Loading article…
数学および形式論理の集合論では、2 つの集合が共通の要素を持たない場合、それらは互いに素な集合であると言われます。言い換えれば、互いに素な 2 つの集合は、共通部分が空集合である集合です。[ 1 ]例えば、{1, 2, 3} と {4, 5, 6} は互いに素な集合ですが、 {1, 2, 3} と {3, 4, 5} は互いに素ではありません。2 つ以上の集合の集合は、その集合内の任意の 2 つの異なる集合が互いに素である場合に、互いに素であると言われます。
この互いに素な集合の定義は、集合の族やインデックス付き集合の族にも拡張できます。定義上、集合の集まりは集合の族と呼ばれます（例えば、冪集合など）。一部の資料ではこれは集合の集合ですが、他の資料では、いくつかの集合が重複する集合の多重集合とすることもできます。インデックス付き集合の族定義上、集合値関数である（つまり、集合を割り当てる関数である）。あらゆる要素にそのドメイン内の）そのドメインはインデックス集合と呼ばれ（そしてそのドメインの要素はインデックスと呼ばれます）。
集合の族がペアワイズ非連結と呼ばれる。このような定義の 1 つによれば、集合族内の各 2 つの集合が同一であるか、または互いに連結でない場合、集合族は非連結である。この定義では、ペアワイズ非連結な集合族に同じ集合の繰り返しコピーが含まれる可能性がある。別の定義によれば、集合族内の各 2 つの集合は互いに連結でなければならず、繰り返しコピーは許可されない。同じ 2 つの定義は、インデックス付き集合族にも適用できる。最初の定義によれば、集合族内の異なる 2 つのインデックスはすべて、互いに連結または同一の集合を指定しなければならないが、2 番目の定義によれば、異なる 2 つのインデックスはすべて、互いに連結でない集合を指定しなければならない。[ 2 ]例えば、集合の族{ {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... } は、どちらの定義においても互いに素であり、整数の 2 つのパリティ クラスの族{ {..., −2, 0, 2, 4, ...}, {..., −3, −1, 1, 3, 5} }も同様である。しかし、族は10 個の要素を持つ集合は、互いに素な 2 つの集合がそれぞれ 5 回ずつ繰り返されるため、最初の定義ではペアごとに互いに素ですが、2 番目の定義ではそうではありません。
2つの集合の共通部分が何らかの意味で小さい場合、それらの集合はほぼ互いに素であると言われます。例えば、共通部分が有限集合である2つの無限集合は、ほぼ互いに素であると言えます。[ 3 ]
位相幾何学では、互いに素であることよりも厳しい条件を持つ、分離集合のさまざまな概念があります。たとえば、2 つの集合は、互いに素な閉包または互いに素な近傍を持つ場合に分離されているとみなされます。同様に、距離空間では、正に分離された集合は、ゼロでない距離で分離された集合です。[ 4 ]
2つの集合、あるいは集合族の非交差性は、それらの集合のペア間の共通部分によって表現することができる。
2 つの集合AとBが互いに素であるのは、それらの共通部分が であるときかつそのときに限る。は空集合である。[ 1 ] この定義から、すべての集合は空集合と互いに素であり、空集合はそれ自身と互いに素な唯一の集合であることがわかる。[ 5 ]
集合に少なくとも 2 つの集合が含まれる場合、集合が互いに素であるという条件は、集合全体の共通部分が空であることを意味します。ただし、集合の集合は、互いに素でなくても共通部分が空になる場合があります。さらに、2 つ未満の集合の集合は比較するペアがないため自明に互いに素ですが、1 つの集合の集合の共通部分はその集合と等しく、空でない場合があります。[ 2 ]例えば、3 つの集合{ {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} } は共通部分が空ですが、互いに素ではありません。実際、この集合には互いに素な 2 つの集合はありません。
空の集合族は互いに素である。[ 6 ]
ヘリー族とは、空集合の共通部分を持つ部分族が互いに素であるような集合の体系のことである。例えば、実数の閉区間はヘリー族を形成する。閉区間の族が空集合の共通部分を持ち、かつ最小である場合（つまり、その族のどの部分族も空集合の共通部分を持たない場合）、その族は互いに素でなければならない。[ 7 ]
集合Xの分割とは、互いに素な空でない集合の任意の集合であり、それらの和集合がXである。[ 8 ]すべての分割は、等価関係、つまり分割内の 2 つの要素が同じ集合に属するかどうかを記述する二項関係によって記述することができる。 [ 8 ]互いに素な集合のデータ構造[ 9 ]と分割の精緻化[ 10 ]は、それぞれ 2 つの集合を結合する和集合操作、または 1 つの集合を 2 つに分割する精緻化操作の対象となる集合の分割を効率的に維持するためのコンピュータ サイエンスの 2 つの手法である。
互いに素な和集合は、2 つの意味のいずれかを持つ可能性があります。最も単純には、互いに素な集合の和集合を意味します。[ 11 ]しかし、2 つ以上の集合がすでに互いに素でない場合、それらの互いに素な和集合は、変更された集合の和集合を形成する前に、集合を互いに素になるように変更することによって形成できます。[ 12 ]例えば、2 つの集合は、各要素を、その要素が最初の集合に属するか 2 番目の集合に属するかを示す二進数値との順序対に置き換えることによって、互いに素にすることができます。[ 13 ] 2 つ以上の集合の族の場合、同様に、各要素を、その要素を含む集合のインデックスとの順序対に置き換えることができます。[ 14 ]
{{citation}}: ISBN / 日付の不一致 (ヘルプ)。