弱い同値性（ホモトピー理論）

数学において、弱い同値性はホモトピー理論の概念であり、ある意味で同じ「形」を持つオブジェクトを識別するものです。この概念は、モデル カテゴリの公理的定義で形式化されています。

モデルカテゴリは、弱同値、ファイバ化、およびコファイバ化と呼ばれる射のクラスを持ち、いくつかの公理を満たすカテゴリです。モデルカテゴリの関連するホモトピーカテゴリは同じオブジェクトを持ちますが、弱同値化を同型化するために射が変更されます。関連するホモトピーカテゴリはファイバ化とコファイバ化ではなく、弱同値化のみに依存するという有用な観察があります。

モデルカテゴリは、位相空間だけでなく、代数や幾何学の他の多くのカテゴリにも適用されるホモトピー理論の公理化としてQuillenによって定義されました。この主題の始まりの例は、ファイバーとしてセールファイバー、弱同値として弱ホモトピー同値を持つ位相空間のカテゴリです（このモデル構造の共ファイバーは、相対セル複合体X ⊆ Yのリトラクトとして記述できます^[1]）。定義により、空間の連続マッピングf : X → Yは、パス成分の集合上の誘導関数が

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)}$

は全単射であり、X内の任意の点xと任意のn ≥ 1に対して、誘導準同型写像

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x))}$

ホモトピー群上のは全単射です。( XとY が 経路連結されている場合、最初の条件は自動的に成り立ち、X内の単一の点xに対して 2 番目の条件を述べるだけで十分です。)

単連結な位相空間XとYに対して、写像f : X → Yが弱ホモトピー同値となるのは、特異ホモロジー群上の誘導準同型f _* : H _n ( X , Z ) → H _n ( Y , Z ) がすべてのnに対して全単射となる場合と同値である。^[2]同様に、単連結な空間XとYに対して、写像f : X → Yが弱ホモトピー同値となるのは、特異コホモロジー上の引き戻し準同型f * : H ⁿ ( Y , Z ) → H ⁿ ( X , Z ) がすべてのnに対して全単射となる場合と同値である。^[3]

例: X を自然数集合 {0, 1, 2, ...} とし、Y を集合 {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...} とします。どちらも実数直線からの部分空間位相を持ちます。正の整数nに対して0 を 0 に、nを 1/ nにマッピングしてf : X → Yを定義します。するとf は連続し、実際は弱いホモトピー同値ですが、ホモトピー同値ではありません。

位相空間のホモトピーカテゴリ (弱ホモトピー同値を反転することで得られる) は、位相空間のカテゴリを大幅に簡素化します。実際、このホモトピーカテゴリは、連続写像のホモトピー類である射を持つCW 複体のカテゴリと同等です。

位相空間のカテゴリに関する他の多くのモデル構造も検討されている。例えば、位相空間上のストロームモデル構造では、ファイバはヒューレヴィッツファイバであり、弱同値はホモトピー同値である。^[4]

他の重要なモデルカテゴリには、連鎖複体が含まれます。Aをグロタンディークのアーベルカテゴリ、たとえば環上の加群のカテゴリや位相空間上のアーベル群の層のカテゴリとします。カテゴリC ( A ) を、オブジェクトAのオブジェクトの複体Xで定義します。

${\displaystyle \cdots \to X_{1}\to X_{0}\to X_{-1}\to \cdots ,}$

および射影は鎖写像である。（これは、 Aのオブジェクトの「共鎖複合体」を考えることと同等であり、番号付けは次のように書かれる。

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\to X^{0}\to X^{1}\to \cdots ,}$

単にX ⁱ = X _{− i}と定義するだけです。

カテゴリC ( A )は、コファイブレーションが単射であり、弱い同値が準同型であるモデル構造を持っています。^[5]定義により、チェーンマップf : X → Yは、誘導準同型が

${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)}$

ホモロジー上の同型は、すべての整数nに対して同型です。（ここで、H _n ( X ) は、X _{n +1} → X _nの像を法とするX _n → X _{n −1}の核として定義されるAの対象です。）結果として得られるホモトピーカテゴリは、導来カテゴリD ( A ) と呼ばれます。

どのようなモデルカテゴリでも、弱同値でもあるファイバ化は、自明な（または非巡回的な）ファイバ化と呼ばれます。また、弱同値でもあるコファイバ化は、自明な（または非巡回的な）コファイバ化と呼ばれます。

• Beke, Tibor (2000)、「Sheafifiable homotopy model Categories」、ケンブリッジ哲学協会数学論文集、129 : 447–473、arXiv : math/0102087、Bibcode :2000MPCPS.129..447B、doi :10.1017/S0305004100004722、MR  1780498
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0、MR  1867354
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