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| 五角錐 | |
|---|---|
 | |
| タイプ | ピラミッド ジョンソン J 1 – J 2 – J 3 |
| 顔 | 5 つの三角形 1 つの五角形 |
| エッジ | 10 |
| 頂点 | 6 |
| 頂点構成 | [1] |
| 対称グループ | |
| 二面角（度） | ジョンソン固体として:
|
| 二重多面体 | 自己双対 |
| プロパティ | 凸、 基本（ジョンソン立体） |
| ネット | |
 | |
幾何学において、五角錐は、五角形の底面と5つの三角形の面を持ち、合計6つの面を持つピラミッドです。すべての辺の長さが等しく、正三角形の面と正五角形の底面を形成する場合、ジョンソン立体として分類されます。五角錐は、多くの多面体の構築において部品やツールとして使用されます。また、立体化学、特に五角錐分子幾何学にも登場します。
プロパティ
五角錐には、6 つの頂点、10 の辺、6 つの面があります。その面の 1 つは五角形で、ピラミッドの底面です。他の 5 つは三角形です。[2] 5 つの辺は 5 つの頂点を結んで五角形を構成し、残りの 5 つの辺はピラミッドの側辺と呼ばれ、頂点と呼ばれる 6 番目の頂点で出会います。[3]五角錐は、その底面が正五角形を形成する円に外接している場合に正五角形であると言われ、その高さが底面の中心に対して垂直に立てられている場合に正五角形であると言われます。 [4]
正多角形を底辺とする他の直角錐と同様に、このピラミッドは巡回群のピラミッド対称性を持つ。すなわち、ピラミッドは対称軸 （頂点と底辺の中心を結ぶ線）の周りを 5 回転して 1、2、3、4 回転しても不変である。また、底辺の二等分線を通る任意の垂直平面に対して鏡映対称である。 [1]これはホイール グラフとして表すことができ、つまりその骨格は5 つの頂点が中心の頂点(普遍頂点と呼ばれる) とつながる五角形として解釈できる。[5]これは自己双対であり、つまりその双対多面体は五角錐そのものである。[6]
すべての辺の長さが等しい場合、5 つの三角形の面は正三角形で、底辺は正五角形です。このピラミッドは凸型のままで、すべての面が正多角形であるため、第 2ジョンソン立体 に分類されます。[7]隣接する 2 つの三角形の面の間の二面角は約 138.19° で、三角形の面と底辺の間の二面角は 37.37° です。[1]これは基本多面体であり、平面で分離して 2 つの小さな凸多面体にすることはできません。[8] 多面体の表面積は、その面の面積の合計です。したがって、五角錐の表面積は、4 つの三角形と 1 つの五角形の面積の合計です。すべてのピラミッドの体積は、底面積の 3 分の 1 に高さを掛けたものに等しくなります。したがって、五角錐の体積は高さと五角錐の面積の積の3分の1です。[9]辺の長さが のジョンソン立体の場合、その表面積と体積は次のようになります。[10]
アプリケーション
五角錐は多くの多面体の構成要素として見られます。別の多面体の五角面に底辺を取り付けることは、拡張と呼ばれる構築プロセスの例であり、角柱または反角柱に取り付けることは、それぞれ伸長またはジャイロ伸長として知られています。[11]多面体の例としては、正十二面体の各五角面に五角錐の底辺を取り付けることで構築されるペンタキス十二面体、五角錐で星型化された正十二面体から構築される小星型十二面体、および五角形の反角柱の五角形の底辺に2つの五角錐を取り付けることで構築される正二十面体があります。 [12]ジョンソン立体の中には、五角錐を増補するか、五角錐で他の形状を増補することによって構成されるものがある：細長い五角錐、回転細長い五角錐、五角両錐、細長い五角両錐、増補十二面体、パラビ増補十二面体、メタビ増補十二面体、三増補十二面体。[13]関連して、五角錐を多面体から取り除くことは、減少と呼ばれる手法の例である。メタビ減少二十面体と三減少二十面体は、その構築が正二十面体から五角錐を取り除くことから始まる例である。[14]
立体化学では、原子クラスターは五角錐の形状をとることができる。この分子は1つの活性孤立電子対を持つ主族元素を持ち、これはVSEPR理論として知られる分子の形状を予測するモデルで説明できる。[15]この構造を持つ分子の例としては、ニドケージ炭酸塩CB 5 H 9が挙げられる。[16]
参考文献
注記
- ^ abc ジョンソン（1966年）。
- ^
- ボール＆コクセター（1987）、130ページ
- グルギッチら（2022）、p.476
- ^ スミス（2000）、98ページ。
- ^
- カルター＆カルター（2011）、198ページ
- ポリア（1954）、138ページ
- ^ ピサンスキーとセルバティウス (2013)、p. 21.
- ^ ヴォルレーベン (2019)、p. 485–486。
- ^ 上原（2020）、62頁。
- ^
- ハーツホーン（2000）、464ページ
- ジョンソン（1966）
- ^ カルター＆カルター（2011）、198頁。
- ^ バーマン（1971年）。
- ^ スロボダン、オブラドヴィッチ、ユカノヴィッチ (2015)。
- ^
- チョラック＆ゲリシュゲン（2015）
- カプラフ（2001）、309ページ
- シルベスター（2001）、140-141ページ
- ^ Rajwade (2001)、pp. 84–88。表12.3を参照。ここで、 は-面プリズム、 は- 面反プリズムを表す。
- ^ ガイリウナス（2001年）。
- ^ ペトルッチ、ハーウッド、ヘリング（2002）、414ページ。
- ^ マッカートニー（2017）、482頁。
引用文献
- Ball, WWR; Coxeter, HSM (1987)。数学レクリエーションとエッセイ。Dover Publications。ISBN 978-0-486-25357-2。
- バーマン、マーティン(1971)。「正面凸多面体」。フランクリン研究所ジャーナル。291 (5): 329–352。doi : 10.1016 /0016-0032(71)90071-8。MR 0290245 。
- カルター、ポール A.;カルター、マイケル A. (2011)。技術数学。ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 978-0-470-53492-2。
- チョラク、ゼイネプ。オズカン州ゲリスゲン (2015)。 「三角六面体とペンタキス十二面体の新しい指標」。サカリヤ大学科学ジャーナル。19 (3): 353–360。土井：10.16984/saufenbilder.03497。
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外部リンク
- Weisstein, Eric W.、「五角錐」（「ジョンソン立体」）（MathWorld）
- バーチャルリアリティ多面体 www.georgehart.com: 多面体百科事典 ( VRMLモデル)