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ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィヒ・フィリップ・カントール（ / ˈkæntɔːr /カントール、ドイツ語: [ ˈɡeːɔʁk ˈfɛʁdinant ˈluːtvɪç ˈfɪlɪp ˈkantoːɐ̯ ]、1845年3月3日（旧暦2月19日） - 1918年1月6日[ 1 ] ）は、数学の基礎理論となった集合論の創設において極めて重要な役割を果たした数学者です。カントールは、2つの集合の要素間の1対1対応の重要性を確立し、無限集合と整列集合を定義し、実数は自然数よりも多いことを証明しました。この定理のカントールの証明方法は、無限の無限の存在を暗示しています。彼は基数と序数、そしてそれらの算術を定義した。カントールの業績は哲学的に非常に興味深いものであり、彼自身もそのことをよく認識していた。[ 2 ]
当初、カントールの超限数理論は直感に反するもの 、あるいは衝撃的なものと見なされていました。そのため、レオポルド・クロネッカーやアンリ・ポアンカレ[ 3 ]などの同時代の数学者、そして後にヘルマン・ワイルやL.E.J.ブロウワーから抵抗を受け、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは哲学的異議を唱えました。カントールの理論をめぐる論争を参照してください。敬虔なルター派キリスト教徒であったカントール[ 4 ]は、この理論は神から授けられたものだと信じていました[ 5 ]。一部のキリスト教神学者（特に新スコラ学派）は、カントールの業績を神の本質における絶対的無限の唯一性への挑戦と見なし[ 6 ] 、ある時には超限数理論を汎神論[ 7 ] と同一視しましたが、カントールはこの主張を強く否定しました。すべての神学者がカントールの理論に反対していたわけではありません。著名な新スコラ哲学者コンスタンティン・グートベルレットはこれを支持しており、ヨハン・バプティスト・フランツェリン枢機卿は（カントールがいくつかの重要な説明を加えた後）これを有効な理論として受け入れた。[ 8 ]
カントールの研究に対する反対は時に激しいものであった。レオポルド・クロネッカーは公然と反対し、カントールを「科学的詐欺師」、「背教者」、「若者を堕落させる者」と非難した。[ 9 ]クロネッカーは、代数的数は可算であり、超越数は不可算であるというカントールの証明に反対したが、これらの結果は現在、標準的な数学カリキュラムに含まれている。カントールの死後数十年経ってから、ウィトゲンシュタインは、数学が「集合論の有害な慣用表現に隅々まで染み付いている」と嘆き、それを「まったくのナンセンス」であり「笑える」「間違っている」と一蹴した。[ 10 ]カントールが1884年から生涯の終わりまで繰り返したうつ病の発作は、同時代の多くの人々の敵対的な態度が原因だとされてきたが、[ 11 ]これらのエピソードは双極性障害の症状である可能性が高いと説明する人もいる。[ 12 ]
厳しい批判は後に称賛によって相殺された。1904年、王立協会はカントールに数学の業績に対して授与できる最高の栄誉であるシルベスター・メダルを授与した。 [ 13 ]デイヴィッド・ヒルベルトは「カントールが創造した楽園から誰も我々を追放することはできない」と宣言して批判からカントールを擁護した。[ 14 ] [ 15 ]
ゲオルク・カントールは1845年にロシア帝国のサンクトペテルブルクで生まれ、11歳まで同市で育った。6人兄弟の長男で、傑出したヴァイオリニストとして知られていた。父ゲオルク・ヴァルデマール・カントールはデンマーク人だったが、ナポレオン戦争中に家族とともにロシアに逃れた。母マリア・アンナ・ベームはオーストリア＝ハンガリー帝国出身で、サンクトペテルブルクで生まれた。[ 16 ]カントールの家族はルター派だったが、母はカトリック教徒として育った。[ 17 ]彼は父方の祖父母がコペンハーゲンのポルトガル系ユダヤ人コミュニティに属していたと述べている。[ 18 ]母方の祖父フランツ・ベーム（1788年 - 1846年、ヴァイオリニストのヨーゼフ・ベームの兄弟）は著名な音楽家で、ロシア帝国管弦楽団のソリストだった。[ 19 ]
カントールの父は、1856年に病気になるまでサンクトペテルブルク証券取引所でブローカーとして働いていたが、病気のため一家はより温暖な気候を求めて移住せざるを得なくなった。一家はドイツに移り、最初はヴィースバーデン、次にフランクフルトに住んだ。1860年、カントールはダルムシュタットの実科学校を優秀な成績で卒業した。特に三角法における彼の卓越した数学の才能は注目された。1862年8月、彼は「ダルムシュタット高等工芸学校」（現在のダルムシュタット工科大学）を卒業した。[ 20 ] [ 21 ] 1862年、カントールはチューリッヒのスイス連邦工科大学に入学した。 1863 年 6 月に父親が亡くなり、多額の遺産を相続した後、[ 22 ]カントールはベルリン大学に移り、レオポルド・クローネッカー、カール・ワイエルシュトラス、エルンスト・クンマーの講義に出席した。1866 年の夏は、当時もその後も数学研究の中心地であったゲッティンゲン大学で過ごした。カントールは優秀な学生で、1867 年に博士号を取得した。[ 22 ] [ 23 ]
