順序算術

集合論の数学分野では、順序数演算には、加算、乗算、べき乗などの順序数に対する二項演算が含まれます。それぞれは、演算結果を表す明示的な整列集合を構築するか、超限再帰を使用するかの2つの異なる方法で定義できます。順序数に対するこれらの標準的な演算に加えて、通常は順序数のカントール標準形を使用して記述される「自然な」算術演算と、数演算もあります。

背景

順序数は、自然数 ${0, 1, 2, ...}$ に似ていますが、無限大 $ω$ まで続き、さらに $ω +1, ω +2, ..., ω + ω, ω + ω +1, ...$ まで続きます。有限順序数に対する標準算術演算と自然算術演算は、自然数に対する対応する演算と同じですが、無限順序数に対する算術演算はより複雑です。

追加

整列集合 $S$ と $Tの和は、$ デカルト積 $S$ $\times {0}$ と $T$ $\times {1}$ の和集合において、最下位の位置を先頭とする辞書式順序の変形を表す順序数です。このようにして、 $S$ のすべての要素は $T$ のすべての要素よりも小さくなり、 $S$ 内の比較は既に持っている順序を維持し、 $T$ 内の比較についても同様です。

$順序数の加算α + β$ の定義は、 $β$ に関する超限再帰によっても与えることができます。右加数 $β$ $= 0$ の場合、加算は任意の $α$ に対して $α$ $+ 0 =$ $α$ となります。β $> 0$ $の場合、$ $α$ $+$ $β$ の値は、すべての $δ$ $<$ $β$ に対して $α$ と $δ$ の和よりも厳密に大きい最小の順序数です。後継順序数と極限順序数の場合を別々に記述します。

$α + 0 = α$
$α + S (β) = S (α + β)$ 、ここで $S は$ 後続関数を表します。
$\bigcup _{\delta <\beta }$ $β$ が極限順序数の場合。

自然数の順序加算は、標準加算と同じです。最初の超限順序数は、すべての自然数の集合である $ωであり、それに続いて$ $ω + 1$ 、 $ω + 2$ などが続きます。順序数 $ω + ω$ は、通常の順序で並べられた自然数の 2 つのコピーと、最初のコピーの右端に配置された 2 番目のコピーによって得られます。2 番目のコピーを $0' < 1' < 2' < ...$ と書くと、 $ω + ω は$ 次のようになります。

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

$これはω$ とは異なり、 $ω$ では $0$ だけが直接の前身を持たないのに対し、 $ω + ω$ では2つの要素 $0$ と $0'が$ 直接の前身を持たない。

物件

順序加算は一般に可換ではありません。例えば、 $3 + ω = ω$ $は、 3 + ω$ の順序関係が0 $< 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...であり、これを$ $ω$ と書き換えることができるため成り立ちます。一方、 $ω + 3 は$ $ω$ と等しくありません。なぜなら、順序関係 $0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'$ には最大の要素 (すなわち $2'$ ) がありますが、 $ω$ にはないからです ( $ω$ と $ω + 3は$ 同冪ですが、順序が同型ではありません)。

順序加算は依然として結合的です。たとえば、 $(ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω$ であることがわかります。

加法は右引数において厳密に増加かつ連続的である。

α < β \Rightarrow γ + α < γ + β

しかし、同様の関係は左側の引数には当てはまらず、代わりに次の関係のみが成り立つ。

α < β \Rightarrow α + γ ≦ β + γ

順序数の加算は左相殺可能である。すなわち、 $α + β = α + γ$ ならば、 $β = γとなる。さらに、順序数$ $β$ $\leq$ $α$ に対して左減算を定義することもできる。すなわち、 $α$ $=$ $β$ $+$ $γ$ $となるγ$ が一意に存在する。一方、右相殺は成り立たない。

3 + ω = 0 + ω = ω

ですが、

3 \neq 0

$β \leq α$ の場合でも右引き算は成り立ちません。例えば、 $γ$ $+ 42 =$ $ω$ となるような $γ は$ 存在しません。

$α$ より小さい順序数が加算に関して閉じており、かつ $0 を含む場合、$ $αは$ $γ$ 数と呼ばれることがあります(加法的に分解不可能な順序数を参照)。これらはまさに $ω$ $β$ の形の順序数です。

