位相空間

数学において、位相空間とは、大まかに言えば、近さが定義されるが、必ずしも数値的な距離で測定できるとは限らない幾何学的空間である。より具体的には、位相空間とは、点と呼ばれる要素と、位相と呼ばれる追加の構造を持つ集合であり、位相は、近さの概念を形式化するいくつかの公理を満たす各点の近傍の集合として定義できる。位相には同等の定義がいくつかあるが、最も一般的に使用されるのは開集合による定義であり、これは他の定義よりも操作が容易である。

位相空間は、極限、連続性、連結性の定義を可能にする最も一般的なタイプの数学的空間です。^{[1] [2]位相空間の一般的なタイプには}、ユークリッド空間、計量空間、多様体などがあります。

位相空間の概念は非常に一般的ですが、基本的なものであり、現代数学のほぼすべての分野で使用されています。位相空間自体の研究は、点集合位相または一般位相と呼ばれます。

1735年頃、レオンハルト・オイラーは、凸多面体、つまり平面グラフの頂点数 (V)、辺数 (E)、面数 (F) を関連付ける公式を 発見した。この公式の研究と一般化は、特にコーシー(1789–1857) とルイリエ(1750–1840) によって行われ、位相幾何学の研究が促進された。1827年、カール・フリードリヒ・ガウスは『曲面の一般研究』を出版し、その第3節で、現代の位相幾何学の理解に似た方法で曲面を定義している。「曲面は、点AからAから無限小距離にある表面の点に引いたすべての直線の方向が、Aを通る1つの同一平面から無限小に偏向している場合、その点Aの1つで連続的な曲率を持つという。」^{[3] [非一次ソースが必要]}${\displaystyle V-E+F=2}$

しかし、「 1850年代初頭のリーマンの研究までは、曲面は常に局所的な観点から（パラメトリック曲面として）扱われ、位相的な問題は考慮されることはなかった」^[4] 。 「 （コンパクトな）曲面の位相に関する主な問題は、曲面の同値性を決定するための不変量（できれば数値的）を見つけること、つまり2つの曲面が同相であるかどうかを決定することであると最初に認識したのは、メビウスとジョーダンであると思われる。」^[4]

この主題は、フェリックス・クラインの「エアランゲン計画」（1872年）で明確に定義されている。つまり、任意の連続変換の幾何学的不変量、一種の幾何学である。「位相幾何学」という用語は、ヨハン・ベネディクト・リスティングによって1847年に導入されたが、彼は数年前に書簡の中で、それ以前に使用されていた「位置解析」の代わりにこの用語を使用していた。任意の次元の空間に対するこの科学の基礎は、アンリ・ポアンカレによって作られた。この主題に関する彼の最初の論文は1894年に発表された。^[5] 1930年代に、ジェームズ・ワデル・アレクサンダー2世とハスラー・ホイットニーは、表面は局所的にユークリッド平面のような位相空間であるという考えを初めて表明した。

位相空間は、1914年にフェリックス・ハウスドルフが彼の代表作『集合論の原理』で初めて定義した。距離空間は1906年にモーリス・フレシェによってすでに定義されていたが、「距離空間」（ドイツ語：metrischer Raum ）という用語を普及させたのはハウスドルフであった。^{[6] [7] [より適切な情報源が必要]}

位相の概念の有用性は、この数学的構造の同等の定義が複数存在するという事実によって示されます。したがって、アプリケーションに適した公理化を選択します。最も一般的に使用されるのは開集合に関するものですが、おそらくより直感的なのは近傍に関するものなので、これを最初に示します。

この公理化はフェリックス・ハウスドルフによるものです。を（空の可能性のある）集合とします。 の要素は通常点と呼ばれますが、任意の数学的対象にすることができます。を の空でない部分集合のコレクション内の各（点）に割り当てる関数とします。の要素は、 に関するの近傍（または、単にの近傍）と呼ばれます。以下の公理^[8]が満たされる場合、関数は近傍位相と呼ばれます。また、を とする は位相空間と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

1. が（すなわち）の近傍である場合、 言い換えれば、集合の各点はに関するその近傍のそれぞれに属します。${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x\in N.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
2. が のサブセットであり、 の近傍を含む場合、はの近傍である。 すなわち、点の近傍のあらゆるスーパーセットは、 の近傍でもある。${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x.}$
3. の2つの地区の交差点は、${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$
4. の任意の近傍には、の各点の近傍となるようなの近傍が含まれる。${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M.}$

近傍の最初の3つの公理は明確な意味を持っています。4番目の公理は、異なる点の近傍を結びつけるという理論の構造において非常に重要な役割を持っています。${\displaystyle X.}$

