プッシュフォワード（ホモロジー）

代数的位相幾何学において、 2 つの位相空間間の連続関数 :の押し出しは、のホモロジー群間の準同型性です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$${\displaystyle n\geq 0}$

ホモロジーは、位相空間をホモロジー群の列に変換する関数です。(多くの場合、このような群のコレクションは、表記法 で参照されます。このコレクションは、次数付きリングの構造を持ちます。) 任意のカテゴリでは、関数は対応する射を誘導する必要があります。プッシュフォワードは、ホモロジー関数に対応する射です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{n}\left(X\right)}$${\displaystyle H_{*}\left(X\right)}$

プッシュフォワード準同型は次のように構築されます（特異ホモロジーまたは単体ホモロジーの場合）。

まず、この写像は、特異 n単体をそれぞれで合成して、の特異 n 単体を取得し、これを を介して線形に拡張することによって定義される、特異または単体連鎖複体と の間の準同型性を誘導します。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle C_{n}\left(X\right)}$${\displaystyle C_{n}\left(Y\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{X}\colon \Delta ^{n}\rightarrow X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{\#}\left(\sigma _{X}\right)=f\sigma _{X}\colon \Delta ^{n}\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{\#}\left(\sum _{t}n_{t}\sigma _{t}\right)=\sum _{t}n_{t}f_{\#}\left(\sigma _{t}\right)}$

マップはを満たします。ここで は連鎖群間の境界演算子であるため、連鎖マップを定義します。 ${\displaystyle f_{\#}\colon C_{n}\left(X\right)\rightarrow C_{n}\left(Y\right)}$${\displaystyle f_{\#}\partial =\partial f_{\#}}$${\displaystyle \partial}$${\displaystyle \partial f_{\#}}$

したがって、 はを意味するので、サイクルをサイクルに変換します。また、であるため、境界を境界に変換します。 ${\displaystyle f_{\#}}$${\displaystyle \partial \alpha =0}$${\displaystyle \partial f_{\#}\left(\alpha \right)=f_{\#}\left(\partial \alpha \right)=0}$${\displaystyle f_{\#}}$${\displaystyle f_{\#}\left(\partial \beta \right)=\partial f_{\#}\left(\beta \right)}$

したがって、 のホモロジー群の間に準同型性が誘導されます。 ${\displaystyle f_{\#}}$${\displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$${\displaystyle n\geq 0}$

プッシュフォワードの 2 つの基本的な特性は次のとおりです。

1. ${\displaystyle \left(f\circ g\right)_{*}=f_{*}\circ g_{*}}$地図の作成に使用します。${\displaystyle X{\overset {g}{\rightarrow }}Y{\overset {f}{\rightarrow }}Z}$
2. ${\displaystyle \left({\text{id}}_{X}\right)_{*}={\text{id}}}$ここで 、は の恒等関数を指し、 は ホモロジー群の恒等同型性を指します。${\displaystyle {\text{id}}_{X}}$${\displaystyle X\rightarrow X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{id}}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(X\right)}$

(これはプッシュフォワードの関数性を示しています。)

プッシュフォワードに関する主な結果はホモトピー不変性です。つまり、2 つのマップがホモトピックである場合、それらは同じ準同型性を誘導します。 ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{*}=g_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$

これは、（上記の性質により）ホモトピー同値空間のホモロジー群が同型であることを意味します。ホモトピー同値によって誘導される写像は、すべての に対して同型です。 ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle n}$

• プルバック（コホモロジー）

• アレン・ハッチャー『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN  0-521-79160-XおよびISBN 0-521-79540-0