乗算

互いに素な和集合

{ (n,0) : n \in N} \cup { (n,1) : n \in N} は

、最下位の位置を先頭とする辞書式順序を使用して、順序タイプ

ω \cdot 2

を持ちます。これは

ω

とは異なります。

集合

{(0, n), (1, n) : n \in N} は

、最下位の位置を最初にとする辞書式順序では、順序タイプ

2 \cdot ω

を持ち、これはω

に等しい。

整列集合 $S$ と $T$ の直積 $S \times T$ は、最下位の位置を先頭に置く辞書式順序の変形によって整列させることができる。実際には、 $Tの各要素は$ $S$ の互いに素なコピーに置き換えられる。直積の順序型は、 $S$ と $T$ の順序型を掛け合わせた順序数である。

順序数の乗算の定義は、 $β$ に関する超限漸化式によっても表すことができます。右因子 $β = 0$ の場合、乗算は任意の $α$ に対して $α \cdot 0 = 0$ となります。β $> 0$ $の場合、$ $α$ $\cdot$ $β$ の値は、すべての $δ$ $<$ $β$ $に対して($ $α$ $\cdot$ $δ$ $) +$ $α$ 以上の最小の順序数です。後継順序数と極限順序数の場合を別々に記述します。

$α \cdot 0 = 0$ 。
$α ・ S (β) = (α ・ β) + α$ 、後続序数 $S (β)$ の場合。
$\bigcup _{\delta <\beta }$ 、 $β$ が極限順序数の場合。

例として、 $ω \cdot 2$ の順序関係を以下に示します。

00 < 1 0 < 2 0 < 3 0 < ...

< 0 1 < 1 1 < 2 1 < 3 1 < ...

、

$これはω$ $+$ $ω$ と同じ順序タイプを持つ。一方、 $2 \cdot$ $ω$ は次のようになる。

00 < 1 0 < 0 1 < 1 1 < 0 2 < 1 2 < 0 3 < 1 3 < ...

そしてラベルを付け直すと、これは $ω$ と全く同じになります。したがって、 $ω \cdot 2 = ω + ω \neq ω = 2 \cdot ω$ となり、順序数の乗算は一般には可換ではないことがわかります（図を参照）。

加算の場合と同様に、自然数に対する順序乗算は、標準的な乗算と同じです。

物件

$α \cdot 0 = 0 \cdot α = 0$ 、ゼロ積のプロパティが成り立ちます: $α \cdot β = 0は$ $α = 0$ または $β = 0$ を意味します。序数 $1$ は乗法恒等式、 $α \cdot 1 = 1 \cdot α = α$ です。乗算は結合的です $(α \cdot β) \cdot γ = α \cdot (β \cdot γ)$ 。右の引数では乗算は厳密に増加し連続です: ( $α < β$ および $γ > 0$ ) は $γ \cdot α < γ \cdot β$ を意味します。乗算は厳密には増加しません。たとえば、 $1 < 2$ ですが、 $1 \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ です。ただし、(厳密ではなく) 増加しています。つまり、 $α \leq βは$ $α \cdot γ \leq β \cdot γ$ を意味します。

$順序数の乗算は一般に可換ではありません。具体的には、 1$ より大きい自然数はどの無限順序数とも可換ではなく、2つの無限順序数 $α$ と $βが$ 可換となるのは $、$ あるゼロでない自然数 $m$ と $n$ $に対してαm$ $=$ $βn$ $が$ 成り立つ場合のみです。関係「 $αは$ $β$ と可換である」は $1$ より大きい順序数上の同値関係であり、すべての同値類は可算無限です。

左図のように、分布性が成り立ちます: $α \cdot (β + γ) = α \cdot β + α \cdot γ$ 。ただし、右側の分配法則 $(β + γ) \cdot α = β \cdot α + γ \cdot α$ は一般に当てはまりません: $(1 + 1) \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ であるのに対し、 $1 \cdot ω + 1 \cdot ω = ω + ω$ は異なります。左キャンセル法則があります: $α > 0$ かつ $α \cdot β = α \cdot γ$ の場合、 $β = γ$ です。右のキャンセルは適用されません。たとえば、 $1 \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ ですが、 $1$ と $2$ は異なります。剰余性質を持つ左除算が成り立つ。すべての $α$ と $β$ に対して、 $β$ $> 0ならば、$ $α$ $=$ $β$ $\cdot$ $γ$ $+$ $δ$ かつ $δ$ $<$ $β$ となる一意の $γ$ と $δ$ が存在する。右除算は機能しない。α $\cdot$ $ω$ $\leq$ $ω$ $ω$ $\leq$ $($ $α$ $+ 1) \cdot$ $ω$ となる $α$ は存在しない。

