巡回ホモロジー

非可換幾何学および関連する数学の分野において、巡回ホモロジーおよび巡回コホモロジーは、多様体のド・ラーム（コ）ホモロジーを一般化する結合代数に対する特定の（コ）ホモロジー理論である。これらの概念は、1980年代にボリス・ツィガン（ホモロジー） ^[1]とアラン・コヌ（コホモロジー）^[2]によって独立に導入された。これらの不変量は、ド・ラーム理論、ホックシルト（コ）ホモロジー、群コホモロジー、K理論など、いくつかの古い数学の分野と多くの興味深い関係を持っている。この理論の発展に貢献した人物には、Max Karoubi、Yuri L. Daletskii、Boris Feigin、Jean-Luc Brylinski、Mariusz Wodzicki、Jean-Louis Loday、Victor Nistor、Daniel Quillen、Joachim Cuntz、Ryszard Nest、Ralf Meyer、Michael Puschnigg などがいます。

標数0の体上の環Aの巡回ホモロジーの最初の定義は、

HC _n ( A ) またはH _n ^λ ( A )、

これは、 Aのホッホシルトホモロジー複体に関連する、コンヌ複体と呼ばれる次の明示的な鎖複体によって進行します。

任意の自然数n ≥ 0に対して、 Aのn番目のテンソル積に自然な巡回作用を生成する演算子を定義します。 ${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}:A^{\otimes n}\to A^{\otimes n},\quad a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n}\mapsto (-1)^{n-1}a_{n}\otimes a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n-1}.\end{aligned}}}$

A自体に係数を持つAのホッホシルト複素群は、すべてのn ≥ 0に対して と設定することで与えられることを思い出してください。すると、コンヌ複体の成分は と定義され、微分はホッホシルト微分をこの商に制限したものです。ホッホシルト微分が実際にこの共変量の空間に因数分解されることを確認できます。 ^[3]${\displaystyle HC_{n}(A):=A^{\otimes n+1}}$${\displaystyle C_{n}^{\lambda }(A):=HC_{n}(A)/\langle 1-t_{n+1}\rangle }$${\displaystyle d:C_{n}^{\lambda }(A)\to C_{n-1}^{\lambda }(A)}$

コヌは後に、アーベル圏における巡回オブジェクトの概念を用いた巡回ホモロジーへのより圏論的なアプローチを発見した。これは単体オブジェクトの概念に類似している。このようにして、巡回ホモロジー（およびコホモロジー）は導来関手として解釈することができ、これは（ b、B ）双複体によって明示的に計算することができる。体k が有理数を含む場合、コヌ複体による定義は同じホモロジーを計算する。

巡回ホモロジーの顕著な特徴の 1 つは、ホックシルトと巡回ホモロジーを結ぶ長い正確なシーケンスが存在することです。この長い正確なシーケンスは、周期シーケンスと呼ばれます。

特性ゼロの体k上のアフィン代数多様体上の正則関数の可換代数Aの巡回コホモロジーは、グロタンディークの代数的ド・ラーム複体によって計算できる。^[4]特に、多様体V =Spec Aが滑らかな場合、 Aの巡回コホモロジーは、Vのド・ラームコホモロジーによって次のように表現される。

${\displaystyle HC_{n}(A)\simeq \Omega ^{n}\!A/d\Omega ^{n-1}\!A\oplus \bigoplus _{i\geq 1}H_{\text{dR}}^{n-2i}(V).}$

この式は、コンヌによって広範に開発された非可換代数Aの「非可換スペクトル」に対するド・ラーム・コホモロジーを定義する方法を示唆しています。

巡回ホモロジーの動機の 1 つは、K 理論とは異なり、鎖複合体のホモロジーとして定義されるK 理論の近似が必要であることでした。巡回コホモロジーは実際には K 理論とのペアリングを備えており、このペアリングが非退化であることが期待されます。

位相を持つ代数、例えばフレシェ代数、 -代数などにより適合させることを目的とした変種が数多く定義されてきた。その理由は、K 理論は、追加の構造を持たない代数よりも、バナッハ代数やC*-代数などの位相代数に対してはるかに良く振る舞うからである。一方で、巡回ホモロジーは C*-代数上では退化するため、修正された理論を定義する必要が生じた。その中には、アラン・コヌによる完全巡回ホモロジー、ラルフ・マイヤーによる解析巡回ホモロジー^[5]、またはミヒャエル・プスニッヒによる漸近的かつ局所的な巡回ホモロジー^{[6]がある。最後のものは、} KK 理論からの双変チャーン特性を備えているため、K 理論に非常に近い。 ${\displaystyle C^{*}}$