カントールは1867年にベルリン大学に数論に関する博士論文を提出した。ベルリンの女子校で短期間教鞭を執った後、ハレ大学の職に就き、そこで生涯を過ごした。ハレ大学に着任した1869年に提出した、やはり数論に関する博士論文で、必要な教授資格を授与された。 [ 23 ] [ 24 ]
1874年、カントールはヴァリー・グットマンと結婚した。二人の間には6人の子供が生まれ、末っ子（ルドルフ）は1886年に生まれた。カントールは、父親からの遺産のおかげで、ささやかな大学での給料にもかかわらず家族を養うことができた。ハルツ山地での新婚旅行中、カントールはリヒャルト・デデキントと数学の議論に多くの時間を費やした。デデキントとは2年前にスイスのゲルザウで休暇中に知り合い、活発な数学の文通が始まっていた。[ 25 ] [ 26 ]
カントールは1872年に特別教授に昇進し、1879年に正教授になった。[ 23 ] [ 22 ] 34歳で後者の地位に達したことは注目すべき業績であったが、カントールはより権威のある大学、特に当時ドイツを代表する大学であったベルリンでの教授職を望んでいた。しかし、彼の研究はあまりにも多くの反対に遭い、それは不可能だった。 [ 27 ] 1891年に亡くなるまでベルリンで数学部門を率いていたクロネッカーは、カントールが若い世代の数学者に自分の考えを教えていることから、カントールを同僚にすることにますます不快感を抱くようになり、[ 28 ]カントールを「若者を堕落させる者」とみなした。[ 29 ]さらに悪いことに、数学界で確固たる地位を築いていたカントールの元教授であるクロネッカーは、1874年にカントールの最初の主要な著作の出版を意図的に遅らせて以来、カントールの研究の方向性に根本的に反対していた。[ 23 ]現在では数学における構成的観点の創始者の一人と見なされているクロネッカーは、カントールの集合論の多くが、特定の性質を満たす集合の存在を主張しながら、実際にそれらの性質を満たす集合の具体的な例を示していないことを嫌っていた。カントールがベルリンの職に応募するたびに却下され、その過程には通常クロネッカーが関わっていたため、[ 23 ]カントールはクロネッカーの姿勢によって自分がハレを離れることは不可能になるだろうと考えるようになった。[ 30 ]
1881年、カントールのハレ大学の同僚エドゥアルト・ハイネが死去した。ハレ大学は、ハイネの空席となった教授職をデデキント、ハインリヒ・M・ウェーバー、フランツ・メルテンスの順に提示するというカントールの提案を受け入れたが、彼らはそれぞれ提示された後に辞退した。最終的にフリードリヒ・ヴァンゲリンが任命されたが、彼はカントールとは決して親しくなかった。[ 26 ]
1882年、カントールとデデキントの間の数学的な書簡のやり取りは、デデキントがハレ大学の教授職を辞退したことが原因と思われるが、終了した。[ 31 ]カントールはまた、スウェーデンのゴスタ・ミッタク＝レフラーとの重要な書簡のやり取りも開始し、間もなくミッタク＝レフラーの雑誌『アクタ・マテマティカ』に論文を発表し始めた。しかし1885年、ミッタク＝レフラーはカントールが『アクタ』に投稿した論文の哲学的性質と新しい用語について懸念を抱いた。[ 32 ]彼はカントールに、校正段階で論文を『アクタ』 から撤回するよう求め、「… 100年ほど早すぎる」と書いた。カントールはそれに従ったが、その後ミッタク＝レフラーとの関係や書簡のやり取りを縮小し、第三者に宛てて次のように書いた。「ミッタク＝レフラーの思い通りになっていたら、私は1984年まで待たなければならなかっただろうが、それは私にはあまりにも大きな要求に思えた！...しかしもちろん、私はもう二度と『アクタ・マテマティカ』について何も知りたくない。」[ 33 ]
カントールが初めてうつ病を患ったことが知られているのは1884年5月である。[ 22 ] [ 34 ]作品に対する批判が彼の心を重く圧迫していた。1884年にミッターク＝レフラーに宛てた52通の手紙すべてにクロネッカーの名前が記されている。これらの手紙の1つからの抜粋は、カントールの自信がどれほど損なわれていたかを明らかにしている。
…いつ科学研究を再開できるかわかりません。今のところ、全く何もできず、講義という最も必要な義務に専念しています。必要な精神的な活力さえあれば、どれほど科学活動に励めることでしょう。[ 35 ]
この危機をきっかけに、彼は数学ではなく哲学の講師に応募するようになった。また、ウィリアム・シェイクスピア作とされる戯曲はフランシス・ベーコンが書いたという証拠があるかもしれないと考え、エリザベス朝文学の集中的な研究を始めた（シェイクスピアの作者問題を参照）。この研究は最終的に1896年と1897年に出版された2冊のパンフレットに結実した。[ 36 ]