序数は左半環を形成しますが、環を形成しません。したがって、序数は環ですらないため、ユークリッド空間ではありません。さらに、ここで左除算を用いると、ユークリッドの「ノルム」は序数値になります。

δ数 (加法的に分解不可能な順序数 §乗法的に分解不可能な順序数を参照) は、0 < α < β のとき α ⋅ β = β となるような 1 より大きい順序数 β です $。$ $これら$ $は$ $、$ $順序$ 数 $2$ $と$ $β$ $=$ $ω$ ω $γ$ の $形$ の $順序$ $数$ $から$ $構成$ $さ$ $れ$ ます。

指数関数

順序型によるべき乗の定義は、フォン・ノイマンによるすべてのより小さい順序数の集合としての順序数の定義を用いて最も簡単に説明できます。次に、順序型 $α β$ $の集合を構成するために、有限個の要素x$ $\in$ $β$ を除くすべての要素に対して $f$ $($ $x$ $) = 0$ となるようなすべての関数 $f : β \to α$ の集合を考えます (本質的には、有限サポートを持つ関数を考えます)。この集合は、最下位の位置から始まる辞書式順序になっています。つまり、値 x = max{ y | f ( y ) ≠ g ( y )} に対して $f$ $($ $x$ $)$ $<$ $g$ $($ $x$ $)$ $で$ $ある$ $場合$ $に$ $限り$ $、$ $f <$ $g$ $と$ $書き$ $ます$ $。$ これ $は$ $整列$ であり、その順序型は順序数 $α$ $β$ です。

順序数のべき乗の定義は、指数 $β$ に関する超限再帰によっても与えることができます。指数 $β = 0$ の場合、べき乗は $α$ $= 0$ を含む任意の $αに対して$ $α 0 = 1$ を与えます。β $> 0$ $の場合、$ $α$ $β$ の値は、すべての $δ$ $<$ $βに対して$ $α$ $δ$ $\cdot$ $α$ 以上の最小の順序数です。後継順序数と極限順序数の場合を別々に記述します。

$α 0 = 1$ 。
$α S (β) = (α β) \cdot α$ 、後続順序 $S (β)$ の場合。
$\bigcup _{0<\delta <\beta }$ 、 $β$ が極限順序数の場合。

指数 $β$ $が$ 有限数であれば、どちらの定義も大幅に簡略化されます。αβ $は$ $α$ $の$ $β$ 個の積となり、例えば $ω3$ $=$ $ω$ $・$ $ω$ $・$ $ωとなります。また、$ $ω3$ の要素は、最下位から順に並べた自然数の3つ組として考えることができます。これは $、$ 自然数の通常のべき乗計算と一致します。

しかし、無限指数の場合、定義は自明ではないかもしれません。たとえば、 $αω は、$ $α$ の要素の有限列の集合を、適切に順序付けたものと同一視できます。方程式 $2ω = ωは、$ 0 と 1 の有限列を、 2 進数システムを使用して自然数と同一視できるという事実を表しています $。$ $順序$ 数 $ωω は$ $、$ 自然数の有限列の順序タイプと見なすことができます。ωω のすべての要素 $($ $つまり$ $、$ $ωω$ $より小さい$ すべての順序数) $は$ $、ωn1\cdotc1$ $+ ωn2\cdotc2 + \dots + ωnk\cdotcnk の形式$ で一意に記述できます $。$ $ここ$ $で$ $、$ k $、$ $n1$ 、 $...$ 、 $nk$ $は$ 自然数、 $c1 、$ ...、 $cnk$ $は$ $ゼロ$ でない自然数、 $n1 > ...$ $>$ $nk$ $です$ 。

一般的にも同じことが言えます。α $β$ $のすべての要素 (つまり、 α$ $β$ より小さいすべての順序数) は $、α$ $b$ $1$ $\cdot$ $a$ $1$ $+$ $α$ $b$ $2$ $\cdot$ $a$ $2$ $+$ $\dots +$ $α$ $b$ $k$ $\cdot$ $a$ $k$ の形式で一意に記述できます。ここで $、k$ は自然数、 $b$ $1$ 、 ...、 $b$ $k$ $はb$ $1$ $> ... >$ $b$ $k$ を満たす $β$ より小さい順序数、 $a$ $1$ $、 ...、$ $a$ $k$ $はα$ より小さいゼロでない順序数です。この式は、 $i$ $= 1、 ...、$ $k$ に対して $b$ $i を$ $a$ $i$ に、 $β$ の他のすべての要素を $0$ に送る関数 $f$ $:$ $β$ $\to$ $α$ に対応します。

