整然とした

数学では、集合 $S上の$ 整列順序(または整列関係)は、 $S$ 上の全順序であり、 $S$ の空でない部分集合はすべてこの順序の最小要素を持つという性質を持つ。集合 $S$ と順序を合わせて整列集合(またはwoset ) と呼ぶ。^[¹^]一部の学術論文や教科書では、これらの用語は代わりにwellorder、wellordered、wellorderingまたはwell order、well ordered、well orderingと表記される。

空でない整列集合には必ず最小要素が存在する。整列集合のすべての要素 $s は、$ 最大要素を除いて、一意の後継要素 (次の要素) を持ち、それは $s$ より大きいすべての要素のサブセットの最小要素である。最小要素の他に、先行要素を持たない要素が存在する場合もある (例については、以下の§ 自然数を参照)。整列集合 $Sには、$ 上限を持つすべての部分集合 $T$ に対して、最小上限、すなわち $S$ 内の $T$ のすべての上限のサブセットの最小要素が含まれる。

≤ が非厳密整列順序である場合、< は厳密整列順序である。関係が厳密整列順序であるのは、それが整礎厳密全順序である場合に限る。厳密整列順序と非厳密整列順序は容易に相互変換できるため、その区別はしばしば無視される。

整列集合は、その集合の順序型と呼ばれる一意の順序数と一意的に同型である。選択公理と同等の整列定理は、すべての集合は整列可能であると述べている。集合が整列である場合（あるいは単に整礎関係を持つ場合であっても）、超限帰納法の証明手法を用いて、与えられた命題が集合のすべての要素に対して真であることを証明できる。

自然数が通常の「より小さい」関係によって整列しているという観察は、一般に整列原理（自然数の場合）と呼ばれている。

例と反例

自然数

自然数の標準的な順序 ≤は整列順序である。

{\begin{matrix}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&\dots \end{matrix}}

この整列順序には、ゼロ以外のすべての自然数が一意の先行数を持つという性質が加わります。その順序タイプは $ω$ であり、最初の無限順序数です。

自然数の別の整列は、すべての偶数はすべての奇数より小さいと定義することによって与えられ、偶数と奇数の中では通常の順序が適用されます。

{\begin{matrix}0&2&4&6&8&\dots &1&3&5&7&9&\dots \end{matrix}}

これは、順序タイプ $ω + ω$ の整列集合です。すべての要素には後続要素があります（最大要素はありません）。0 と 1 の 2 つの要素には前続要素がありません。

整数

自然数の標準的な順序 ≤ とは異なり、整数の標準的な順序 ≤ は整列順序ではありません。例えば、負の整数の集合には最小の要素が含まれていません。

次の二項関係 $R$ は、整数の整列の例です。 $x R y は$ 、次の条件のいずれかが成り立つ場合に限り成り立ちます。

$x = 0$
$x$ は正、 $y$ は負
$x$ と $yは$ 両方とも正であり、 $x \leq yである。$
$x$ と $y$ は両方とも負であり、 $| x | \leq | y |$

この関係 $Rは$ 、以下のように視覚化できます。

{\begin{matrix}0&1&2&3&4&\dots &-1&-2&-3&\dots \end{matrix}}

$Rは$ 順序数 $ω + ω$ と同型である。

整数を整列させるためのもう一つの関係式は、次の定義である。 $x\leq _{z}y$ かつその場合に限り

|x|<|y|\qquad {\text{or}}\qquad |x|=|y|{\text{ and }}x\leq y.

