Tor 関数

数学において、Tor 関手は、環上の加群のテンソル積の導来関手です。 Ext 関手とともに、 Tor はホモロジー代数の中心概念の 1 つであり、ホモロジー代数では、代数的位相幾何学の考え方を使用して代数構造の不変量を構築します。群のホモロジー、リー代数、結合代数はすべて Tor によって定義できます。 この名前は、最初の Tor 群 Tor ₁とアーベル群の捩れ部分群との関係に由来しています。

アーベル群の特殊なケースでは、Tor はエドゥアルト・チェフ(1935) によって導入され、1950 年頃にサミュエル・アイレンベルグによって命名されました。 ^[1]これは、位相幾何学におけるキュネス定理と普遍係数定理に初めて適用されました。任意の環上の加群については、Tor はアンリ・カルタンとアイレンベルグによって 1956 年の著書Homological Algebraで定義されました。^[2]

R を環とする。左R加群のカテゴリをR -Mod 、右R加群のカテゴリをMod- Rと書く。( Rが可換の場合、2 つのカテゴリは同一視できる。) 固定された左R加群Bに対して、Mod- RのAに対してとする。これはMod- Rからアーベル群のカテゴリAbへの右完全関数であり、したがって左導来関数を持つ。Tor 群は整数i に対してによって定義されるアーベル群である 。定義により、これは次のことを意味する: 任意の射影分解を取り 、A を削除して、鎖複体を形成する: ${\displaystyle T(A)=A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle L_{i}T}$$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),}$$ $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$$$${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$$

各整数iに対して、群は位置iにおけるこの複体のホモロジーです。i が負の場合、群は 0 になります。さらに、は写像 の余核であり、と同型です。 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

あるいは、Aを固定し、右完全関数G ( B ) = A ⊗ _R Bの左導来関数をとることによってTorを定義することもできる。つまり、テンソルAはBの射影分解を持ち、ホモロジーを取る。CartanとEilenbergは、これらの構成は射影分解の選択とは独立であり、両方の構成は同じTor群を生成することを示した。^[3]さらに、固定された環Rに対して、Torは各変数（ R-加群からアーベル群まで） の関数である。

可換環RとR加群AとBに対して、 Tor^R
_i( A , B ) はR加群である（この場合、 A ⊗ _R B はR加群であることを用いる）。非可換環Rに対して、 Tor^R
_i( A , B ) は一般にアーベル群に過ぎない。Rが環 S上の代数である場合(特にSが可換であることを意味する)、Tor^R
_i( A、B ) は少なくともS加群である。

Torグループの基本的な特性と計算のいくつかを以下に示します。^[4]

• トル⁰
  _...任意の右R加群Aと左R加群Bに対して、( A , B ) ≅ A ⊗ _R Bとなります。
• トル^R
  _i( A , B ) = 0 は、i > 0のすべてにおいて、 AまたはB のいずれかがR加群として平坦（たとえば自由）である場合に成立する。実際、AまたはBのいずれかの平坦な解決を使用して Tor を計算することができ、これは射影的（または自由）解決よりも一般的である。^[5]
• 前の文の逆もあります:
  • トルの場合¹
    _位( A , B ) = 0 がすべてのBに対して成立する場合、Aは平坦である（したがって Tor^R
    _i( A、B ) = 0（すべてのi > 0 について）
  • トルの場合¹
    _位( A , B ) = 0 がすべてのAに対して成立する場合、Bは平坦である（したがって Tor^R
    _i( A、B ) = 0（すべてのi > 0 について）
• 導来関手の一般的な性質により、右R加群のすべての短完全列0 → K → L → M → 0は、任意の左R加群Bに対して形式^[6]の長完全列を誘導する。同様の完全列は、2番目の変数に関してTorにも当てはまる。 $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$$
• 対称性: 可換環Rに対して、自然同型Tor が存在する。^R
  _i( A , B ) ≅ トル^R
  _i( B , A )。^[7] ( R可換性の場合、左R加群と右R加群を区別する必要はない。)
• Rが可換環で、Rのu が零因子でない場合、任意のR加群Bに対して、はBのu捩れ部分群です。これが Tor という名前の由来です。R を整数環とすると、この計算は任意の有限生成アーベル群Aを計算するために使用できます。$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$
• 前の例を一般化すると、Koszul複体を使用して、可換環を任意の正規列で割った商を含むTor群を計算できます。^[8]たとえば、Rが体k上の多項式環k [ x ₁ , ..., x _n ]である場合、はTor _1内のn個の生成元上のk上の外積代数です。 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$すべてのi ≥ 2に対して。理由:自由アーベル群のすべての部分群は自由アーベルであるため、すべてのアーベル群 Aは長さ 1 の自由分解を持つ。
• 前の例を一般化すると、$R$ が主イデアル領域(PID) である場合、すべてのi ≥ 2 についてです。理由: PID 上のすべてのモジュールAには長さ 1 の自由解像度があります。これは、 PID 上の自由モジュールのすべてのサブモジュールが自由であるためです。${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$
• 任意の環Rに対して、 Tor は各変数の直和（無限大の可能性もある）とフィルターされた余極限を保存する。^[9]例えば、最初の変数では、これは$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$$
• 平坦基底変換：可換平坦R代数T、R加群AとB、整数iに対して、^{[10] Torは} 局所化と可換である。つまり、R内の乗法的に閉じた集合Sに対して、$${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$$ $${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$$
• 可換環Rと可換R代数AおよびBに対して、 Tor^R
  _*( A , B )はR上の次数可換代数の構造を持つ。さらに、Tor代数の奇数次元は平方零を持ち、正の偶数次元にはべき乗除算が存在する。 ^[11]