順序べき乗と基数べき乗では同じ指数表記が用いられますが、これら2つの演算は全く異なるものであり、混同してはなりません。基数べき乗 $A B$ は、すべての関数 $B \to A$ の集合の基数として定義されますが、順序べき乗 $α β は$ 、有限サポートを持つ関数 $β \to α$ のみを含み、通常は基数がはるかに小さい集合となります。順序べき乗と基数べき乗を混同しないようにするには、前者では順序数を表す記号 (例: $ω$ ) を、後者では基数を表す記号 (例: $ℵ 0 ) を用いることができます。$

物件

$α 0 = 1$ 。
$0 < α$ の場合、 $0 α = 0 と$ なります。
$1 α = 1$ 。
$α 1 = α$ 。
$α β \cdot α γ = α β + γ$ 。
$(α β) γ = α β \cdot γ$ 。
$($ $α$ $・$ $β$ $)$ $γ$ $\neq$ $α$ $γ$ $・$ $β$ $γ$ となる $α$ 、 $β$ 、 $γ$ があります。たとえば、 $($ $ω$ $\cdot 2)$ $2$ $=$ $ω$ $\cdot 2 \cdot$ $ω$ $\cdot 2 =$ $ω$ $2$ $\cdot 2 \neq$ $ω$ $2$ $\cdot 4$ です。
順序指数は右引数に関して厳密に増加かつ連続です。γ $> 1$ かつ $α$ $<$ $β$ の場合、 $γ$ $α$ $<$ $γ$ $β$ $となります$ 。
$α < β$ の場合、 $α γ \leq β γ$ になります。たとえば、 $2 < 3$ でありながら $2 ω = 3 ω = ω$ であることに注意してください。
$α > 1$ かつ $α β = α γ$ の場合、 $β = γ$ になります。 $α = 1$ または $α = 0$ の場合は当てはまりません。
$すべてのα$ と $β$ について、 $β > 1$ および $α > 0の場合、$ $α$ $=$ $β$ $γ$ $\cdot$ $δ$ $+$ $ρ$ $(0 <$ $δ$ $<$ $β$ および $ρ$ $<$ $β$ $γ )$ となるような一意の $γ$ 、 $δ$ および $ρ$ が存在します。

Jacobsthal は、 $α$ $\leq$ $β$ である $α β = β α$ の唯一の解は、 $α$ $=$ $β$ 、または $α$ $= 2$ および $β$ $= 4$ 、または $α$ は任意の極限序数であり、 $β$ $=$ $ε$ $\cdot$ $α ($ $ε$ は $α$ より大きい $ε$ 数)によって与えられることを示しました。^[¹^]

指数関数を超えて

加算、乗算、べき乗によって開始されたシーケンスを継続する順序演算があり、これにはテトレーションやその他のハイパー演算の順序バージョンが含まれます。ヴェブレン関数も参照してください。

カントール標準形

すべての序数 $α$ は一意に $ω β 1 \cdot c 1 + ω β 2 \cdot c 2 + \dots + ω β k \cdot c k$ と書くことができる。ここで、 $k$ は自然数、 $c 1$ 、 $c 2$ 、...、 $c k$ はゼロでない自然数、 $β 1 > β 2 > ... > β k \geq 0$ は序数である。退化ケース $α = 0は$ $k = 0$ の場合に発生し、 $β$ も $c$ も存在しない必要がある。この $αの分解は$ $α$ のカントール標準形と呼ばれ、基数 $ω$ 位取り記数法とみなすことができる。最高指数 $β$ $1は$ $α$ の次数と呼ばれ、 $β$ $1$ $\leq$ $α$ を満たす。等式 $β$ $1$ $=$ $αは$ $α$ $=$ $ω$ $α$ の場合に限り成り立つ。その場合、カントール標準形は順序数をより小さな数で表現することができません。これは以下のように説明できます。

カントール標準形で表された2つの順序数を比較するには、まず $β₁$ 、次に $c₁$ 、次に $β₂$ 、次に $c₂$ $、というように順$ $に比較します。不等号が最初に現れた時点で、成分$ $が大きい方$ $の$ 順序数が大きい順序数となります。一方が他方より先に終了するまで両者が同じであれば、先に終了する方が小さい順序数となります。