カントールはその後すぐに回復し、対角線論法や定理など、さらに重要な貢献をした。しかし、1891年12月29日にクロネッカーが亡くなった後も、1874年から1884年にかけての傑出した論文の高水準に再び達することはなかった。[ 23 ]彼は最終的にクロネッカーとの和解を求め、それを実現した。しかし、彼らを隔てていた哲学的意見の相違と困難は続いた。
1889年、カントールはドイツ数学会の設立に尽力し[ 23 ]、1891年にハレで開催された最初の会合で議長を務め、そこで初めて対角線論法を発表しました。クロネッカーが彼の研究に反対していたにもかかわらず、彼の名声は高く、この学会の初代会長に選出されました。クロネッカーが彼に対して示した敵意を脇に置いて、カントールは彼に会合で講演するよう招待しましたが、クロネッカーは当時スキー事故で負傷した妻が死にかけていたため、講演することができませんでした。ゲオルク・カントールはまた、1897年にスイスのチューリッヒで開催された第1回国際数学者会議の設立にも尽力しました[ 23 ]。
カントールが1884年に入院した後、 1899年まで再び療養所に入院した記録はない。[ 34 ] 2度目の入院後まもなく、カントールの末息子ルドルフが12月16日に急死した（カントールはベーコン理論とウィリアム・シェイクスピアに関する自身の見解についての講演を行っていた）。この悲劇により、カントールは数学への情熱を大きく失った。[ 37 ]カントールは1903年に再び入院した。その1年後、第3回国際数学者会議でユリウス・ケーニヒが発表した論文に激怒し、動揺した。その論文は、超限集合論の基本原則が誤りであることを証明しようとしたものであった。その論文は娘や同僚の前で読まれたため、カントールは公に辱められたと感じた。[ 38 ]エルンスト・ツェルメロは、その1日も経たないうちにケーニヒの証明が失敗したことを証明したが、カントールは動揺したままで、一時的に神に疑問を抱いた。 [ 13 ]カントールは生涯慢性うつ病に苦しみ、そのために何度か教職を休まされ、様々な療養所に繰り返し入院した。1904年の出来事は、2、3年の間隔で入院を繰り返すことの始まりとなった。[ 39 ]しかし、彼は数学を完全に放棄したわけではなく、1903年にドイツ数学者協会の会合で集合論のパラドックス（ブラリ＝フォルティのパラドックス、カントールのパラドックス、ラッセルのパラドックス）について講演し、1904年にはハイデルベルクで開催された国際数学者会議に出席した。
1911年、カントールはスコットランドのセント・アンドリュース大学創立500周年記念式典に招待された著名な外国人学者の一人だった。カントールは、当時出版されたばかりの『プリンキピア・マテマティカ』の中で自身の研究を繰り返し引用していたバートランド・ラッセルに会うことを期待して式典に出席したが、その出会いは実現しなかった。翌年、セント・アンドリュース大学はカントールに名誉博士号を授与したが、病気のため本人が学位を受け取ることはできなかった。
カントールは1913年に引退し、第一次世界大戦中は貧困と栄養失調に苦しんだ。[ 40 ]戦争のため、彼の70歳の誕生日を祝う公式行事は中止された。1917年6月、彼は最後に療養所に入院し、妻に何度も手紙を書いて帰宅させてほしいと頼んだ。ゲオルク・カントールは、人生最後の1年間を過ごした療養所で、1918年1月6日に心臓発作で亡くなった。[ 22 ]
1970年、彼は月のカントール・クレーターにその名が付けられることで記念された。 [ 41 ]
カントールの1874年から1884年にかけての研究は、集合論の起源である。[ 42 ]この研究以前は、集合の概念は、アリストテレスの考えに遡る数学の始まり以来暗黙のうちに使用されてきた、かなり初歩的な概念であった。集合論に非自明な内容があることに気づいた者はいなかった。カントール以前には、有限集合（理解しやすい）と「無限」（数学的議論ではなく哲学的議論の対象と考えられていた）しか存在しなかった。カントールは、無限集合には（無限に）多くの可能なサイズがあることを証明することで、集合論は自明ではなく、研究する必要があることを確立した。集合論は、数学の伝統的な分野（代数学、解析学、位相幾何学など）のすべての数学的対象（例えば、数や関数）に関する命題を単一の理論で解釈し、それらを証明または反証するための標準的な公理セットを提供するという意味で、現代数学の基礎理論としての役割を果たすようになりました。集合論の基本概念は、現在では数学全体で使用されています。[ 43 ]
カントールは初期の論文の1つで、実数の集合は自然数の集合よりも「数が多い」ことを証明しました。これは、異なるサイズの無限集合が存在することを初めて示したものです。彼は集合論における1対1対応（以下「1対1対応」と表記）の重要性を最初に認識した人物です。2つの集合は、それらの間に1対1対応が存在する場合に同じ「サイズ」を持つと言われます。彼はこの概念を用いて有限集合と無限集合を定義し、後者を可算集合（または可算無限集合）と非可算集合（非可算無限集合）に細分化しました。[ 45 ]