この秩序は、以下のように視覚化できます。

{\begin{matrix}0&-1&1&-2&2&-3&3&-4&4&\dots \end{matrix}}

これは順序型 $ω$ を持ちます。

有理数

有理数の標準的な順序 ≤ は整列順序ではなく、整数とは異なり、これは非負の有理数でも成り立ちます。例えば、集合は $\{1/n\,|\,n=1,2,3,\dots \}$ 最小元は存在しない。しかし、有理数の集合ℚは可算集合であるため、自然数の標準順序と順序同型なℚの整列が存在し、したがって順序型 $ω$ を持つ。

ℚには、標準的な順序付け≤の下で整列している部分集合が多数存在する（自然数の集合は自明な例である）。その他の例としては、以下のようなものがある。

数値の集合 $\{-2^{-n}\,|\,0\leq n<\omega \}$ は、標準順序付けの下で順序タイプ $ωを持つ$ ℚの有界部分集合である。

{\begin{matrix}-1&-1/2&-1/4&-1/8&-1/16&\dots \end{matrix}}

数値の集合 $\{-2^{-n}-2^{-m-n}\,|\,0\leq m,n<\omega \}$ 順序タイプ $ω 2$ を持つ:

{\begin{matrix}-1-1&-1-1/2&-1-1/4&\dots \\-1=-1/2-1/2&-1/2-1/4&-1/2-1/8&\dots \\-1/2=-1/4-1/4&-1/4-1/8&-1/4-1/16&\dots \\\dots &\dots &\dots &\dots \end{matrix}}

前述の集合は、集合内の極限点の集合です。実数の集合においては、通常の位相でも順序位相でも、0 も集合の極限点です。また、0 は極限点の集合の極限点でもあります。

数値の集合 $\{-2^{-n}\,|\,0\leq n<\omega \}\cup \{1\}$ 順序タイプは $ω + 1$ です。

{\begin{matrix}-1&-1/2&-1/4&-1/8&-1/16&\dots &1\end{matrix}}

この集合の順序位相では、1 は集合の極限点である。これは、実数の通常の位相における唯一の極限点である 0 とは分離されているにもかかわらずである。

実際、任意の可算順序数 $α$ に対して、標準順序付けの下で順序型 $αを持つ$ ℚの部分集合が存在する。これは、任意の可算線形順序 $A は順序を保持したまま$ $(ℚ, \leq)$ に埋め込むことができるという定理の特殊な場合であり、 $A$ の要素を数列として列挙することで証明できる。 $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ ⁠、そして順番に番号を割り当てる $x_{n}\in \mathbb {Q}$ すべての $a_{n}$ 有限個の要素間の順序付けが $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ⁠は保存されている。^{[ 2 ]}

リアル

任意の実数区間の標準順序 ≤ は整列順序ではない。例えば、開区間⁠ $(0,1)\subseteq [0,1]$ は最小元を含みません。実際、整列定理（選択公理と同等）は実数の整列が存在することを示唆していますが、一般化連続体仮説が真であると仮定した場合でも、 ZFC公理だけでは、定義可能な（式による）実数の整列の存在を証明するには不十分です。^[³^]しかし、定義可能な実数の整列が存在することは ZFC と矛盾しません。たとえば、 V=Lは ZFC と矛盾せず、ZFC+V=L から、特定の式が実数、あるいは任意の集合を整列することが導かれます。

標準順序 ≤ を持つ実数の非可算部分集合は整列順序にはなり得ない: $Xが$ ⁠の部分集合であると仮定する $\mathbb {R}$ ≤によって整列されているの $各x$ に対して、 $s$ $($ $x$ $)$ を $X上の$ ≤順序における $x$ の後継とする( $x が$ $X$ $の$ 最大要素でない)。形式 $($ $x$ $,$ $s$ $($ $x$ $))$ のすべての区間は空ではなく、互いに素である。このような開区間はすべて有理数を含み、 ℚは可算集合であるため、このような区間は可算個しか存在しない。また、 $($ $x$ $,$ $s$ $($ $x$ $))$ は最大要素を除く $すべてのx$ $\in$ $X$ に対して定義されている $ため、 X は$ 可算集合でなければならない。

同等の処方

集合が全順序集合である場合、以下のものは互いに同等である。

この集合は整列集合である。つまり、空でないすべての部分集合には最小要素が存在する。
超限帰納法は、順序付けられた集合全体に対して有効である。
集合の要素の厳密に減少する列はすべて、有限個のステップで終了しなければならない（依存選択の公理を仮定する）。
すべての部分順序は、初期セグメントと同型である（下記の§ 初期セグメントを参照）。

