リチャード・デデキント

リチャード・デデキント
生まれる	( 1831-10-06 )1831年10月6日 ブラウンシュヴァイク、ブラウンシュヴァイク公国
死亡	1916年2月12日（1916-02-12）（84歳） ブラウンシュヴァイク、ドイツ帝国
国籍	ドイツ語
母校	ゲッティンゲン大学カロリナム校
知られている	デデキントカット デデキント-ペアノ公理 デデキントの定理 抽象代数 代数的数論 実数 論理主義
科学者としてのキャリア
フィールド	数学 数学の哲学
博士課程の指導教員	カール・フリードリヒ・ガウス

ユリウス・ヴィルヘルム・リヒャルト・デデキント（ドイツ語: [ˈdeːdəˌkɪnt] ; 1831年10月6日 - 1916年2月12日）は、ドイツの数学者であり、数論、抽象代数学（特に環論）、算術の公理的基礎に重要な貢献をした。彼の最もよく知られた貢献は、デデキント切断の概念による実数の定義である。彼はまた、現代の集合論の発展と、論理主義として知られる数学の哲学の先駆者と見なされている。

デデキントの父はブラウンシュヴァイクのコレギウム・カロリーヌムの管理者であったユリウス・レヴィン・ウルリッヒ・デデキントである。母はコレギウムの教授の娘、カロリーネ・ヘンリエッテ・デデキント（旧姓エンペリウス）である。^[1]リヒャルト・デデキントには3人の兄姉がいた。成人してからはユリウス・ヴィルヘルムという名前を名乗ることはなかった。彼はブラウンシュヴァイク（英語では「Brunswick」と呼ばれることが多い）で生まれ、そこで人生の大半を過ごし、亡くなった。彼の遺体はブラウンシュヴァイク中央墓地に埋葬されている。

デデキントは1848年にカロリヌム大学に入学し、その後1850年にゲッティンゲン大学に移った。そこでデデキントはモーリッツ・シュテルン教授から数論を教わった。ガウスは初級レベルではあったがまだ教えており、デデキントはガウスの最後の生徒となった。デデキントは1852年に「オイラー積分の理論について」という論文で博士号を取得した。この論文はデデキントのその後の出版物に見られるような才能を発揮するものではなかった。

当時、ドイツにおける数学研究の主要機関はゲッティンゲン大学ではなくベルリン大学であった。そのためデデキントは2年間の勉学のためベルリンに赴き、そこでベルンハルト・リーマンと同級生となり、1854年に二人とも博士号を授与された。デデキントはゲッティンゲンに戻り、私講師として確率と幾何学の講座を行った。デデキントはしばらくペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレに師事し、二人は良き友人となった。数学の知識に弱点が残っていたため、楕円関数とアーベル関数を研究した。しかし、ゲッティンゲンでガロア理論について講義した最初の人物でもあった。この頃、デデキントは代数と算術における群の概念の重要性を理解した最初の人物の一人となった。

1858年、彼はチューリッヒ工科学校（現在のチューリッヒ工科大学）で教鞭をとり始めた。1862年にカロリヌム大学が工科大学に昇格すると、デデキントは故郷のブラウンシュヴァイクに戻り、同大学で教鞭をとりながら残りの人生を過ごした。1894年に引退したが、時折教鞭をとり、出版を続けた。彼は結婚せず、姉のユリアと暮らした。

デデキントはベルリン科学アカデミー（1880年）、ローマ科学アカデミー、フランス科学アカデミー（1900年）に選出された。オスロ大学、チューリッヒ大学、ブラウンシュヴァイク大学から名誉博士号を授与された。

デデキントは工科学校で初めて微積分を教えていたときに、現在では実数の標準的な定義となっているデデキント切断(ドイツ語: Schnitt )という概念を考案しました。切断の考え方は、無理数が有理数を2 つのクラス (集合) に分割し、一方のクラス (大きい方) の数はすべて、もう一方のクラス (小さい方) の数よりも必ず大きいというものです。たとえば、2 の平方根は、平方が 2 未満のすべての非負数と負の数を小さい方のクラスに定義し、平方が 2 より大きい正の数を大きい方のクラスに定義します。数直線上のすべての位置には、有理数または無理数が含まれます。したがって、空の位置、ギャップ、または不連続は存在しません。デデキントは、無理数とデデキントのカットについての考えを、パンフレット「Stetigkeit und irrationale Zahlen」（「連続性と無理数」）の中で発表しました。^[2]現代用語では、Vollständigkeit、完全性。

デデキントは、2つの集合が1対1に対応している場合に、それらの集合を「相似」と定義した。 ^{[3]彼は相似性を利用して、}無限集合の 最初の^[4]正確な定義を与えた。集合が無限集合となるのは、「それ自身の適切な部分に相似」している場合、^[5]現代の用語で言えば、その適切な部分集合の1つと同数である場合である。したがって、自然数の集合N は、 Nのすべての要素の2乗であるNの部分集合と相似であることが示される( N → N ² )。

N     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
             ↓           
N 2    1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...