このような近傍系の標準的な例としては、実数直線の部分集合が、以下の開区間を含む場合に実数の近傍であると定義されるものがある。${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

このような構造が与えられた場合、の部分集合はが 内のすべての点の近傍である場合に開集合であると定義されます。開集合は、次の位相空間の定義で示される公理を満たします。逆に、位相空間の開集合が与えられた場合、上記の公理を満たす近傍は、が次のような開集合を含む場合にを の近傍と定義することで復元できます^。[9]${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in U.}$

集合X上の 位相は、 Xの部分集合の集合として定義することができ、開集合と呼ばれ、以下の公理を満たす: ^[10] ${\displaystyle \tau}$

1. 空集合とそれ自身は${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$
2. の任意の（有限または無限の）メンバーの和集合は、${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau .}$
3. の任意の有限個の要素の交差は、${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau .}$

この位相の定義は最も一般的に使用されているため、開集合の集合は一般に位相と呼ばれます。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X.}$

部分集合は、その補集合が開集合で ある場合に閉じていると言われます。${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus C}$

1. 上の自明なまたは離散的でない位相が与えられた場合、公理によって要求される2つの部分集合のみからなる族は上の位相を形成する。${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
2. 6つの部分集合の集合の族が与えられた場合、別の位相は${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$$${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
3. 上の離散位相がの冪集合であるとすると、のすべての可能な部分集合からなる族が となります。この場合、位相空間は離散空間と呼ばれます。${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau =\wp (X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle (X,\tau )}$
4. 整数の集合が与えられた場合、整数の有限部分集合の族にそれ自身を加えたものは位相ではない。なぜなら、（例えば）ゼロを含まない有限集合の和集合は有限ではなく、したがって有限集合の族のメンバーではないからである。ゼロを含まない有限集合の和集合もすべてではないので、${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \tau .}$

ド・モルガンの法則を用いると、開集合を定義する上記の公理は閉集合を定義する公理になる。

1. 空集合と は閉じています。${\displaystyle X}$
2. 任意の閉集合の集合の交差も閉じています。
3. 任意の有限個の閉集合の和集合も閉じています。

これらの公理を使用して、位相空間を定義する別の方法は、の閉じた部分集合のコレクションと一緒に の集合として定義することです。したがって、位相内の集合は閉集合であり、 内のそれらの補集合は開集合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$

位相空間を定義する同等の方法は他にもたくさんあります。言い換えれば、近傍の概念、または開集合や閉集合の概念は、他の出発点から再構築でき、正しい公理を満たすことができます。

位相空間を定義する別の方法は、クラトフスキー閉包公理を使用することです。これは、閉集合を、${\displaystyle X.}$

ネットはシーケンスの概念を一般化したものです。ネットごとにその蓄積ポイントの集合が指定されている場合、トポロジは完全に決定されます。 ${\displaystyle X}$

位相空間を形成する集合上には、多くの位相を定義できます。位相のどの開集合も位相に対して開いている場合、はよりも細かく、はよりも粗いといいます。特定の開集合の存在のみに依存する証明は、より細かい位相に対しても成り立ち、同様に、特定の集合が開集合でないことにのみ依存する証明は、より粗い位相に対しても適用されます。より細かい、より粗いの代わりに、それぞれ大きい、より小さいという用語が使用されることがあります。文献ではより強い、より弱いという用語も使用されていますが、意味についてはほとんど合意が得られていないため、読むときは常に著者の慣例を確認する必要があります。 ${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle \tau_{2},}$${\displaystyle \tau_{2}}$${\displaystyle \tau_{1},}$${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle \tau_{2}.}$

与えられた固定集合上のすべての位相の集合は完全な格子を形成する。 が 上の位相の集合である場合、の交わりはの共通部分であり、の結合はのすべての要素を含む 上のすべての位相の集合の交わりである。${\displaystyle X}$${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F.}$

位相空間間の関数が連続的 であるとは、 の任意の近傍と の任意の近傍に対してとなるの近傍が存在することである。これは解析学における通常の定義と簡単に関連している。同様に、 は任意の開集合の逆像が開集合である場合に連続的である。 ^[11] これは、関数に「ジャンプ」や「分離」が存在しないという直感を捉えようとする試みである。同相写像とは、連続であり、その逆も連続である単射である。2 つの空間の間に同相写像が存在する場合、それらの空間は同相的であると呼ばれる。位相幾何学の観点からは、同相空間は本質的に同一である。^[12]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$${\displaystyle f}$

圏論における基本圏の 1 つにTopがあり、これは位相空間を対象とし、射が連続関数である位相空間の圏を表します。この圏の対象(同相写像まで)を不変量で分類する試みは、ホモトピー理論、ホモロジー理論、K 理論などの研究分野に影響を与えてきました。