初期セグメント

要素によって決定される初期セグメント $x$ 半順序集合の $X$ は、形式のサブセットです。 $\{y\in X\mid y<x\}$ [ ⁴^]慣例として^、 $X$ それ自体も（不適切な）開始セグメントとしてカウントされます。

整然としたセットのために $X$ 部分集合 $S\subset X$ は最初のセグメントです（ $X$ または何らかの要素による最初のセグメント）が、

\{y\in X\mid y<x\}

各 $x$ で $S$ ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}言い換えれば、初期セグメントは順序理論における下位集合と同じものであり、この特徴付けは初期セグメントの定義として用いられることもある。^[⁷^]

初期セグメントは、整列集合や整礎集合の研究によく用いられる。例えば、順序数は整列集合である。 $\alpha$ その要素はすべて、それ自体で決定される初期セグメントです。つまり、各要素について $x$ で $\alpha$ 、我々は持っています：

x=\{y\in \alpha \mid y<x\}.

^{[ 8 ]}

§ 序数も参照してください。最初のセグメントは、超限再帰定理の記述にも使用されます。

初期セグメントの特性には以下が含まれます。

整列集合は、それ自身の適切な初期セグメントとは決して同型ではない。^{[ 9 ]}また、2つの整列集合が与えられた場合 $X,Y$ 、どちらか $X$ は、 $Y$ または $Y$ は、 $X$ 。
整列集合間の射は、初期セグメントを初期セグメントに写像するものであり、射とは、像が初期セグメントであるような、順序を保存する単射写像のことである。^{[ 10 ]}
最初のセグメントは順序付けを与えます $\trianglelefteq$ 授業で $\operatorname {Well}$ 整列集合の、すなわち、 $A\trianglelefteq B$ かつその場合に限り $A\subset B$ は、順序が制限された部分集合です。 $B$ そして $A$ は最初のセグメントです $B$ [ ¹¹^]整列集合の連鎖の和集合は整列集合であり、連鎖^は $\trianglelefteq$ ^{[ 11 ]}順序数の場合、最初のセグメントによって与えられるこの順序は、集合の包含と一致します。^{[ 12 ]}
二項関係を持つ集合は、整礎な初期セグメントによって覆われている場合に限り、整礎である。^{[ 13 ]}

順序トポロジー

整列集合はすべて、順序位相を与えることによって位相空間にすることができる。

このトポロジーに関して、2種類の要素が存在する可能性がある。

孤立点― これらは最小値と、先行要素を持つ要素です。
極限点― このタイプは有限集合には存在せず、無限集合には存在する場合と存在しない場合がある。極限点を持たない無限集合は、例えば自然数のように、順序型 $ω$ の集合である。 $\mathbb {N} .$ ⁠

部分集合については、以下のように区別できます。

最大値を持つ部分集合（つまり、それ自体で境界が定められている部分集合）。これは孤立点である場合もあれば、集合全体の極限点である場合もある。後者の場合、それは部分集合の極限点でもある場合もあれば、そうでない場合もある。
それ自体では境界を持たないが、全体集合の中では境界を持つ部分集合。最大値は持たないが、部分集合の外側に上限値を持つ。部分集合が空でない場合、この上限値は部分集合の極限点であり、したがって全体集合の極限点でもある。部分集合が空の場合、この上限値は全体集合の最小値である。
全体集合において境界を持たない部分集合。

部分集合が全体集合において共終集合であるのは、それが全体集合において非有界であるか、または全体集合の最大値でもある最大値を持つ場合に限る。

整列集合が位相空間であるのは、その順序タイプがω ₁ (オメガ1 )以下である場合、すなわち集合が可算であるか、最小の非可算順序タイプを持つ場合に限り、第一可算空間である。