カントールは位相幾何学と濃度との関係において重要な概念を発展させた。例えば、1875年にヘンリー・ジョン・スティーブン・スミスによって発見されたカントール集合[ 46 ]はどこにも稠密ではないが、すべての実数の集合と同じ濃度を持つことを示した。一方、有理数はどこにも稠密であるが可算である。また、端点のないすべての可算稠密線形順序は有理数と順序同型であることを示した。
カントールは集合論において、集合Aの冪集合（ Aのすべての可能な部分集合の集合）などの基本的な構成を導入しました。彼は後に、 Aが無限集合であっても、Aの冪集合のサイズはAのサイズよりも厳密に大きいことを証明しました。この結果はすぐにカントールの定理として知られるようになりました。カントールは、基数と順序数と呼ばれる無限集合の理論と算術全体を開発し、自然数の算術を拡張しました。基数を表す彼の記号はヘブライ文字の 1 でした。（ℵ、アレフ）自然数の添え字付き。序数にはギリシャ文字を用いた。（ω、オメガ）。この表記は現在でも使用されています。
カントールが提唱した連続体仮説は、ダフィット・ヒルベルトが1900年にパリで開催された国際数学者会議での講演で、23の未解決問題の最初のものとして提示した。カントールの研究は、ヒルベルトの有名な賛辞以外にも好意的な注目を集めた。 [ 15 ]アメリカの哲学者チャールズ・サンダース・パースはカントールの集合論を称賛し、1897年にチューリッヒで開催された第1回国際数学者会議でカントールが行った公開講演の後、アドルフ・フルヴィッツとジャック・アダマールも賞賛を表明した。この会議で、カントールはデデキントとの友情と文通を再開した。1905年から、カントールはイギリスの崇拝者で翻訳者のフィリップ・ジュールダンと集合論の歴史とカントールの宗教的思想について文通した。これは後に、彼の解説書のいくつかとともに出版された。
カントールの最初の 10 本の論文は、彼の学位論文のテーマであった数論に関するものでした。ハレ大学の教授であったエドゥアルト・ハイネの提案により、カントールは解析学に転向しました。ハイネは、ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ、ルドルフ・リプシッツ、ベルンハルト・リーマン、そしてハイネ自身も解決できなかった未解決問題、すなわち関数を三角級数で表現することの一意性について、カントールに解決するよう提案しました。カントールは 1869 年にこの問題を解決しました。この問題に取り組んでいるときに、彼は超限順序数を発見しました。これは、三角級数の零点の集合Sのn番目の派生集合S nのインデックスn として現れます。零点の集合がSである三角級数 f(x)が与えられたとき、カントールは零点の集合が S 1 である別の三角級数を生成する手順を発見しました。S k+1 がS kの極限点の集合である場合、彼は零点がS k+1である三角級数を構成することができました。集合S kは閉じていたため、極限点を含み、集合S、S 1、S 2、S 3 、... の無限減少列の共通部分が極限集合を形成し、これをS ωと呼びます。そして彼は、S ωも極限点の集合S ω+1を持つ必要があることに気づき、以下同様でした。彼は無限に続く例を持っていたので、ここに自然発生的な無限数ω、ω + 1、ω + 2、...の無限列がありました[ 47 ]
1870年から1872年の間に、カントールは三角級数に関する論文をさらに発表し、また無理数を有理数の収束列として定義する論文も発表した。1872年にカントールと親交を結んだデデキントは、同年後半に、デデキント切断による実数の定義を初めて提示した論文の中で、この論文を引用した。カントールは、無限基数という革新的な概念によって数の概念を拡張する一方で、逆説的に同時代のオットー・シュトルツとポール・デュ・ボワ＝レイモンの無限小の理論に反対し、それらを「忌まわしいもの」であり「数学のコレラ菌」であると評した。[ 48 ]カントールはまた、無限小の矛盾に関する誤った「証明」も発表した。[ 49 ]
カントールの 1874 年の論文[ 42 ]「Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen」（「すべての実代数的数の集合の性質について」）の発表は、集合論が数学の一分野として始まったことを示すものとしてしばしば考えられています。 [ 51 ]この論文は、無限には複数の種類があることを厳密に証明した最初の論文でした。それまでは、すべての無限集合は暗黙のうちに等数（つまり、「同じ大きさ」、または同じ数の要素を持つ）であると仮定されていました。[ 52 ]カントールは、実数と正の整数は1 対 1 で対応させることができず、したがって等数ではないことを証明しました。言い換えれば、実数は可算ではありません。彼の証明は、彼が1891年に提示した対角線論法とは異なる。[ 53 ]カントールの論文には、超越数を構成する新しい方法も含まれている。超越数は、 1844年にジョセフ・リウヴィルによって初めて構成された。[ 54 ]
