基礎クラス

Mがn次元の連結な向き付け可能な閉多様体である場合、トップホモロジー群は無限巡回群である。${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$向き付けとは、生成子の選択、同型性の選択である。${\displaystyle \mathbb {Z} \to H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$生成器は基本クラスと呼ばれます。

Mが連結されていない場合（ただし向き付けは可能である）、基本クラスは、各連結成分の基本クラスの直和となる（各成分の向き付けに対応する）。

ド・ラームコホモロジーとの関連では、これはM上の積分を表します。すなわち、Mが滑らかな多様体の場合、n形式ωは基本クラスとペアにすることができます。

${\displaystyle \langle \omega ,[M]\rangle =\int _{M}\omega \ ,}$

これは、ω をM上で積分したものであり、ω のコホモロジー類のみに依存します。

Mが向き付け可能でない場合、 ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )\ncong \mathbb {Z} }$したがって、整数の中に存在する基本クラスMを定義することはできません。しかし、すべての閉多様体は${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-方向付け可能で、 ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$（Mが連結している場合）。したがって、すべての閉多様体は${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-指向性（単に方向付け可能というだけでなく、方向の選択に曖昧さがない）、そして${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-基本クラス。

これ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-基本クラスは、スティフェル・ホイットニークラスの定義に使用されます。

Mが境界を持つコンパクトな向き付け可能な多様体である場合、最上位の相対ホモロジー群は再び無限巡回群となる。${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z} }$したがって、基本クラスの概念は境界を持つ多様体の場合にも拡張できる。