑らかな形式群の対応するモジュライスタックは、座標変換の 無限次元群の標準作用によるこの空間の商である。

代数的に閉じた体上では、1 次元形式群のサブスタックは、点 (特性 0 の場合) か、高さをパラメータ化するスタック点の無限連鎖のいずれかです。特性 0 では、各点の閉包には、それより大きい高さの点がすべて含まれます。この違いにより、形式群は、スティーンロッド代数、p分解可能群、ディウドネ理論、ガロア表現との関連で、正特性と混合特性において豊富な幾何学理論を持つことになります。たとえば、セール・テイトの定理は、特に超特異アーベル多様体の場合、群スキームの変形がその形式群の変形によって強く制御されることを意味します。超特異楕円曲線の場合、この制御は完全であり、これは、形式群に変形がない特性 0 の状況とはまったく異なります。

形式群は、可換ホップ代数として定義されることもあります（通常は、尖っている、連結しているなどの追加の条件が加えられます）。^[7] これは、上記の概念とほぼ双対です。滑らかなケースでは、座標を選択することは、形式群環の区別された基底を取ることと同じです。

一部の著者は、形式グループという用語を形式グループ法則の意味で使用しています。

Z _{p を}p進整数の環とする。ルビン・テイト形式群法則は、 e ( x ) = px  +  x ^pがFの自己準同型となる唯一の（1次元）形式群法則Fである。言い換えると、

${\displaystyle e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\ }$

より一般的には、 e ( x ) = px  + 高次項かつe ( x ) = x ^p  mod  pとなるような任意の冪級数をeとして許容することができる。これらの条件を満たすeの異なる選択に対するすべての群法則は厳密に同型である。^[8]

Z _pの各元aに対して、 f ( x ) = ax + 高次項となるような Lubin–Tate 形式群法則の一意の自己準同型fが存在する。これにより、Lubin–Tate 形式群法則に対する環Z _p の作用が得られる 。

Z _pを有限剰余類体を持つ任意の完全離散評価環に置き換えた同様の構成もある。^[9]

この構成は、Lubin & Tate (1965) によって導入され、楕円関数の複素乗算の古典理論の局所体部分を分離する試みとして成功しました。また、局所類体理論へのいくつかのアプローチの主要な要素であり^{[10] 、}彩色ホモトピー理論におけるモラヴァ E 理論の構築に不可欠な要素でもあります^[11]。

• ウィットベクトル
• アルティン・ハッセ指数
• グループ関数
• 加法定理

• アダムス、J.フランク（1974）、安定ホモトピーと一般化ホモロジー、シカゴ大学出版局、ISBN 978-0-226-00524-9
• ボクナー、サロモン(1946)、「形式リー群」、数学年報、第 2 シリーズ、47 (2): 192–201、doi :10.2307/1969242、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969242、MR  0015397
• デマズール、ミシェル(1972)、「p-分割群に関する講義」、数学講義ノート、第302巻、doi : 10.1007/BFb0060741、ISBN 0-387-06092-8
• Fröhlich, A. (1968)、「形式群」、数学講義ノート、第74巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/BFb0074373、ISBN 978-3-540-04244-0、MR  0242837
• P. ガブリエル、グル​​ープ内のスキーマの無限大練習SGA 3 Exp. VIIB
• 形式群とその応用(純粋および応用数学 78)ミヒール・ハゼウィンケル出版社: Academic Pr (1978 年 6 月) ISBN 0-12-335150-2 
• ラザード、ミシェル (1975)、「可換形式群」、数学講義ノート、第443巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、doi：10.1007/BFb0070554、ISBN 978-3-540-07145-7、MR  0393050
• ルビン、ジョナサン、テイト、ジョン(1965)、「局所体における形式的複素乗算」、数学年報、第 2 シリーズ、81 (2): 380–387、doi :10.2307/1970622、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970622、MR  0172878、Zbl  0128.26501
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• ストリックランド、N.「形式グループ」(PDF)。