カントールは、2 つの構成法を用いてこれらの結果を確立しました。彼の最初の構成法は、実代数的数[ 55 ]を数列a 1 , a 2 , a 3 ...として書く方法を示しています。言い換えれば、実代数的数は可算です。カントールは、任意の実数列から 2 番目の構成法を開始します。この数列を用いて、彼は、その交点に数列に含まれない実数が含まれるような入れ子になった区間を構成します。実数列はすべて、数列に含まれない実数を構成するために使用できるため、実数は数列として書くことはできません。つまり、実数は可算ではありません。カントールは、この構成法を実代数的数列に適用することで、超越数を生成します。カントールは、彼の構成法はさらに多くのもの、すなわち、リウヴィルの定理の新しい証明、つまり、すべての区間には無限個の超越数が含まれる[ 56 ]を提供すると付け加えています。カントールの次の論文には、超越数の集合が実数の集合と同じ「冪」（下記参照）を持つことを証明する構成法が含まれています。[ 57 ]
後にカントールとデデキントの間の書簡の分析により、代数的数の可算性の証明はデデキントによるものであり、彼はまたカントールの実数の非可算性の元の証明を大幅に簡略化したことが明らかになった。カントールは1874年の論文でデデキントの貢献を認めなかった。[ 25 ]
1879年から1884年にかけて、カントールは『Mathematische Annalen』誌に6つの論文を発表し、これらをまとめて彼の集合論の入門書とした。同時に、レオポルド・クロネッカーを筆頭にカントールの考えに対する反対意見が高まった。クロネッカーは、数学的概念は自然数から有限のステップで構築できる場合にのみ認め、自然数は直観的に与えられたものとみなした。クロネッカーにとって、カントールの無限の階層は受け入れられないものであった。なぜなら、実際の無限の概念を受け入れると、数学全体の妥当性を脅かすパラドックスへの扉が開かれることになるからである。[ 58 ]カントールはこの時期にカントール集合も導入した。
このシリーズの 5 番目の論文「集合の一般理論の基礎」（「集合の一般理論の基礎」）は 1883 年に発表され[ 59 ] 、 6 つの論文の中で最も重要であり、独立したモノグラフとしても発表されました。この論文には、カントールが批判者に対して答えた内容が含まれており、超限数が自然数の体系的な拡張であることを示しました。まず、整列集合を定義することから始めます。次に、順序数が整列集合の順序型として導入されます。カントールは、基数と順序数の加算と乗算を定義します。1885 年に、彼は順序型の理論を拡張し、順序数が単に順序型の特殊なケースとなるようにしました。
1891年、カントールは非可算集合の存在を証明する「対角線論法」を含む論文を発表した。彼は同じ考え方をカントールの定理の証明にも応用した。すなわち、集合Aの冪集合の濃度はAの濃度よりも厳密に大きいという定理である。これにより、無限集合の階層構造、そしてカントールが定義した基数と順序数の算術の豊かさが確立された。彼の論法は停止問題の解決とゲーデルの第一不完全性定理の証明において基礎となるものである。カントールは1894年にゴールドバッハ予想について論じた。
1895年と1897年に、カントールはフェリックス・クライン編集の『Mathematische Annalen』に2部構成の論文を発表しました。これらは、集合論に関する彼の最後の重要な論文でした。 [ 60 ]最初の論文は、集合、部分集合などを、現在でも概ね受け入れられる方法で定義することから始まります。基数と順序数の算術が復習されます。カントールは、2番目の論文に連続体仮説の証明を含めたかったのですが、整列集合と順序数の理論を提示することで妥協せざるを得ませんでした。カントールは、 AとBが集合であり、 AがBの部分集合と等価で、 BがAの部分集合と等価である場合、AとBは等価であることを証明しようと試みました。エルンスト・シュレーダーはこの定理を少し前に述べていましたが、彼の証明はカントールの証明と同様に欠陥がありました。フェリックス・ベルンシュタインは、1898年の博士論文で正しい証明を提供しました。そのため、カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理という名前が付けられました。
カントールの 1874 年のクレレ論文は、 1 対 1 対応の概念を初めて提唱したものであったが、彼はその用語は使用しなかった。その後、彼は単位正方形の点と単位線分の点との間の 1 対 1 対応を探し始めた。1877年のリヒャルト・デデキントへの手紙で、カントールははるかに強力な結果を証明した。任意の正の整数nに対して、単位線分の点とn次元空間のすべての点との間に 1 対 1 対応が存在する。この発見について、カントールはデデキントに次のように書いている。「私はそれを見るが、信じない！」[ 61 ]彼が非常に驚くべき結果だと感じたこの結果は、幾何学と次元の概念に影響を与える。
