モラヴァK理論

数学の一分野である安定ホモトピー理論において、モラヴァ K 理論は、 1970 年代初頭にジャック・モラヴァが未発表のプレプリントで代数位相幾何学に導入したコホモロジー理論のコレクションの 1 つです。すべての素数p (表記では省略されています) に対して、各非負整数nに対する理論K ( n ) で構成され、各理論はホモトピー理論の意味での環スペクトルです。ジョンソンとウィルソン (1975) は、この理論の最初の説明を発表しました。

理論K (0)は有理係数を持つ特異ホモロジーと一致しますが、K (1)はmod -p 複素K理論の和分です。理論K ( n )は係数環を持ちます。

F _p [ v _n , v _n ⁻¹ ]

ここで、v _{n は}次数 2( p ⁿ  − 1) です。特に、モラバ K 理論はこの周期で周期的であり、これは複素 K 理論が周期 2 であるのとほぼ同じです。

これらの理論にはいくつかの注目すべき特性があります。

• これらは任意の空間のペアに対してキュネス同型性を持つ。つまり、XとYのCW複体に対して、

${\displaystyle K(n)_{*}(X\times Y)\cong K(n)_{*}(X)\otimes _{K(n)_{*}}K(n)_{* }(Y).}$

• これらはリングスペクトルのカテゴリにおける「フィールド」です。言い換えると、K ( n )上のすべてのモジュールスペクトルは自由であり、つまりK ( n )のサスペンションのくさびです。
• これらは複素指向性を持ち（少なくとも、（p ⁿ  − 1）個のシフトされたコピーのくさび和をとることによって周期化された後）、それらが定義する形式群は高さ nを持ちます。
• すべての有限p局所スペクトル X は、 n がスペクトルXのタイプと呼ばれる特定の数Nより小さい場合にのみ、K ( n ) _∗ ( X ) = 0という特性を持ちます。デビナツ -ホプキンス- スミスの定理により、有限p局所スペクトルのカテゴリのすべての厚いサブカテゴリは、あるnに対するタイプnスペクトルのサブカテゴリです。

• 色彩ホモトピー理論
• モラヴァE理論

• ジョンソン、デイビッド・コープランド; ウィルソン、W. スティーブン (1975)、「BP 演算とモラヴァの並外れた K 理論」、Math. Z.、144 (1): 55&minus、75、doi :10.1007/BF01214408、MR  0377856
• Hovey-Strickland、「モラヴァ K 理論と局在化」
• レイヴネル、ダグラス C. (1992)、「安定ホモトピー理論における冪零性と周期性」、数学研究年報、第 128 巻、プリンストン大学出版局、MR  1192553
• Würgler, Urs (1991)、「Morava K-theories: a survey」、Algebraic topology Poznan 1989、Lecture Notes in Math.、vol. 1474、ベルリン: Springer、pp. 111–138、doi :10.1007/BFb0084741、ISBN 978-3-540-54098-4、MR  1133896