プルバック（コホモロジー）

代数的位相幾何学では、位相空間の連続写像f : X → Yと環Rが与えられたとき、コホモロジー理論上のfに沿った引き戻しは、次数を保存するR代数準同型である。

${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y;R)\to H^{*}(X;R)}$

Rに係数を持つYのコホモロジー環からXのコホモロジー環へ。上付き文字の使用は、その反変性質を示すことを意図しています。つまり、写像の方向を反転します。たとえば、X、Yが多様体、Rが実数体、コホモロジーがド・ラーム・コホモロジーである場合、引き戻しは微分形式の引き戻しによって誘発されます。

コホモロジーのホモトピー不変性は、2 つの写像f、g : X → Yが互いにホモトピックである場合、それらは同じプルバックf ^* = g ^*を決定することを述べています。

対照的に、例えばド・ラーム・コホモロジーに対するプッシュフォワードは、ファイバーに沿った積分によって与えられます。

まず、鎖状複体の双対のコホモロジーの定義を復習する。Rを可換環、C をR加群の鎖状複体、G をR加群とする。 とするときと同様に、 ${\displaystyle H_{*}(C;G)=H_{*}(C\otimes _{R}G)}$

${\displaystyle H^{*}(C;G)=H^{*}(\operatorname {Hom} _{R}(C,G))}$

ここで Hom は鎖複体と共鎖複体の間の Hom の特殊なケースであり、Gは次数 0 に集中した共鎖複体とみなされます。(これを厳密にするには、複体のテンソル積の符号と同様の方法で符号を選択​​する必要があります。) たとえば、Cが位相空間Xに関連付けられた特異鎖複体である場合、これはGに係数を持つXの特異コホモロジーの定義です。

ここで、f : C → C 'を鎖複体の写像とする（例えば、位相空間間の連続写像によって誘導される可能性がある。Pushforward （ホモロジー）を参照）。すると、写像

${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Hom} _{R}(C',G)\to \operatorname {Hom} _{R}(C,G)}$

共鎖複合体の、そしてそれが引き戻し準同型性を決定する

${\displaystyle f^{*}:H^{*}(C';G)\to H^{*}(C;G)}$

コホモロジー加群とコホモロジー環について。

C、C ' が空間X、Yの特異鎖複体である場合、これは特異コホモロジー理論のプルバックです。

• JP May (1999)、「代数的位相幾何学の簡潔なコース」。
• SP Novikov (1996)、「トポロジー I - 全般の概要」。