1878年、カントールはクレレのジャーナルに別の論文を提出し、1対1対応の概念を厳密に定義し、「冪」（ヤコブ・シュタイナーから借用した用語）または集合の「同値性」の概念を導入した。2つの集合は、それらの間に1対1対応がある場合に同値（同じ冪を持つ）である。カントールは、可算集合（または可算集合）を自然数と1対1に対応させることができる集合と定義し、有理数が可算であることを証明した。また、n次元ユークリッド空間R nは実数Rと同じ冪を持ち、 Rのコピーの可算無限積も同様であることを証明した。彼は可算性を概念として自由に用いたが、「可算」という言葉を書いたのは1883年になってからである。カントールはまた、次元についての考えを論じ、単位区間と単位正方形の間のマッピングは連続的なものではないことを強調した。
この論文はクロネッカーの不興を買い、カントールは撤回しようとしたが、デデキントが彼を説得して撤回させず、カール・ワイエルシュトラスもその出版を支持した。[ 62 ]それにもかかわらず、カントールはその後二度とクレレに論文を提出することはなかった。
カントールは、後に連続体仮説またはCHとして知られるようになるものを最初に定式化した人物である。すなわち、自然数の濃度よりも大きく、実数の濃度よりも小さい集合は存在しない（あるいは同等に、実数の濃度は少なくともアレフ1ではなく、正確にアレフ1である）。カントールは連続体仮説が正しいと信じ、長年にわたりそれを証明しようと試みたが徒労に終わった。連続体仮説を証明できなかったことが、彼に大きな不安を与えた。[ 11 ]
カントールが連続体仮説を証明するのに苦労したことは、その後の数学の発展によって強調されている。1940年のクルト・ゲーデルの結果と1963年のポール・コーエンの結果は、連続体仮説は標準的なツェルメロ＝フレンケル集合論と選択公理（「 ZFC 」と呼ばれる組み合わせ）を用いて証明も反証もできないことを示唆している。[ 63 ]
1883年、カントールは無限を超限と絶対に分けた。[ 64 ]
超限は大きさが増加するが、絶対は増加しない。例えば、順序数 α は α+1 まで増加できるため超限である。一方、順序数は絶対無限数列を形成し、それに加えるより大きな順序数がないため、大きさが増加することはない。[ 65 ] 1883 年、カントールは整列原理「すべての集合は整列可能である」を導入し、それを「思考の法則」と呼んだ。[ 66 ]
カントールは、絶対無限に関する自身の研究を証明に用いることで拡張した。1895 年頃、彼は整列原理を定理とみなし始め、それを証明しようと試みた。1899 年、彼は同値なアレフ定理の証明をデデキントに送った。すなわち、すべての無限集合の濃度はアレフである。[ 67 ]まず、彼は 2 種類の多重度を定義した。すなわち、一貫性のある多重度 (集合) と一貫性のない多重度 (絶対無限の多重度) である。次に、彼は順序数が集合を形成すると仮定し、これが矛盾につながることを証明し、順序数が一貫性のない多重度を形成すると結論付けた。彼はこの一貫性のない多重度を用いてアレフ定理を証明した。[ 68 ] 1932 年、ツェルメロはカントールの証明の構成を批判した。[ 69 ]
カントールは、多重性には2種類あることを認識することでパラドックスを回避した。彼の集合論では、順序数が集合を形成すると仮定すると、結果として生じる矛盾は、順序数が矛盾した多重性を形成することを意味するだけである。対照的に、バートランド・ラッセルはすべての集合を集合として扱ったため、パラドックスが生じた。ラッセルの集合論では、順序数が集合を形成するため、結果として生じる矛盾は、理論が矛盾していることを意味する。1901年から1903年にかけて、ラッセルは、彼の集合論が矛盾していることを示す3つのパラドックス、すなわち、ブラリ＝フォルティのパラドックス、カントールのパラドックス、およびラッセルのパラドックスを発見した。[ 70 ]ラッセルは、チェーザレ・ブラリ＝フォルティとカントールのどちらもパラドックスを発見したとは考えていなかったにもかかわらず、パラドックスに彼らの名前を付けた。[ 71 ]
1908年、ツェルメロは集合論の公理系を発表した。公理系を開発した動機は2つあった。パラドックスを解消することと、整列定理の証明を確固たるものにすることである。[ 72 ]ツェルメロは1904年に選択公理を用いてこの定理を証明したが、その証明は様々な理由で批判された。[ 73 ]その批判に対する彼の回答には、公理系と整列定理の新しい証明が含まれていた。彼の公理はこの新しい証明を支え、集合の形成を制限することでパラドックスを解消する。[ 74 ]
