コホモトピー集合

数学、特に代数的位相幾何学において、コホモトピー集合は、尖った位相空間と基点保存連続写像のカテゴリから集合と関数のカテゴリへの特定の反変関数である。これらはホモトピー群と双対であるが、あまり研究されていない。

尖端位相空間Xのp次コホモトピー集合は次のように定義される。

${\displaystyle \pi^{p}(X)=[X,S^{p}]}$

からp球面への連続写像の尖ったホモトピー類の集合。[ ^1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{p}}$

p = 1の場合、この集合はアーベル群構造を持ち、ブルシュリンスキー群と呼ばれます。がCW 複体である場合、円は型のアイレンバーグ・マクレーン空間であるため、これは最初のコホモロジー群と同型です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{1}(X)}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$

ハインツ・ホップの定理によれば、 が最大p次元のCW 複体である場合、 は p番目のコホモロジー群と一対一である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle [X,S^{p}]}$${\displaystyle H^{p}(X)}$

が の球面のような懸濁液である場合、集合は自然な群構造も持ちます。 ${\displaystyle [X,S^{p}]}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma Y}$${\displaystyle S^{q}}$${\displaystyle q\geq 1}$

X がCW 複体と同値なホモトピーでない場合、 は と同型ではない可能性があります。反例としてワルシャワ円が挙げられます。この円の最初のコホモロジー群は消えますが、 への写像は定数写像と同型ではありません。^[2]${\displaystyle H^{1}(X)}$${\displaystyle [X,S^{1}]}$${\displaystyle S^{1}}$

コホモトピー集合に関するいくつかの基本的な事実。いくつかは他の事実よりも明白です。

• ${\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})}$すべてのpとqに対して。
• およびの場合、群はに等しくなります。(この結果を証明するために、レフ・ポンチャギンはフレームド・コボルディズムの概念を開発しました。)${\displaystyle q=p+1}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle \pi^{p}(S^{q})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
• すべてのxに対してが成り立つ場合、 となり、 fとgが成り立つ場合、ホモトピーは滑らかになります。${\displaystyle f,g\colon X\to S^{p}}$${\displaystyle \|f(x)-g(x)\|<2}$${\displaystyle [f]=[g]}$
• コンパクトな滑らかな多様体の場合、 は滑らかな写像のホモトピー類の集合に同型です。この場合、すべての連続写像は滑らかな写像で一様に近似でき、任意のホモトピックな滑らかな写像は滑らかなホモトピックになります。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi^{p}(X)}$${\displaystyle X\to S^{p}}$
• が-多様体である場合、に対して となります。${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \pi^{p}(X)=0}$${\displaystyle p>m}$
• が境界を持つ-多様体である場合、集合は内部の余次元-pフレーム部分多様体のコボルディズム類の集合と正準一対一です。${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \pi^{p}(X,\partialX)}$ ${\displaystyle X\setminus \partial X}$
• の安定コホモトピー群は余極限である${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{k}X,S^{p+k}]}}$

これはアーベル群です。

コホモトピー集合は1936年にカロル・ボルスクによって導入された。 ^[3] 体系的な検討は1949年にエドウィン・スパニアーによって行われた。 ^[4]安定コホモトピー群は1956年にフランクリン・P・ピーターソンによって定義された。 ^[5]