凝縮された数学

凝縮数学は、ダスティン・クラウゼンとピーター・ショルツによって開発された理論であり、位相群上でホモロジー代数を行う際のいくつかの技術的な問題を解決するために、位相空間を特定の集合の層に置き換えます。

ある人によると^{[誰? ]、}この理論は位相幾何学、複素幾何学、代数幾何学を含むさまざまな数学の分野を統一することを目的としている。^[要出典]

理論の発展における基本的な考え方は、位相空間を、以下に定義される凝縮集合に置き換えることによって得られる。凝縮集合のカテゴリ、および凝縮アーベル群などの関連カテゴリは、位相空間のカテゴリよりもはるかに適切に動作する。特に、位相アーベル群のカテゴリとは異なり、凝縮アーベル群のカテゴリはアーベルカテゴリであり、これにより、それらの構造の研究において ホモロジー代数のツールを使用することができる。

凝縮数学の枠組みは十分に一般的なものであるため、凝縮代数で評価される層を持つさまざまな「空間」を考慮することで、代数幾何学、p進解析幾何学、複素解析幾何学を組み込むことができると期待できます。^[1]

凝縮数学では、液体ベクトル空間は位相ベクトル空間の代替となる。^{[2] [3]}

凝縮集合は、写像の有限かつ共射影的な集合によって与えられるグロタンディーク位相を持つ、原有限集合のサイト上の集合の層です。同様に、凝縮群、凝縮環などは、このサイト上の群、環などの層として定義されます。

任意の位相空間には、慣例的に と表記される凝縮集合を関連付けることができます。凝縮集合は、任意の原限集合に連続写像の集合を関連付けます。 が位相群または位相環である場合、 は 凝縮群または凝縮環です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\underline {X}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\underline {X}}}$

2013年、バーガフ・バットとピーター・ショルツェは、任意のスキームと関連したプロエタールサイトの一般的な概念を導入した。2018年、ダスティン・クラウゼンとショルツェは、上で導入されたプロ有限集合のサイトに同型である単一点のプロエタールサイトは、その上の層として位相空間の大きなクラスを実現するのに十分な構造をすでに持っているという結論に達した。さらなる発展により、凝縮集合と立体アーベル群の理論が生まれ、それを通じて非アルキメデス幾何学を理論に組み込むことができるようになった。 ^[4]

2020年にショルツは、液体ベクトル空間の概念を用いて、関数解析と複素幾何学を凝縮数学の枠組みに組み込むことを可能にする結果の証明を完了した。議論は非常に微妙であることが判明し、結果の妥当性についての疑問を取り除くために、彼は他の数学者に形式化され検証された証明を提供するよう依頼した。^{[5] [6]} 6か月間にわたり、ヨハン・コメリン率いるグループは、証明支援ツールLeanを用いて証明の中心部分を検証した。^{[7] [6]} 2022年7月14日現在、証明は完了している。^[8]

偶然にも、2019年にバーウィックとヘインが同様のピュクノティックオブジェクトの理論を発表しました。この理論は凝縮集合の理論と非常に密接に関連していますが、主な違いは本質的に集合論的であるということです。ピュクノティック理論はグロタンディーク宇宙の選択に依存しますが、凝縮数学はZFCの範囲内で厳密に展開できます。^[9]

• 液体ベクトル空間
• ピクノティックセット

• https://mathoverflow.net/questions/441838/condensed-vs-pykonic-vs-consequential
• https://mathoverflow.net/questions/tagged/condensed-mathematics
• https://math.stackexchange.com/questions/4044728/examples-of-the-difference-between-topological-spaces-and-condensed-sets

• ショルツ、ピーター (2019)。「凝縮数学の講義」(PDF)。
• ショルツ、ピーター (2020)。「解析幾何学の講義」(PDF)。
• クラウゼン、ダスティン、ショルツ、ピーター (2022)。「凝縮数学と複素幾何学」(PDF)。
• Pstrągowski, Piotr Tadeusz (2020-11-09). 「Masterclass in Condensed Mathematics」www.math.ku.dk . 2021-06-21に閲覧。
• 「凝縮数学に関するノート」（PDF）。シカゴ大学数学 REU 2023。