1923年、ジョン・フォン・ノイマンは、カントールと同様のアプローチ、すなわち集合ではないコレクションを特定し、それらを異なるものとして扱うことでパラドックスを解消する公理系を開発した。フォン・ノイマンは、クラスがすべての集合のクラスと1対1に対応できる場合、そのクラスは集合としては大きすぎると書いた。彼は、集合を何らかのクラスの要素であるクラスとして定義し、「クラスが集合でないのは、そのクラスとすべての集合のクラスとの間に1対1の対応がある場合のみである」という公理を仮定した。この公理は、これらの大きなクラスが集合ではないことを意味し、それらはどのクラスの要素にもなり得ないため、パラドックスを解消する。[ 75 ]フォン・ノイマンはまた、整列定理を証明するためにこの公理を使用した。カントールと同様に、彼は順序数が集合を形成すると仮定した。結果として生じる矛盾は、すべての順序数のクラスが集合ではないことを意味する。すると、彼の公理は、このクラスとすべての集合のクラスとの間に一対一の対応関係を与える。この対応関係はすべての集合のクラスを整列させ、整列定理を意味する。[ 76 ] 1930年、ツェルメロはフォン・ノイマンの公理を満たす集合論のモデルを定義した。[ 77 ]
実際の無限の存在という概念は、数学、哲学、宗教の重要な共通の関心事であった。神と数学の関係の正統性を維持することは、批判者たちが主張する形とは異なるものの、カントールにとって長きにわたる関心事であった。[ 78 ]彼は『一般多元論の基礎』の序文で、これらの学問分野の交わりについて直接言及し、無限に関する彼の見解と哲学的見解とのつながりを強調した。[ 79 ]カントールにとって、彼の数学的見解は、その哲学的および神学的意味合いと本質的に結びついていた。彼は絶対的な無限を神と同一視し[ 80 ]、超限数に関する彼の研究は、カントールを世界に啓示するために選んだ神から直接伝えられたものだと考えていた。[ 5 ]彼は敬虔なルター派信者であり、彼の明確なキリスト教的信念が彼の科学哲学を形成した。[ 81 ]ジョセフ・ドーベンは、カントールのキリスト教信仰が超限集合論の発展に与えた影響をたどった。[ 82 ] [ 83 ]
数学者の間での議論は、数学の哲学における実際の無限の性質に関する相反する見解から生じた。一部の数学者は、無限は数学的に正当ではない抽象概念であると主張し、その存在を否定した。 [ 84 ] 3つの主要な学派（構成主義とその2つの分派である直観主義と有限主義）の数学者は、この点でカントールの理論に反対した。クロネッカーのような構成主義者にとって、実際の無限の否定は、カントールの対角線論法のような非構成的な証明が何かの存在の十分な証明であるという考えに対する根本的な不一致から生じており、代わりに構成的な証明が必要であると主張している。直観主義もまた、実際の無限が何らかの現実の表現であるという考えを否定するが、その見解に至る過程は構成主義とは異なる。まず、カントールの議論は、超限数が実際の数学的実体として存在することを証明するために論理に基づいているのに対し、直観主義者は、数学的実体は論理命題に還元することはできず、心の直観に由来すると主張する。[ 85 ]第二に、人間の心は直観的に無限集合を構成できないため、現実の表現としての無限の概念自体が直観主義では認められない。[ 86 ] L. E. J. Brouwerや特にアンリ・ポアンカレなどの数学者は、カントールの著作に対して直観主義的な立場をとった。最後に、ウィトゲンシュタインの批判は有限主義的であった。彼は、カントールの対角線論法は基数または実数の集合の内包をその外延と混同し、集合を生成する規則の概念を実際の集合と混同していると信じていた。[ 10 ]
キリスト教神学者の中には、カントールの著作を、神の本質における絶対的無限の唯一性に対する挑戦とみなす者もいた。[ 6 ]特に、新トマス主義の思想家は、神以外の何かからなる実際の無限の存在は、「至高の無限に対する神の排他的主張」を危うくするものとみなした。[ 87 ]カントールは、これは無限の誤った解釈であると強く信じており、集合論がこの誤りを正すのに役立つと確信していた。[ 88 ]「超限種は、有限数と同様に、創造主の意図と絶対的かつ無限の意志に左右される」。[ 89 ]著名な新スコラ主義のドイツ人哲学者コンスタンティン・グートベルレットは、このような理論を支持し、それは神の本質と矛盾しないと主張した。[ 8 ]
カントールはまた、自身の超限数論が唯物論と決定論の両方に反すると考えており、ハレ大学で決定論的な哲学的信念を持たない唯一の教員であることに気づいて衝撃を受けた。[ 90 ]
カントールにとって、自身の哲学が自然の「有機的説明」を提供することは重要であり、1883年の『基礎論』の中で、そのような説明はスピノザとライプニッツの哲学の資源を利用することによってのみ生じると述べている。[ 91 ]これらの主張をするにあたり、カントールはベルリンで講義を受けていたF.A.トレンデレンブルクの影響を受けていた可能性がある。カントールはスピノザの『倫理学』第1巻のラテン語注釈を作成した。トレンデレンブルクはカントールの教授資格論文の審査員でもあった。[ 92 ] [ 93 ]