カントール標準形は、自然数から有限個の加算、乗算、および底 $ω$ のべき乗の算術演算によって構築される順序数 $αを一意に表現し$ 、順序付けすることを可能にします。言い換えれば、カントール標準形で $β$ $1$ $<$ $αと仮定すると、指数$ $β$ $iも$ カントール標準形で表現でき、 $β$ $i$ についても $α$ と同じ仮定を再帰的に行うことで、これらの順序数を表す表記体系が得られます（例：

ω ω ω 7 \cdot6+ ω +42 \cdot1729+ ω 9 +88 \cdot3 + ω ω ω \cdot5 + 65537

（序数を表す）。

固定点

順序数 $ε 0$ (イプシロンゼロ) は、カントール標準形の有限長算術式の順序値 $α$ の集合であり、遺伝的に非自明である。ここで非自明とは $、0 <$ $α$ $の$ とき $β 1 < αであることを意味する。これは、$ $ε$ $0$ $=$ $ω$ $ε$ $0$ となる最小の順序数であり、すなわちカントール標準形では指数が順序数自身より小さくない。これは数列の極限である。

0、1 = ω 0 、 ω = ω 1 、 ω ω 、 ω ω ω 、...

。

順序数 $ε 0 は$ 、算術においてさまざまな理由で重要です (本質的には、1 階ペアノ算術の証明論的強度を測定するためです。つまり、ペアノの公理は、 $ε$ $0より小さい任意の順序数までの超限帰納法を示すことができますが、$ $ε$ $0$ 自体までの超限帰納法を示すことはできません)。

合計

カントール標準形は順序数の和と積を計算することも可能にします。たとえば、和を計算するには、次のことを知っていれば十分です（§ 加算と§ 乗算に記載されている性質を参照）。

ω β \cdot c + ω β ’ \cdot c ’ = ω β ’ \cdot c ’

、

$β' > β$ の場合。β′ = β の場合は $、左側に$ $分配$ 法則を適用して、これを $ω β (c + c')$ と書き換えることができます。また、 $β' < β$ の場合は、式はすでにカントール標準形になっています。例

(\omega ^{2}\cdot 2+\omega \cdot 3+4)+(\omega \cdot 5+6)=\omega ^{2}\cdot 2+\omega \cdot 8+6.

製品

積を計算するために重要な事実は、 $0 < α = ω β 1 \cdot c 1 + \dots + ω β k \cdot c k$ がカントール標準形であり、 $0 < β'$ の場合、

α \cdot ω β ’ = ω β 1 + β ’

そして

α \cdot n = ω β 1 \cdot c 1 \cdot n + ω β 2 \cdot c 2 + \dots + ω β k \cdot c k

、

$n$ がゼロでない自然数の場合。例：

(\omega ^{3}\cdot 7+\omega +1)\cdot (\omega \cdot 8+9)=\omega ^{4}\cdot 8+\omega ^{3}\cdot 63+\omega +1.

パワーズ

ω ^α ≤ β < ω ^{α +1}の場合、β ^ω = ω ^{α · ω}となります。例えば、

(\omega ^{\omega }\cdot 2+\omega \cdot 3+4)^{(\omega ^{2}\cdot 5+2)}=(\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5})\cdot (\omega ^{\omega \cdot 2}\cdot 2+\omega ^{\omega +1}\cdot 3+\omega ^{\omega }\cdot 8+\omega \cdot 3+4)

=\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5+\omega \cdot 2}\cdot 2+\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5+\omega +1}\cdot 3+\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5+\omega }\cdot 8+\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5+1}\cdot 3+\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5}\cdot 4

バリエーション

カントール標準形の変形として、すべての数 $c i を$ $1$ に設定し、指数を等しくすることを許容する方法があります。言い換えれば、すべての序数 $α は$ $ω β 1 + ω β 2 + \dots + ω β k$ と一意に表すことができます。ここで、 $k$ は自然数であり、 $β 1 \geq β 2 \geq ... \geq β k \geq 0$ は序数です。

カントール標準形のもう 1 つのバリエーションは「基底 $δ$ 展開」であり、 $ω は任意の順序数$ $δ \geq 2$ に置き換えられ、係数は $1 \leq c i < δ$ を満たします。

素因数分解

エルンスト・ヤコブスタールは、順序数が一意因数分解定理の一形態を満たすことを示した。すなわち、すべての非ゼロ順序数は有限個の素数順序数の積として表すことができる。この素数順序数への因数分解は一般に一意ではないが、有限個の素因数の順序を変更することを除いて一意となる「最小」素数への因数分解が存在する（Sierpiński 1958 ）。