この分野におけるデデキントの業績は、集合論の創始者と一般に考えられているゲオルク・カントールの業績を先取りするものでした。同様に、数学の基礎に対する彼の貢献は、ゴットロープ・フレーゲやバートランド・ラッセルなど、論理主義の主要な支持者による後の業績を先取りするものでした。

デデキントは、ルジューヌ・ディリクレ、ガウス、リーマンの全集を編集した。デデキントは、ルジューヌ・ディリクレの研究から、代数体とイデアルの研究に進んだ。1863年、彼はルジューヌ・ディリクレの数論に関する講義を『数論講義』として出版した。これについては、次のように書かれている。

この本は確かにディリクレの講義に基づいており、デデキント自身も生涯を通じてこの本をディリクレの著書と呼んでいたが、本自体はディリクレの死後、大部分がデデキントによって完全に執筆された。

— エドワーズ、1983年

1879 年版と 1894 年版の『概要』には、環理論の基礎となるイデアルの概念を紹介する補足が含まれていました。(後にヒルベルトによって導入された「環」という語は、デデキントの著作には登場しません。) デデキントは、イデアルを、整数係数を持つ多項式方程式を満たす代数的整数で構成される数の集合のサブセットとして定義しました。この概念は、ヒルベルト、特にエミー・ネーターによってさらに発展しました。イデアルは、エルンスト・エドゥアルト・クンマーが1843 年にフェルマーの最終定理を証明しようとした試みの一環として考案されたイデアル数を一般化したものです。 (したがって、デデキントはクンマーの最も重要な弟子であったと言える。) 1882 年の論文で、デデキントとハインリヒ・マルティン・ウェーバーはイデアルをリーマン面に適用し、リーマン・ロッホの定理の代数的証明を与えた。

1888年に彼は、「数とは何か、そして数は何の役に立つのか？」（Ewald 1996: 790）[ ^{6]と題する短いモノグラフを出版し、その中で}無限集合の定義を述べた。彼はまた、数1と後続関数を基本概念とする自然数の公理的基礎を提唱した。翌年、ジュゼッペ・ペアノはデデキントを引用して、同等だがより単純な公理のセットを定式化し、これが現在では標準的なものとなっている。

デデキントは代数学に他の貢献もしている。例えば、1900年頃にはモジュラー格子に関する最初の論文を書いた。1872年、インターラーケンでの休暇中にデデキントはゲオルク・カントールと出会った。こうして互いを尊敬し合う永続的な関係が始まり、デデキントはカントールの無限集合に関する研究を賞賛した最初の数学者の一人となり、カントールの超限数に哲学的に反対していたレオポルド・クロネッカーとの論争において貴重な味方となった。^[7]

英語の主要文献:

• 1890. 「ケーファーシュタインへの手紙」、Jean van Heijenoort著、1967年。『数学論理学の資料集、1879-1931』。ハーバード大学出版局、98-103ページ。
• 1963年（明治34年）。数論に関するエッセイ。ビーマン、WW、編。そしてトランス。ドーバー。「Stetigkeit und irrationale Zahlen」および「Was sind und was sollen die Zahlen?」の英語翻訳が含まれています。
• 1996.代数的整数の理論。スティルウェル、ジョン編そしてトランス。ケンブリッジ大学プレス。Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlenの翻訳。
• エワルド、ウィリアム B. 編、1996 年。『カントからヒルベルトまで: 数学の基礎に関する参考書』、全 2 巻。オックスフォード大学出版局。
  • 1854年。「数学における新しい関数の導入について」754-61。
  • 1872年。「連続性と無理数」765-78ページ。（Stetigkeit...の翻訳）
  • 1888.数とは何か、そして数とは何であるべきか?、787–832。( Was sind und...の翻訳)
  • 1872–82、1899年。カンターとの書簡、843–77、930–40。

ドイツ語の主要文献:

• Gesammelte mathematische Werke (数学全集、第 1 ～ 3 巻)。^[8] 2009 年 8 月 5 日に取得。

• リヒャルト・デデキントにちなんで名付けられたもののリスト
• デデキントカット
• デデキントドメイン
• デデキントイータ関数
• デデキント無限集合
• デデキント数
• デデキント psi 関数
• デデキント和
• デデキントゼータ関数
• 理想（環理論）

• Biermann, Kurt-R (2008)。「Dedekind, (Julius Wilhelm) Richard」。科学伝記完全辞典。第 4 巻。デトロイト: Charles Scribner's Sons。pp. 1–5。ISBN 978-0-684-31559-1。

• Edwards, HM , 1983, 「デデキントの理想の発明」Bull. London Math. Soc. 15 : 8–17。
• ウィリアム・エヴァーデル（1998年）。『The First Moderns 』シカゴ：シカゴ大学出版局。ISBN 0-226-22480-5。
• Gillies、Douglas A.、1982 年。算術の基礎に関するフレーゲ、デデキント、ペアノ。オランダ、アッセン：ファン・ゴーカム。
• フェレイロス、ホセ、2007 年。『思考の迷宮: 集合論の歴史と現代数学におけるその役割』バーゼル: ビルクハウザー、第 3 章、第 4 章、第 7 章。
• アイヴァー・グラッタン・ギネス、2000年。 『数学的根源の探求 1870-1940』プリンストン大学出版局。

デデキントに関する二次文献のオンライン書誌があります。また、スティルウェルの「デデキント入門」(1996) も参照してください。

Wikiquote にリチャード・デデキントに関連する引用句があります。

ウィキメディア・コモンズには、リチャード・デデキンドに関連するメディアがあります。

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「リチャード・デデキント」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• プロジェクト・グーテンベルクのリチャード・デデキントの作品
• インターネット アーカイブにあるリチャード デデキントの著作またはリチャード デデキントに関する作品
• デデキント、リチャード、数論に関するエッセイ。オープン コート パブリッシング カンパニー、シカゴ、1901 年。インターネットアーカイブ
• デデキントの数学の基礎への貢献 http://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/.