序数

すべての整列集合は、整列集合の順序型と呼ばれる一意の順序数と一意に同型です。順序付き集合内の各要素の位置も順序数で表されます。有限集合の場合、特定のオブジェクトの順序数を見つける、または特定の順序数を持つオブジェクトを見つけるという基本的なカウント操作は、オブジェクトに順序数を1つずつ割り当てることに対応します。有限集合のサイズ（要素数、基数）は順序型に等しくなります。^[¹⁴^]日常的な意味でのカウントは通常1から始まるため、各オブジェクトには、そのオブジェクトを最後の要素とする最初のセグメントのサイズが割り当てられます。これらの数値は、同型順序による形式的な順序数よりも1つ多いことに注意してください。これは、形式的な順序数が以前のオブジェクトの数（0からカウントすることに対応）に等しいためです。したがって、有限の $n$ の場合、整列集合の「 $n$ 番目の要素」という表現は、これがゼロから数えているのか、1 から数えているのかを知るために文脈を必要とします。β $が無限順序数である場合もある「$ $β$ 番目の要素」という表現では、通常はゼロから数えられます。

無限集合の場合、順序型によって濃度が決定されますが、その逆は成り立ちません。特定の無限濃度の集合は、さまざまなタイプの整列順序を持つことができます（例については、後述の「自然数」の項を参照）。可算無限集合の場合、可能な順序型の集合は非可算集合となります。

参考文献

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↑ハルモス 1960 、§ 14
↑松坂（マツザカ）、和夫（カズオ）（1968年）。集合・フェーズ入門（日本語で）。 Ch. 3.、§ 2.、(B) 補題 1.:岩波書店。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所 (リンク)
↑ Tao 2009 、整列集合、演習 5。
↑ Tao 2009 、整列集合、定義2。
↑ハルモス 1960 、§ 19
↑ハルモス 1960 、§ 18
↑ Tao 2009 、整列集合、演習7。
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フォランド、ジェラルド・B. (1999).実解析：現代の手法とその応用. 純粋および応用数学（第2 版）.ワイリー. pp. 4–6 , 9. ISBN 978-0-471-31716-6。

Tao, T (2009年1月28日). "245B、ノート7：整列集合、順序数、およびツォルンの補題（オプション）" . What's new .
ハルモス、ポール(1960)。素朴な集合論。ニュージャージー州プリンストン: D. ヴァンノストランド社。1974年、シュプリンガー・フェルラーク社（ニューヨーク）より復刻。ISBN 0-387-90092-6（シュプリンガー・フェルラーク版）
テイラー、ポール（1999年5月13日）。数学の実践的基礎。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-63107-5。

さらに読む

ポール・テイラー、「帰納法の統一的扱いに向けて、I：一般再帰定理（1996）」
注釈2.5.（https://ncatlab.org/nlab/show/Zorn's+lemma ）

[woset-1] Manolios P、Vroon D.順序算術のためのアルゴリズム。自動推論に関する国際会議。2025年1月16日取得。

[2] スミス、トレイ; オザー、アクセル (2025). "線形順序と実数直線". arXiv : 2508.15644 [ math.NT ].

[3] Feferman, S. (1964). "強制と一般集合の概念のいくつかの応用" . Fundamenta Mathematicae . 56 (3): 325– 345. doi : 10.4064/fm-56-3-325-345 .

[Halmos_14-4] ハルモス 1960 、§ 14

[5] 松坂（マツザカ）、和夫（カズオ）（1968年）。集合・フェーズ入門（日本語で）。 Ch. 3.、§ 2.、(B) 補題 1.:岩波書店。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所 (リンク)

[6] Tao 2009 、整列集合、演習 5。

[7] Tao 2009 、整列集合、定義2。

[Halmos_19-8] ハルモス 1960 、§ 19

[Halmos_18-9] ハルモス 1960 、§ 18

[10] Tao 2009 、整列集合、演習7。

[Halmos-11] 1 2ハルモス 1960 、§ 17

[12] ハルモス 1960 、§ 20。

[13] Taylor 1999 、命題 2.6,6、

[14] Bonnet, Rémi; Finkel, Alain; Haddad, Serge; Rosa-Velardo, Fernando (2013). "構造化された遷移システムの表現力に関する順序理論". Information and Computation . 224 : 1–22 . doi : 10.1016/j.ic.2012.11.003 . MR 3016456 .

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例と反例

自然数

整数

有理数

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同等の処方

初期セグメント

順序トポロジー

序数

関連項目

参考文献

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