$素数順序数とは、$ $1$ より大きい順序数で、2つのより小さい順序数の積として表すことができないものです。最初の素数には、 $2、3、5$ 、...、 $ω$ 、 $ω$ $+ 1$ 、 $ω$ $2$ $+ 1$ 、 $ω$ $3$ $+ 1 、$ ...、 $ω$ $ω$ 、 $ω$ $ω$ $+$ $1$ 、 $ω$ $ω$ $+ 1$ $+ 1$ 、...などがあります。素数順序数には3つの種類があります。

有限素数 $2、3、5$ 、 $...$ $$
任意の順序数 $αに対して$ $ω ω α$ の形の順序数。これらは極限である素数順序数であり、デルタ数、つまり乗法に関して閉じている超限順序数です。
任意の順序数 $α$ $> 0に対して$ $ω α + 1$ の形の順序数。これらは無限後継素数であり、加法的に分解不可能な順序数であるガンマ数の後継数です。

素因数分解は一意ではありません。例えば、 $2 \cdot 3 = 3 \cdot$ 2、2 $\cdot ω = ω$ 、 $(ω + 1) \cdot ω = ω \cdot ω$ 、 $ω \cdot ω ω = ω ω$ などです。ただし、次の追加条件を満たす素因数分解は一意に存在します。

すべての極限素数は、後継素数よりも前に発生しなければならない。
素因数分解における連続する2つの素数が両方とも極限値または両方とも有限値である場合、2番目の素数は1番目の素数以下でなければならない。

この素因数分解は、カントール標準形を用いて以下のように簡単に読み取ることができます。

まず、順序数を積 $α \cdot β$ として書きます。ここで、 $α$ はカントール標準形における $ω$ の最小のべき乗であり、 $β$ は後継数です。
$α = ω γ$ の場合、 $γ$ をカントール標準形で表すと、 $α$ を極限素数の積として展開することができます。
$次に、$ $β$ のカントール標準形を見てみましょう。β $=$ $ω λ \cdot m + ω μ \cdot n$ + より小さい項の場合、 $β = (ω μ \cdot n + より小さい項) \cdot (ω λ - μ + 1) \cdot m$ は、より小さい順序数と素数と自然数 $mの積になります。これを繰り返して自然数を素数に因数分解すると、$ $β$ の素因数分解が得られます。

カントール正規形順序数の因数分解

ω α 1 \cdot n 1 + \dots + ω α k \cdot n k

(

α 1 > ... > α k

の場合)

無限素数と自然数の最小積に

(ω ω β 1 \cdot \dots \cdot ω ω β m) \cdot n k \cdot (ω α k -1 -α k + 1) \cdot n k -1 \cdot \dots \cdot (ω α 1 - α 2 + 1) \cdot n 1

ここで、各 $n i は$ 、有限素数の非増加列への因数分解に置き換えられ、

α k = ω β 1 + \dots + ω β m

(

β 1 \geq ... \geq β m)

。

大きな可算順序数

$上で述べたように、 ε 0$ 未満の順序数のカントール標準形は、加算、乗算、べき乗の関数記号と、各自然数と $ω$ の定数記号のみを含むアルファベットで表現できます。定数記号 $0$ と後継者演算 $S$ だけを使用することで、無限に多くの数字を省略できます(たとえば、自然数 $3 は$ $S (S (S (0)))$ と表現できます) 。これは、有限アルファベット上の順序数に名前を付けるシステムである順序表記法を説明しています。この特定の順序表記法は、算術順序式の集合と呼ばれ、 $ε 0$ より小さいすべての順序数を表現できますが、 $ε 0$ は表現できません。ε $0 を$ $はるか$ に超える順序数を捉えることができる他の順序表記法もありますが、任意の有限アルファベット上には有限長の文字列が可算個しかないため、任意の順序表記法に対して、表現できない $ω 1$ (最初の非可算順序数) より小さい順序数が存在します。このような順序数は、大きな可算順序数として知られています。

加算、乗算、べき乗の演算はすべて原始再帰順序関数の例であり、より一般的な原始再帰順序関数は、より大きな順序を記述するために使用できます。

自然現象

順序数に対する自然和と自然積の演算は $、$ 1906年にゲルハルト・ヘッセンベルクによって定義され、 ヘッセンベルク和（または積）と呼ばれることもあります（Sierpiński 1958 ）。αと $β$ の自然和は、 $α$ $\oplus$ $β$ または $α$ $#$ $β$ と表記されることが多く、自然積は $α$ $\otimes$ $β$ または $α$ $⨳$ $β$ と表記されます。