巡回ホモロジーの応用の一つは、アティヤ・シンガーの指数定理の新しい証明と一般化を見つけることである。これらの一般化の中には、スペクトル三重項に基づく指数定理^[7]やポアソン構造の変形量子化^[8]などがある。

コンパクトで滑らかな多様体上の楕円型作用素Dは、K ホモロジーのクラスを定義します。このクラスの不変量の 1 つは、作用素の解析的インデックスです。これは、クラス [D] と HC(C(M)) の要素 1 とのペアリングとして見られます。巡回コホモロジーは、滑らかな多様体だけでなく、葉脈、オービフォールド、および非可換幾何学に現れる特異空間に対しても、楕円型微分作用素の高次不変量を得る方法と見ることができます。

円分トレース写像は、代数 K 理論(たとえば環Aの) から巡回ホモロジーへの 写像です。

${\displaystyle tr:K_{n}(A)\to HC_{n-1}(A).}$

状況によっては、この写像を使ってK理論を計算することができる。この方向での先駆的な結果はグッドウィリー（1986）の定理である。これは写像

${\displaystyle K_{n}(A,I)\otimes \mathbf {Q} \to HC_{n-1}(A,I)\otimes \mathbf {Q} }$

冪零両側イデアルIに関するAの相対 K 理論と相対巡回ホモロジー ( Aの K 理論または巡回ホモロジーとA / IのK 理論または巡回ホモロジーの差を測定) との間の同型は、n ≥ 1 の場合です。

Goodwillie の結果は任意の環に対して成り立つが、簡単に簡約すると、本質的には についての記述にすぎないことが分かる。 Q を含まない環については、K 理論との密接な関係を保つために、巡回ホモロジーを位相巡回ホモロジーに置き換える必要がある。( Q がAに含まれる場合、 Aの巡回ホモロジーおよび位相巡回ホモロジーは一致する。) これは、 Qを含まない環については、(古典的な)ホッホシルト ホモロジーの方が位相ホッホシルト ホモロジーよりも行儀が悪いという事実と一致している。 Clausen、Mathew、Morrow (2018) は Goodwillie の結果の広範囲にわたる一般化を証明し、イデアルIに関してヘンゼルの補題が成り立つような可換環Aに対して、相対 K 理論は相対位相巡回ホモロジーに同型である (両方をQでテンソル化せずに) と述べた。彼らの結果は Gabber (1992) の定理も包含しており、この状況ではAで逆行列を持つ整数nを法とする相対 K 理論スペクトルは消滅すると主張している。Jardine (1993) は Gabber の結果とSuslin の剛性を利用して Quillen の有限体の K 理論の計算を証明した。 ${\displaystyle A\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }$

• 非可換幾何学

• ジャーディン、JF (1993)、「有限体の K 理論の再考」、K 理論、7 (6): 579–595、doi :10.1007/BF00961219、MR  1268594
• Loday、Jean-Louis (1998)、Cyclic Homology、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 301、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-63074-6
• ガッバー、オフェル(1992)、「ヘンゼル局所環とヘンゼル対のK理論」、代数K理論、可換代数、代数幾何学 (サンタ・マルゲリータ・リグレ、1989)、現代数学、第 126 巻、AMS、pp. 59–70
• クラウゼン、ダスティン; マシュー、アキル; モロー、マシュー (2018)、「K 理論とヘンゼル対の位相的巡回ホモロジー」、arXiv : 1803.10897 [math.KT]
• グッドウィリー、トーマス G. (1986)、「相対代数K理論と巡回ホモロジー」、数学年報、第 2 シリーズ、124 (2): 347–402、doi :10.2307/1971283、JSTOR  1971283、MR  0855300
• ローゼンバーグ、ジョナサン(1994)、「代数的 K 理論とその応用」、Graduate Texts in Mathematics、第 147 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94248-3、MR  1282290、Zbl  0801.19001. 訂正

• 「巡回コホモロジー」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ホックシルトと巡回ホモロジーに関する個人的なメモ