1888年、カントールは集合論の哲学的含意について複数の哲学者と交わした書簡を出版した。カントールは、他のキリスト教思想家や権威者に自らの見解を説得しようと広範囲にわたって試み、ティルマン・ペッシュやヨーゼフ・ホントハイム[94]などのキリスト教哲学者、そしてヨハン・バプティスト・フランツェリン枢機卿などの神学者と書簡を交わした。フランツェリン枢機卿はかつて、超限数の理論を汎神論と同一視して返答したことがある[ 7 ]。カントールがいくつかの説明を加えた後、フランツェリンは理論を受け入れた[ 8 ]。カントールはレオ13世教皇に直接手紙を1通送り、数冊のパンフレットも送った[ 88 ] 。
カントールの数の性質に関する哲学は、数学が物理現象の領域とは切り離された概念を、内在的現実の表現として想定し証明する自由を肯定するに至った。この形而上学的体系に対する唯一の制約は、すべての数学的概念が内在的矛盾を持たず、既存の定義、公理、定理から導かれることである。この信念は、「数学の本質はその自由である」という彼の主張に要約されている。[ 95 ]これらの考えは、カントールがハレで出会ったエドムント・フッサールの考えと類似している。[ 96 ]
一方、カントールは無限小に猛烈に反対し、それを「忌まわしいもの」「数学のコレラ菌」と呼んだ。[ 48 ]
カントールの1883年の論文は、彼が自分の考えが直面している反対意見をよく認識していたことを示している。「この試みにおいて、私は数学的無限に関する広く受け入れられている見解や、数の性質についてしばしば擁護されている意見と、ある種の対立関係にあることを認識している。」 [ 97 ]そのため、彼は以前の研究を正当化するために多くのスペースを割き、数学的概念は矛盾がなく、以前に受け入れられた概念によって定義される限り、自由に導入できると主張している。彼はまた、無限についてアリストテレス、ルネ・デカルト、ジョージ・バークリー、ゴットフリート・ライプニッツ、ベルナルド・ボルツァーノを引用している。彼は数学の哲学と形而上学の両方において、イマヌエル・カントの見解を常に強く否定した。彼はラッセルのモットー「カントかカントールか」を共有し、カントを「数学をほとんど知らないあの詭弁家野郎」と呼んだ。[ 98 ]
1970年代まで、カントールに関する主要な学術出版物は、アルトゥール・モーリッツ・シェーンフリース（1927年）とフランケル（1930年）による2冊の短いモノグラフ（主にミッターク＝レフラーとの往復書簡）であった。どちらも二次資料や三次資料であり、カントールの私生活についてはほとんど触れられていなかった。この空白を大部分埋めたのは、エリック・テンプル・ベルの『数学者たち』（1937年）であり、カントールの現代の伝記作家の一人はこれを「おそらく数学史に関する現代の最も広く読まれた本」であり、「最悪の本の一つ」と評した。[ 99 ]ベルは、カントールと父親の関係をエディプスコンプレックス、カントールとクロネッカーの意見の相違を2人のユダヤ人の間の争い、カントールの狂気を数学が認められなかったことに対するロマン主義的な絶望として描いている。グラッタン＝ギネスはこれらの主張はどれも真実ではないと結論づけたが、他に物語がなかったため、これらの主張はその後の多くの書籍に見られる。ベルとは無関係の伝説もいくつかあり、その中にはカントールの父親が身元不明の両親によってサンクトペテルブルクに送られた孤児だったとする伝説もある。 [ 100 ]ジョセフ・ドーベンの伝記にはベルの著書に対する批判が含まれている。[ 101 ]ドーベンは次のように書いている。
カントールは、最も辛辣な書簡のいくつかと『 Beiträge』の一部を、彼がかつて「数学の微小コレラ菌」と表現したものを攻撃することに費やした。それは、トーマエ、デュ・ボワ・レイモン、シュトルツの研究を通じてドイツからイタリアの数学に蔓延したものであり、微小量を受け入れることは必然的に彼自身の数の理論が不完全であることを意味した。したがって、トーマエ、デュ・ボワ・レイモン、シュトルツ、ヴェロネーゼの研究を受け入れることは、カントール自身の創造物の完全性を否定することであった。当然のことながら、カントールはヴェロネーゼの研究をあらゆる手段で貶めるための徹底的なキャンペーンを開始した。[ 102 ]
彼らは 1874 年 8 月 9 日に結婚し、スイスのインターラーケンで新婚旅行を過ごした。そこでカントールはデデキントと数学の議論に多くの時間を費やした。
したがって、数学の本質に関する多くの根本的な問いは、集合論に関する問いに還元できる。
カントールが自身の超限数に帰した宗教的側面は、異常なものとして軽視されるべきではない。また、それを忘れたり、数学者としての彼の存在から切り離したりするべきでもない。カントールの集合論の神学的側面は、その数学的内容を理解する上ではおそらく無関係かもしれないが、それでもなお、彼の理論を完全に理解し、それが初期段階でどのように発展したかを理解する上で不可欠である。
Wikiquoteにあるゲオルク・カントールに関する引用文
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