自然和と積は次のように定義されます。 $α = ω α 1 + \dots + ω α k$ および $β = ω β 1 + \dots + ω β ℓ$ がカントール正規形であるとします (つまり、α $1 \geq ... \geq α k$ および $β 1 \geq ... \geq β ℓ$ )。 $γ 1, ..., γ k + ℓ$ を、非増加順にソートした指数 $α 1$ , ..., $α k$ , $β 1$ , ..., $β ℓ$ とします。この場合、 $α \oplus β は$ 次のように定義されます。

α \oplus β = ω γ 1 + \dots + ω γ k + ℓ

。

$α$ と $β$ の天然物は次のように定義される。

\bigoplus _{\begin{aligned}&1\leq i\leq k\\&1\leq j\leq \ell \end{aligned}}

。

たとえば、 $α = ω ω ω + ω および$ β $= ω ω + ω 5 と$ 仮定します。すると、 $α \oplus β = ω ω ω + ω ω + ω 5 + ω$ となり、 $α + β = ω ω ω + ω ω + ω 5$ となります。そして、 $α \otimes β = ω ω ω + ω + ω ω ω +5 + ω ω +1 + ω 6$ ですが、 $α \cdot β = ω ω ω + ω + ω ω ω +5$ です。

自然和と自然積は可換かつ結合的であり、自然積は自然和全体に分布します。 $α < β$ の場合、 $α \oplus γ < β \oplus γ$ であるという意味で、演算も単調です。 $α \leq β$ の場合、 $α \otimes γ \leq β \otimes γ$ です。 $α < β$ かつ $γ > 0$ の場合、 $α \otimes γ < β \otimes γ$ となります。

我々は持っています $\underbrace {\alpha \oplus \cdots \oplus \alpha } _{n}=\alpha \otimes n$ 。

$常にα + β \leq α \oplus β$ および $α \cdot β \leq α \otimes β$ が成り立ちます。 $α < ω γ$ と $β < ω γ$ の両方の場合、 $α \oplus β < ω γ$ になります。 $α < ω ω γ$ および $β < ω ω γ$ の両方である場合、 $α \otimes β < ω ω γ$ となります。

自然和と自然積は連続ではありません。たとえば、自然和が連続であれば、 $lim n < ω (1 \oplus n) = 1 \oplus ω$ となりますが、左辺は $ω$ に等しく、右辺は $ω + 1$ に等しくなります。同様に、自然積が連続であれば、 $lim n < ω (2 \otimes n) = 2 \otimes ω$ となりますが、左辺は $ω$ に等しく、右辺は $(ω 0 + ω 0) \otimes ω 1 = ω 1 + ω 1 = ω \cdot 2$ に等しくなります。

自然数の和と積は、ジョン・コンウェイの超現実数の体における加算と乗算（順序数に限定）と同じである。

自然演算は、ウェル半順序の理論で現れます。2 つのウェル半順序 $S$ と $T$ が与えられ、その型(最大線形化) $o (S)$ と $o (T)は、$ 非交和の型は $o (S) \oplus o (T)$ であり、直積の型は $o (S) \otimes o (T)$ です。^{[ 2 ]} $この関係を、 S$ と $Tを順序数$ $α$ と $β$ とすることで、自然演算の定義として取ることができます。つまり、 $α \oplus β$ は、α と βの非交和 (半順序として) を拡張した全順序の最大順序型であり、 $α$ $\otimes$ $β$ $は、 α$ と $β$ の直積 (半順序として) を拡張した全順序の最大順序型です。^[³^] この有用な応用例は、 $α と β が$ $両方$ とも $より$ $大きな$ 全順序の部分集合である場合です。それらの和集合の順序型は高々 $α$ $\oplus$ $β$ である。もしそれらが両方とも何らかの順序付きアーベル群の部分集合であるならば、それらの和集合の順序型は高々 $α$ $\otimes$ $β$ である。

