どこにも密集していないセット

数学において、位相空間の部分集合は、その閉包の内部が空である場合に、どこにも稠密でない集合^{[1] [2]}または稀な集合^[3]と呼ばれる。非常に緩い意味では、それは要素が（空間上の位相によって定義されるように）どこにも密集していない集合である。例えば、実数の間では整数はどこにも稠密ではないが、区間(0, 1) はどこにも稠密ではない。

どこにも稠密でない集合の可算な和集合は、貧弱集合と呼ばれます。貧弱集合は、関数解析のいくつかの基本的結果の証明に使用されるベールのカテゴリ定理の定式化において重要な役割を果たします。

密度は、異なる（しかし同等の）方法で特徴付けることはできません。最も単純な定義は、密度から得られる定義です。

位相空間の部分集合が他の集合において稠密であるとは、交差が の稠密部分集合である場合、その交差が の任意の空でない開部分集合において稠密でない場合、その交差が のどこにも稠密でも稀でもないことを意味する。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S\cap U}$${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X.}$

密度の否定を展開すると、各空でない開集合には から互いに素な空でない開部分集合が含まれるということが同値になる。 ^[4]上の位相に対する基底 上のいずれかの条件を確認すれば十分である。 特に、 のどこにも密度がないことは、開区間がない で稠密であるとよく説明される。^{[5] [6]}${\displaystyle U}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

上記の2番目の定義は、閉包が空でない開集合を含まないことを要求するのと同等である。[ ^{7]これは、}閉包の内部が空である と言うことと同じである。つまり、${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\varnothing .}$^{[8] [9]}

あるいは、閉包の補集合は^{[4] [8]}の稠密な部分集合でなければならない。言い換えれば、の外部は${\displaystyle X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$

どこにも稠密でない集合という概念は、常に与えられた周囲の空間に対する相対的なものである。が から誘導される部分空間位相を持つと仮定する。 集合は ではどこにも稠密でないかもしれないが、 ではどこにも稠密でないかもしれない。 注目すべきことに、集合は自身の部分空間位相において常に稠密である。したがって が空でない場合、それ自体の部分集合としてどこにも稠密でないことはない。しかし、次の結果は成り立つ: ^{[10] [11]}${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle A}$

• のどこにも密集していない場合は、のどこにも密集していません。${\displaystyle A}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• が で開いている場合、 は でどこにも稠密ではない。そして は でどこにも稠密ではない。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• が で稠密である場合、 は のどこにも稠密ではない。そして が のどこにも稠密ではない場合のみ、${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

集合が稠密でないのは、その閉包が稠密である場合に限ります。^[1]

どこにも稠密でない集合のあらゆる部分集合はどこにも稠密ではなく、どこにも稠密でない集合の有限和集合はどこにも稠密ではない。 ^{[12] [13]} このように、どこにも稠密でない集合は集合のイデアル、つまり無視できる集合の適切な概念を形成する。一般に、どこにも稠密でない集合の可算和集合である貧弱な集合はどこにも稠密である必要がないため、それらは𝜎イデアルを形成しない。例えば、集合は${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

あらゆる開集合の境界とあらゆる閉集合の境界は閉じており、どこにも稠密ではない。[ 14 ^{] [2]閉集合がどこにも稠密ではないのは、それがその境界に等しい場合と同値であり、 [ 14} ]ある開集合の境界に等しい場合と同値である（たとえば、開集合は集合の補集合としてとることができる）。任意の集合がどこにも稠密ではないのは、それがある開集合の境界の部分集合である場合と同値である（たとえば、開集合は の外部としてとることができる）。 ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$

