ハイパーホモロジー

ホモロジー代数において、ハイパーホモロジーまたはハイパーコホモロジー( ) は、(コ)ホモロジー関数の一般化であり、アーベル圏の対象ではなく、対象の連鎖複体、つまりの対象を入力として取ります。ハイパーコホモロジーは導来大域セクション関数に対応するため、これは、対象の導来関数コホモロジーと連鎖複体のホモロジーの間の一種のクロスです。 $\mathbb {H} _{*}(-),\mathbb {H} ^{*}(-)$ ${\mathcal {A}}$ ${\text{Ch}}({\mathcal {A}})$ $\mathbf {R} ^{*}\ガンマ (-)$

ハイパーホモロジーはもはやあまり使われていません。1970 年頃から、導来カテゴリ間の導来関手というほぼ同等の概念に大きく置き換えられました。

モチベーション

ハイパーコホモロジーの動機の1つは、コホモロジー長完全列を短完全列に関連付ける明らかな一般化がないという事実から来ている。

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

つまり、関連する長い正確なシーケンスが存在する

$0\to H^{0}(M')\to H^{0}(M)\to H^{0}(M'')\to H^{1}(M')\to \cdots$

ハイパーコホモロジーは、任意の長完全列から同様のコホモロジー関連長完全列を構築する技術を与えることが判明した。

$0\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots \to M_{k}\to 0$

なぜなら、その入力はアーベル圏からの対象ではなく、連鎖複体によって与えられるからである。この連鎖複体を、（導来圏上の三角形化圏の言語を使用して）区別された三角形に変換することができる。

$M_{1}\to [M_{2}\to \cdots \to M_{k-1}]\to M_{k}[-k+3]\xrightarrow {+1}$

これを次のように表す。

${\mathcal {M}}'_{\bullet }\to {\mathcal {M}}_{\bullet }\to {\mathcal {M}}''_{\bullet }\xrightarrow {+1}$

次に、導来された大域セクションを取ると、ハイパーコホモロジー群の長完全列である長完全列が得られます。 $\mathbf {R} ^{*}\ガンマ (-)$

意味

ここでは、より一般的なハイパーコホモロジーの定義を示します。通常どおり、ハイパーコホモロジーとハイパーホモロジーは本質的に同じです。つまり、すべての矢印の方向を変更したり、入射オブジェクトを射影オブジェクトに置き換えたりすることで、一方から他方に変換します。

A が十分な数の単射を持つアーベル圏であり、F が別のアーベル圏Bへの左完全関数であるとする。C がAの左有界な対象の複体である場合、ハイパーコホモロジー

Ｈⁱ ( C )

C (整数iの場合)は次のように計算されます。

準同型 Φ : C → Iをとります。ここでI はAの入射的な元の複体です。
CのハイパーコホモロジーH ⁱ ( C )は複体F ( I )のコホモロジー H ⁱ ( F ( I ))である。

Cのハイパーコホモロジーは、一意の同型を除いて、準同型の選択に依存しません。

ハイパーコホモロジーは導来カテゴリを使用して定義することもできます。 Cのハイパーコホモロジーは、Bの導来カテゴリの要素として考えられたRF ( C )のコホモロジーです。

負の指数に対してゼロになる複体の場合、ハイパーコホモロジーはH ⁰ = FH ⁰ = H ⁰Fの導来関手として定義できます。

ハイパーコホモロジースペクトル列

ハイパーコホモロジースペクトル列は2つあり、1つは E ₂項を持つ。

R^{i}F(H^{j}(C))

そしてもう1つは E ₁項

R^{j}F(C^{i})

およびE ₂項

H^{i}(R^{j}F(C))

どちらもハイパーコホモロジーに収束する

H^{i+j}(RF(C))

、

ここで、R ^j F はFの右導出関数です。

アプリケーション

ハイパーコホモロジースペクトル列の応用の 1 つは、ゲルブの研究です。空間上の階数 n のベクトル束は、チェフコホモロジー群として分類できることを思い出してください。ゲルブの背後にある主なアイデアは、このアイデアをコホモロジー的に拡張することです。そのため、何らかの関数をとる代わりに、コホモロジー群を考慮します。これにより、元の分類群のオブジェクトによって接着されているオブジェクトが分類されます。ゲルブとハイパーコホモロジーを研究する密接に関連した主題は、ドリーニュコホモロジーです。 $X$ $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{0}F)$ $F$ $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{1}F)$

例

体k上の多様体Xに対して、上から 2 番目のスペクトル列は代数的ド・ラーム・コホモロジーに対するホッジ・ド・ラーム・スペクトル列を与える。
$E_{1}^{p,q}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\Rightarrow \mathbf {H} ^{p+q}(X,\オメガ _{X}^{\bullet })=:H_{DR}^{p+q}(X/k)$ 。
もう一つの例は、複素多様体上の正則対数複素数から来ている。 ^[1]Xを複素代数多様体と良好なコンパクト化とする。これは、 Yがコンパクトな代数多様体であり、単純な正規交差を持つ上の因子であることを意味する。層の複素数の自然な包含 $j:X\hookrightarrow Y$ $D=YX$ $Y$
$\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X}^{\bullet }$

は準同型となり、同型を誘導する。

$H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ 。

参照

参考文献

^ Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM (2008).混合ホッジ構造. Springer Berlin, ハイデルベルク. ISBN 978-3-540-77017-6。

H. カルタン、S. アイレンバーグ、 ホモロジー 代数 ISBN 0-691-04991-2
VI Danilov (2001) [1994]、「ハイパーホモロジー関数」、数学百科事典、EMS Press
A. Grothendieck、 Sur quelques point d'algebre homologique東北数学。 J. 9 (1957) pp. 119-221

[peters-steenbrink-1] Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM (2008).混合ホッジ構造. Springer Berlin, ハイデルベルク. ISBN 978-3-540-77017-6。