• 群ホモロジーは、Gが群、Mが整数上のGの表現、 がGの群環であることによって定義されます。${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
• 体k上の代数 AとA双加群Mに対して、ホックシルトホモロジーは次のように定義される。 $${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$$
• リー代数ホモロジー はによって定義されます。ここで は可換環R上のリー代数、Mは- 加群、 は普遍包絡代数です。${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$
• 体kへの準同型を持つ可換環Rに対して、はk上の次数可換ホップ代数である。^[12]（R が剰余体kを持つノイザン局所環である場合、 への双対ホップ代数はExt${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$^*
  _り( k , k ) ) は、代数として、次数付きベクトル空間 π _* ( R )上の自由次数付き可換冪べき代数である。^[13] k が特性0 を持つとき、π _* ( R ) はアンドレ・キランホモロジーD _* ( k / R , k )と同一視できる。^[14]${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$

• 平坦射影
• セールの交差公式
• 導出テンソル積
• アイレンバーグ・ムーアスペクトル列

• Avramov, Luchezar ; Halperin, Stephen (1986)、「鏡を通して: 有理ホモトピー理論と局所代数の辞書」、J.-E. Roos (編)、代数、代数的位相幾何学、およびそれらの相互作用 (ストックホルム、1983)、数学講義ノート、第 1183 巻、Springer Nature、pp. 1–27、doi :10.1007/BFb0075446、ISBN 978-3-540-16453-1、MR  0846435
• カルタン、アンリ;アイレンバーグ、サミュエル(1999) [1956]、ホモロジー代数、プリンストン：プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-04991-2、MR  0077480
• Eduard Čech (1935)、「Les groupes de Betti d'un complexe infini」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、25 : 33–44、doi : 10.4064/fm-25-1-33-44、JFM  61.0609.02
• Gulliksen, Tor; Levin, Gerson (1969)、「局所環のホモロジー」、Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics、第 20 巻、Queen's University、MR  0262227
• クイレン、ダニエル(1970)、「可換環の (コ) ホモロジーについて」、カテゴリカル代数の応用、Proc. Symp. Pure Mat.、vol. 17、アメリカ数学会、pp. 65–87、MR  0257068
• Sjödin, Gunnar (1980)、「ホップ代数と導出」、Journal of Algebra、64 : 218–229、doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X、MR  0575792
• ワイベル、チャールズ A. (1994)。ホモロジー代数入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 38 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.
• ワイベル、チャールズ(1999)、「ホモロジー代数の歴史」、位相幾何学の歴史(PDF)、アムステルダム: 北ホラント、pp. 797–836、MR  1721123

• スタックス プロジェクト 著者、スタックス プロジェクト