• 閉包の内部は空なので、集合とその閉包はどこにも密ではありません。${\displaystyle S=\{1/n:n=1,2,...\}}$${\displaystyle S\cup \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• カントール集合は、${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ユークリッド平面の水平軸はどこにも密ではないので、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$はどこにも密ではありませんが、有理数はそうではありません（有理数はどこでも密です）。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]}$はどこでも稠密ではない。開区間では稠密であり、特にその閉包の内部は稠密である。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (a,b),}$${\displaystyle (a,b).}$
• 空集合はどこにも稠密ではない。離散空間では、空集合はどこにも稠密ではない唯一の集合である。^[15]
• T ₁空間では、孤立点ではない単一の集合はどこにも稠密ではありません。
• 位相ベクトル空間のベクトル部分空間は稠密であるか、または稠密ではないかのいずれかである。^[16]

どこにも存在しない稠密集合は、あらゆる意味で必ずしも無視できるわけではありません。たとえば、 が単位区間である場合、ルベーグ測度が 0の稠密集合(有理数集合など) が存在する可能性があるだけでなく、測度が正のどこにも存在しない稠密集合が存在する可能性もあります。このような例の 1 つが、スミス - ヴォルテラ - カントール集合です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1],}$

別の例（カントール集合の変形）では、 からすべての二項分数、つまり正の整数とその周りの区間についての最小項でのの形式の分数をすべて削除します。 各 に対して、最大で となる区間を削除するので、そのような区間をすべて削除した後に残るどこにも稠密でない集合は少なくとも の測度を持ちます（実際には重なりがあるため^[17]をわずかに超えます）。したがって、ある意味では周囲空間の大部分を表します。 この集合はどこにも稠密ではありません。なぜなら、この集合は閉じていて内部が空だからです。つまり、 の二項分数が削除されている ので、どの区間も集合に含まれません。${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle a/2^{n}}$${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle \left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/2^{n+1},}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 0.535\ldots }$${\displaystyle [0,1].}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a,b)}$

この方法を一般化すると、単位区間内で、測度が正確に1になることはないが、測度が1未満の任意の測度の稠密集合をどこにも存在しない状態で構築することができる（そうでなければ、その閉包の補集合は測度が0の空でない開集合になるので、これは不可能である）。^[18]${\displaystyle 1,}$

もう 1 つの簡単な例として、が有限ルベーグ測度を持つの任意の稠密開部分集合である場合、 は必然的に無限ルベーグ測度を持つ の閉部分集合であり、 においてもどこにも稠密ではありません(位相的内部が空であるため)。このような有限ルベーグ測度の稠密開部分集合は、有理数のルベーグ測度が であることを証明する場合によく構築されます。これは、任意の全単射( は単に全射で十分です) と任意 の に対して (ここでは、ミンコフスキー和表記法を使用して区間の記述を簡略化しました) を選択することにより実行できます。開部分集合はにおいて稠密である。これは、これがその部分集合にも当てはまり、そのルベーグ測度が より大きくないからである 。開区間ではなく閉区間の和集合をとると、次を 満たすF _𝜎部分集合が得られる。 はどこにも稠密でない集合 の部分集合であるため、においてもどこにも稠密でない。 はベール空間である ため、集合は の稠密な部分集合であり（つまり、 はその部分集合がにおいてどこにも稠密でないということはあり得ない） 、ルベーグ測度は の非貧弱な部分集合でもある（つまり、 はの第 2 カテゴリに属する​​）ため、における内部も空であるの相似部分集合となる。ただし、における閉包が空の内部を持つ場合に限り、 においてどこにも稠密でない。この例の部分集合は の任意の可算な稠密な部分集合に置き換えることができ、さらに、集合 は任意の整数 に対してに置き換えることもできる。${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$${\displaystyle r>0,}$$${\displaystyle U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)}$$${\displaystyle f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)}$${\displaystyle U_{r}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.}$ $${\displaystyle S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]}$$${\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r},}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}}$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n>0.}$

• ベール空間 – 位相幾何学の概念
• スミス・ヴォルテラ・カントール集合 – 数学における実数の集合
• 貧弱集合 – 位相空間の「小さな」部分集合

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• 正の測度を持つ、どこにも密でない集合