$また、 α$ と $β$ に関する同時超限再帰により、自然和 $α \oplus βを、すべての$ $γ$ $<$ $β$ に対して $α$ と $γ$ の自然和より厳密に大きい最小の順序数、およびすべての $γ$ $< α に対して$ $γ$ と $β$ の自然和より厳密に大きい最小の順序数として定義することもできます。^[⁴^] $同様に、 α$ と $β$ に関する同時超限再帰により、自然積 $α$ $\otimes$ $β$ を、すべての $ε$ $< α および$ $δ <$ $β$ に対して $($ $α$ $\otimes$ $δ$ $) \oplus ($ $ε$ $\otimes$ $β$ $) <$ $γ$ $\oplus ($ $ε$ $\otimes$ $δ$ $)$ となる最小の順序数 $γとして定義することも$ $でき$ $ます$ 。^[⁴^] $また、その文脈での自然乗算の定義については、$ 超現実数に関する記事を参照してください。ただし、そこでは順序数では定義されていない超現実減算が使用されています。

自然和は結合法則と交換法則を満たします。自然和は常に通常の和以上ですが、厳密にはそれよりも大きい場合もあります。たとえば、 $ω$ と $1の自然和は$ $ω + 1$ (通常の和)ですが、これは $1$ と $ω$ の自然和でもあります。自然積は結合法則と交換法則を満たし、自然和に対して分配法則を満たします。自然積は常に通常の積以上ですが、厳密にはそれよりも大きい場合もあります。たとえば、 $ω$ と $2の自然積は$ $ω$ $\cdot 2$ (通常の積)ですが、これは $2$ と $ω$ の自然積でもあります。

自然加法の下では、順序数はガンマ数 $ω$ $α$ によって生成される自由可換モノイドの要素と同一視できます。自然加法と自然乗法の下では、順序数はデルタ数 $ω$ $ω$ $α$ によって生成される自由可換半環の要素と同一視できます。順序数は自然積の下で素数への一意分解を持ちません。多項式環全体は一意分解を持ちますが、非負係数を持つ多項式のサブセットは一意分解を持ちません。たとえば、 $x が$ 任意のデルタ数である場合、

x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = (x + 1) (x 4 + x 2 + 1) = (x 2 + x + 1) (x 3 + 1)

非負係数を持つ多項式の自然積として、それ以上分解できない2つの相容れない式が存在する。

数字の算術

序数と数の間には一対一の対応関係があるため、序数に対して算術演算を行うことができます。数に対する一般的な演算は、数加算、数乗算、最小除外値（mex）の3つです。数加算は、自然数に対するビットごとの排他的論理和演算の一般化です。序数の集合の $mexは、その集合に含まれて$ いない最小の序数です。

注記

↑ Ernst Jacobsthal、Vertauschbarkeit transfiniter Ordnungszahlen、 Mathematische Annalen、Bd 64 (1907)、475–488。ここで入手可能
↑ DHJ De JonghおよびR. Parikh、「Well-partial orderings and hierarchies」、 Indag. Math. 39 (1977)、195–206。こちらから入手可能。
↑ Philip W. Carruth、「順序アーベル群の理論への応用を伴う順序数の算術」、 Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942)、262–271。定理1を参照。こちらから入手可能。
1 2 Altman, Harry (2017-11-01). "Intermediate arithmetic operations on ordinal numbers" (PDF) . Mathematical Logic Quarterly . 63 ( 3– 4): 228– 242. arXiv : 1501.05747 . doi : 10.1002/malq.201600006 . 2024-08-28に取得.

参考文献

Thomas Jech (2006年3月21日).集合論：第三千年紀版、改訂増補版. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7。
クネン、ケネス（1980）、『集合論：独立性証明入門』、エルゼビア、ISBN 0-444-86839-9
Sierpiński、Wacław (1958)、枢機卿と序数、Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne、vol. 34、ワルシャワ: パンストウェ・ヴィダウニクトゥ・ナウコウェ、MR 0095787

外部リンク

ordCalc 序数計算機（ Wayback Machineにアーカイブ済み、2021年6月5日）

[1] Ernst Jacobsthal、Vertauschbarkeit transfiniter Ordnungszahlen、 Mathematische Annalen、Bd 64 (1907)、475–488。ここで入手可能

[2] DHJ De JonghおよびR. Parikh、「Well-partial orderings and hierarchies」、 Indag. Math. 39 (1977)、195–206。こちらから入手可能。

[3] Philip W. Carruth、「順序アーベル群の理論への応用を伴う順序数の算術」、 Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942)、262–271。定理1を参照。こちらから入手可能。

[Altman-4] 1 2 Altman, Harry (2017-11-01). "Intermediate arithmetic operations on ordinal numbers" (PDF) . Mathematical Logic Quarterly . 63 ( 3– 4): 228– 242. arXiv : 1501.05747 . doi : 10.1002/malq.201600006 . 2024-08-28に取得.

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背景

追加

物件

乗算

物件