与えられた集合には、多くの異なる位相が存在する可能性があります。集合に異なる位相が与えられた場合、それは異なる位相空間として見られます。任意の集合には、すべての部分集合が開いている離散位相を与えることができます。この位相で収束するシーケンスまたはネットは、最終的に定数になるものだけです。また、任意の集合には、空集合と空間全体だけが開いている自明な位相(非離散位相とも呼ばれる) を与えることができます。この位相のすべてのシーケンスとネットは、空間のすべての点に収束します。この例は、一般的な位相空間では、シーケンスの極限が一意である必要がないことを示しています。ただし、多くの場合、位相空間は、極限点が一意であるハウスドルフ空間である必要があります。

任意の有限集合上には多数の位相が存在します。このような空間は有限位相空間と呼ばれます。有限空間は、位相空間一般に関する推測の例や反例を提供するために使用されることがあります。

任意の集合は、開集合が空集合で補集合が有限であるような共有限位相を持つことができる。これは任意の無限集合上の最小のT ₁^{位相である。 [13]}

任意の集合には、可算位相を与えることができます。可算位相では、集合が空であるか、その補集合が可算である場合に、その集合は開集合であると定義されます。集合が非可算である場合、この位相は多くの状況で反例として機能します。

実数直線には、下限位相を与えることもできます。ここで、基本的な開集合は、半開区間 です。 この位相は、上で定義したユークリッド位相よりも厳密に細かくなっています。つまり、シーケンスがこの位相の点に収束するのは、ユークリッド位相で上から収束する場合のみです。この例は、セット上には多くの異なる位相が定義される可能性があることを示しています。 ${\displaystyle [a,b).}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

が順序数である場合、集合は区間とによって生成される順序位相を付与される。ここで、とは次の要素である。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ),}$ ${\displaystyle [0,\beta ),}$${\displaystyle (\alpha ,\gamma )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma .}$

すべての多様体は局所ユークリッドなので、自然な位相を持ちます。同様に、すべての単体とすべての単体複体はから自然な位相を継承します。

シェルピンスキー空間は最も単純な非離散位相空間です。計算理論と意味論に重要な関係があります。

位相空間のすべての部分集合には、より大きな空間の開集合と部分集合との交差が開集合となるような部分空間位相を与えることができる。位相空間の任意のインデックス付き族に対して、積には積位相を与えることができ、これは射影写像の下での因子の開集合の逆像によって生成される。たとえば、有限積では、積位相の基底は開集合のすべての積から構成される。無限積の場合、基本開集合において、その射影の有限個を除くすべてが空間全体であるという追加の要件がある。

商空間は次のように定義されます: が位相空間で が集合であり、 が全射関数である場合、 上の商位相はの下で開逆像を持つの部分集合の集合です。言い換えると、商位相はが連続する上の最も細かい位相です。商位相の一般的な例は、同値関係が位相空間 上で定義される場合です。この場合、 写像は同値類の集合 への自然な射影です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$

レオポルド・ヴィエトリスにちなんで名付けられた位相空間の空でない部分集合全体の集合上のヴィエトリス位相は、次の基底によって生成される。の開集合の各組に対して、 の和集合の各部分集合と空でない交差を持つすべての部分集合からなる基底集合を構築する。${\displaystyle X,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}.}$

局所コンパクトポーランド空間のすべての空でない閉部分集合の集合上のフェル位相は、ヴィエトリス位相の変形であり、数学者ジェームズ・フェルにちなんで名付けられました。フェル位相は、次の基底によって生成されます。の開集合のすべての-組とすべてのコンパクト集合に対して、から互いに素であり、かつ と空でない交差を持つ のすべての部分集合の集合は、基底のメンバーです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U_{i}}$

距離空間は、点間の距離の正確な概念 である距離を具体化します。

すべての計量空間には計量位相を与えることができ、その場合、基本開集合は計量によって定義される開球である。これは、任意のノルム付きベクトル空間上の標準位相である。有限次元ベクトル空間では、この位相はすべてのノルムに対して同じである。

実数集合上の位相を定義する方法は多数あります。 上の標準的な位相は、開区間によって生成されます。すべての開区間の集合は位相の基底または基数を形成します。つまり、すべての開集合は基底からの集合の集合の和集合です。特に、これは、集合内のすべての点について半径がゼロでない開区間が存在する場合、その集合は開集合であることを意味します。より一般的には、ユークリッド空間に位相を与えることができます。上の通常の位相では、基本開集合は開球 です。同様に、複素数集合、、 には、基本開集合が開球 である標準的な位相があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

