大十二面体

大十二面体
タイプ	ケプラー・ポアンソ多面体
顔	12
エッジ	30
頂点	12
対称グループ	二十面体対称性 ${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$
二重多面体	小さな星型十二面体
プロパティ	正則、非凸
頂点図形

幾何学において、大十二面体は、4 つのケプラー・ポアンソ多面体のうちの 1 つです。12 個の五角形の面 (6 組の平行五角形)で構成され、各頂点で 5 つの五角形が交わる五芒星状の経路を描きながら、互いに交差しています。

大十二面体を構築する方法の1つは、正二十面体をファセット化することです。言い換えれば、正二十面体から多角形の面を削除することで構築されますが、頂点を変更したり新しい頂点を作成したりすることはありません。^[1]別の方法は、正二十面体の5つの頂点のそれぞれで正五角形を形成し、12個の正五角形が互いに交差して、頂点図形として五芒星を作成します。^{[2] [3]}

大十二面体は、十二面体の第二の星型と解釈することもできる。この構造は、正十二面体の各面に12個の五角錐を取り付けることで始まり、これを第一の星型と呼ぶ。第二の星型は、これに30個のくさびを取り付けることで現れる。^[4]

辺の長さが である大十二面体があるとします。大十二面体の外接半径は: 表面積は: 体積は: ^[5]${\displaystyle a}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle C={\frac {a}{4}}\left({\sqrt {10+2+{\sqrt {5}}}}\right).}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A=15a^{2}\left({\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\right).}$$${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {5}{4}}({\sqrt {5}}-1)a^{3}.}$$

歴史的には、大十二面体はルイ・ポアンソが1810年に発見した二つの立体のうちの一つで、彼にちなんでポアンソ立体と名付けられたこともある。背景としては、ポアンソはヨハネス・ケプラーがすでに発見していた二つの立体、小星型十二面体と大星型十二面体を再発見した。^{[3]しかし、大十二面体は1568年の}ヴェンツェル・ヤムニッツァーの『Perspectiva Corporum Regularium』に登場しており、その絵は多少似ている。^[6]

大十二面体は大衆文化や玩具に登場した。例としては、アレクサンダーのスターパズル、大十二面体に基づいたルービックキューブなどがある。 ^[7]

小星型十二面体と大十二面体の複合体は、大十二面体がその双対である小星型十二面体の内側にある多面体複合体である。これは、2 つの五芒星の複合体 ({10/4}「十芒星」) の 3 次元上の 2 つの等価物の 1 つとして見ることができる。この系列は、星型 4 多面体の複合体として 4 次元まで続く。

大十二面体に切り詰め処理を施すと、一連の非凸一様多面体が生成されます。辺を点まで切り詰めると、正十二面体が平行化された大十二面体として生成されます。この処理は二重平行化として完了し、元の面が点まで縮小され、小さな星型十二面体が生成されます。

これは凸正二十面体と同じ辺の配置を共有しており、両者の複合は小型の複二十六面体である。

• Weisstein, Eric W.、「大十二面体」（「均一多面体」）（MathWorld）
• Weisstein、Eric W.「3 つの十二面体の星形」。MathWorld。
• 均一多面体と双対
• 大十二面体の金属彫刻