量子コホモロジー

数学、特にシンプレクティック位相幾何学と代数幾何学において、量子コホモロジー環は、閉じたシンプレクティック多様体の通常のコホモロジー環の拡張である。これは、小さいバージョンと大きいバージョンの 2 つがあり、一般に後者の方が前者よりも複雑で、より多くの情報を含んでいる。それぞれにおいて、係数環 (通常は後述するノビコフ環)の選択によっても構造が大きく左右される。

通常のコホモロジーのカップ積は、多様体のサブ多様体がどのように交差するかを記述しますが、量子コホモロジーの量子カップ積は、サブスペースが「あいまいな」、「量子的な」方法でどのように交差するかを記述します。より正確には、それらは、1 つ以上の擬似正則曲線を介して接続されている場合、交差します。これらの曲線を数えるグロモフ-ウィッテン不変量は、量子カップ積の展開の係数として現れます。

量子コホモロジーはグロモフ・ウィッテン不変量の構造やパターンを表現するため、列挙幾何学に重要な意味を持ちます。また、数理物理学やミラー対称性の多くのアイデアにも関連しています。特に、シンプレクティック・フレアー・ホモロジーと環同型です。

この記事全体を通して、X はシンプレクティック形式 ω を持つ閉じたシンプレクティック多様体です。

Xの量子コホモロジーの係数環にはさまざまな選択肢があります。通常は、 Xの2番目のホモロジーに関する情報をエンコードする環が選択されます。これにより、以下で定義される量子カップ積が、 Xの擬正則曲線に関する情報を記録できるようになります。たとえば、

${\displaystyle H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }$

をその捩れを法とする第2ホモロジーとする。Rを任意の単位付き可換環とし、Λを形式 冪級数の環とする。

${\displaystyle \lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},}$

どこ

• 係数はRから得られ、${\displaystyle \lambda_{A}}$
• は関係に従う形式変数であり、${\displaystyle e^{A}}$${\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}}$
• 任意の実数Cに対して、ω( A ) がC以下となるA は有限個しか存在せず、係数はゼロではありません。${\displaystyle \lambda_{A}}$

変数は次数 であると考えられ、ここで は接バンドルTXの最初のチャーン類であり、 ω と互換性のある任意の概複素構造を選択することで複素ベクトルバンドルと見なされます。したがって、Λ は次数付きリングであり、 ω のノビコフ環と呼ばれます。(代替定義が一般的です。) ${\displaystyle e^{A}}$${\displaystyle 2c_{1}(A)}$${\displaystyle c_{1}}$

させて

${\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }$

をXの捩れを法とするコホモロジーとする。Λに係数を持つ小さな量子コホモロジーを次のように 定義する。

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .}$

その要素は、次の形式の有限和である。

${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}.}$

小さな量子コホモロジーは、次数付きR -加群で あり、

${\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).}$

通常のコホモロジーH *( X )はを介してQH *( X , Λ)に埋め込まれ、QH *( X , Λ)はH *( X )によってΛ-加群として生成される。 ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$

純次数のH *( X )の任意の2つのコホモロジー類a , bと、およびA の任意のA に対して、( a ∗ b ) _{A を}H *( X ) の唯一の元として定義し、${\displaystyle H_{2}(X)}$

${\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}$

（右辺は種数0、3点グロモフ・ウィッテン不変量である。）次に定義する。

${\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.}$

これは線形性によって、明確に定義されたΛ双線形写像に拡張される。

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )}$

小さな量子カップ製品と呼ばれます。

クラスA = 0の擬正則曲線は定数写像のみであり、その像は点である。従って、

${\displaystyle GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;}$

言い換えると、

${\displaystyle (a*b)_{0}=a\smile b.}$

したがって、量子カップ積は通常のカップ積を含み、通常のカップ積を非ゼロクラスAに拡張します。

一般に、( a ∗ b ) _Aのポアンカレ双対は、 aとbのポアンカレ双対を通過するクラスAの擬正則曲線の空間に対応します。したがって、通常のコホモロジーでは、aとb は1 つ以上の点で出会う場合にのみ交差すると見なしますが、量子コホモロジーでは、aとb が1 つ以上の擬正則曲線で接続されている場合は常に、非ゼロの交差を記録します。ノビコフ環は、すべてのクラスAのこの交差情報を記録するのに十分な大きさの簿記システムを提供します。

X を標準シンプレクティック形式（フビニ・スタディ計量に対応）と複素構造を持つ複素射影平面とする。 を直線Lのポアンカレ双対とする。すると ${\displaystyle \ell \in H^{2}(X)}$

${\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}$

唯一の非ゼロのグロモフ・ウィッテン不変量は、クラスA = 0またはA = Lのものである。

${\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)}$

そして

${\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),}$

ここでδはクロネッカーのデルタである。したがって、

${\displaystyle \ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},}$

${\displaystyle \ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.}$

この場合、 をqと改名し、より単純な係数環Z [ q ] を使用すると便利です。このq は次数 です。すると、 ${\displaystyle e^{L}}$${\displaystyle 6=2c_{1}(L)}$

${\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}$

純次数の a、bに対して、

${\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)}$

そして

${\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.}$

小さな量子カップ積は分配的かつ Λ-双線形です。単位元は 小さな量子コホモロジーの単位元でもあります。 ${\displaystyle 1\in H^{0}(X)}$

小さな量子カップ積も結合的です。これは、グロモフ-ウィッテン不変量の接着法則の結果であり、技術的に難しい結果です。これは、グロモフ-ウィッテンポテンシャル（種数 0 のグロモフ-ウィッテン不変量の生成関数）が WDVV 方程式として知られる 特定の 3 次微分方程式を満たすという事実に等しいです。

交差点のペアリング

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R}$

定義される

${\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.}$

（下付き文字の0はA = 0係数を示す。）この組み合わせは結合性を満たす。

${\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .}$

基本環RがCのとき、ベクトル空間QH *( X , Λ) の均等に次数付けされた部分H を複素多様体として見ることができます。小さな量子カップ積は、 H上の明確に定義された可換積に制限されます。軽い仮定の下では、交差ペアリングを持つH はフロベニウス代数になります。 ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

量子カップ積は、接線バンドルTH上の接続、いわゆるドゥブロヴィン接続として見ることができます。量子カップ積の可換性と結合性は、この接続上の ゼロねじれ条件とゼロ曲率条件に対応します。

0 ∈ Hの近傍Uが存在し、ドゥブロヴィン接続によりU はフロベニウス多様体の構造となる。U内の任意のa は量子カップ積を定義する 。${\displaystyle \langle ,\rangle }$

${\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H}$

式によって

${\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}$

H上のこれらの積はまとめて大きな量子コホモロジーと呼ばれます。種数 0 のグロモフ-ウィッテン不変量はすべてこのコホモロジーから回復できますが、一般に、より単純な小さな量子コホモロジーでは同じことが当てはまりません。

小さな量子コホモロジーは 3 点グロモフ・ウィッテン不変量の情報しか持ちませんが、大きな量子コホモロジーはすべての (n ≥ 4) n 点グロモフ・ウィッテン不変量の情報を持ちます。いくつかの多様体について列挙的な幾何学情報を取得するには、大きな量子コホモロジーを使用する必要があります。小さな量子コホモロジーは物理学の 3 点相関関数に対応しますが、大きな量子コホモロジーはすべての n 点相関関数に対応します。

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