任意の代数的対象に対して、離散位相を導入することができます。離散位相の下では、代数的演算は連続関数です。有限でない任意のそのような構造に対して、代数的演算が連続的であるという意味で、代数的演算と互換性のある自然な位相が存在することがよくあります。これにより、位相群、位相ベクトル空間、位相環、局所体などの概念が生まれます。

任意の局所体には固有の位相があり、これをその体上のベクトル空間に拡張できます。

ザリスキ位相は、環または代数多様体のスペクトル上で代数的に定義されます。ザリスキ位相上または閉集合は、多項式方程式系の解集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

• スペクトル: 空間がスペクトル的であるためには、それが環の素スペクトルである必要があります(ホッホスターの定理)。
• 特殊化事前順序: 空間において、特殊化事前順序(または標準事前順序)は、がクラトフスキー閉包公理を満たす演算子を表す場合、かつ の場合にのみによって定義されます。${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$

が集合上のフィルタである場合、が集合上のトポロジである。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$${\displaystyle X.}$

関数解析における線形演算子の多くのセットには、特定の関数シーケンスがゼロ関数に収束するタイミングを指定することによって定義されるトポロジが備わっています。

線型グラフは、頂点と辺を持つグラフの幾何学的側面の多くを一般化する自然なトポロジを持ちます。

自由群 の外部空間は、 ^[14]の第1巻のいわゆる「マークされた計量グラフ構造」から構成される。${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}.}$

位相空間は、同相写像に至るまで、位相的性質によって大まかに分類できます。位相的性質とは、同相写像の下で不変な空間の性質のことです。2 つの空間が同相でないことを証明するには、それらの空間に共通しない位相的性質を見つければ十分です。このような性質の例には、連結性、コンパクト性、さまざまな分離公理などがあります。代数的不変量については、代数的位相幾何学を参照してください。

• 完全な Heyting 代数- 包含によって順序付けられた与えられた位相空間のすべての開集合のシステムは、完全な Heyting 代数です。
• コンパクト空間 – 数学的空間の種類
• 収束空間 – 一般位相幾何学における収束の概念の一般化
• 屋外スペース
• ハウスドルフ空間 – 位相空間の種類
• ヒルベルト空間 – 位相ベクトル空間の一種
• 半連続性 – 集合値関数の半連続性
• 線形部分空間 – 数学ではベクトル部分空間
• 準位相空間 – あらゆるコンパクトハウスドルフ空間Kに、特定の自然条件を満たす写像K→Cの集合を関連付ける関数を備えた集合XPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 相対的にコンパクトな部分空間 - 閉包がコンパクトな位相空間の部分集合Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 空間（数学）  - 構造が追加された数学的な集合

• アームストロング、MA (1983) [1979]。基礎トポロジー。数学の学部テキスト。シュプリンガー。ISBN 0-387-90839-0。
• Bredon, Glen E. , Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics)、Springer; 第1版(1997年10月17日)。ISBN 0-387-97926-3。 
• ブルバキ、ニコラ、数学の要素：一般位相幾何学、アディソン・ウェズリー（1966年）。
• ブラウン、ロナルド(2006)。トポロジーと群論。Booksurge。ISBN 1-4196-2722-8。(タイトルが異なる書籍の第 3 版)
• チェフ、エドゥアルド；ポイントセット、アカデミックプレス（1969年）。
• フルトン、ウィリアム、「代数的位相学」（Graduate Texts in Mathematics）、Springer、第1版（1997年9月5日）。ISBN 0-387-94327-7。 
• Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013).コンパクト表面の分類定理ガイド. Springer.
• ガウス、カール・フリードリヒ（1827）。曲面の一般的な研究。
• リプシュッツ、シーモア。Schaum の一般トポロジーの概要、McGraw-Hill。初版（1968年6月1日）。ISBN 0-07-037988-2。 
• マンクレス、ジェームズ；トポロジー、プレンティスホール；第2版（1999年12月28日）。ISBN 0-13-181629-2。 
• Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext)、Springer; 第1版 (2005年7月6日)。ISBN 0-387-25790 -X。 
• シューベルト、ホルスト（1968）、トポロジー、マクドナルドテクニカル＆サイエンティフィック、ISBN 0-356-02077-0
• Steen, Lynn A.およびSeebach, J. Arthur Jr. ; Counterexamples in Topology、 Holt, Rinehart and Winston (1970)。ISBN 0-03-079485-4。 
• ヴァイダナタスワミ、R. (1960)。集合トポロジー。チェルシー出版。ISBN 0486404560。
• ウィラード、スティーブン (2004)。一般位相幾何学。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。

Wikiquote には位相空間に関する引用があります。

• 「位相空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]