ディスディアキス三十面体

幾何学において、二面体三十面体、六面体二十面体、十面体十二面体、または菱形三十面体^{[1]は、120の面を持つ}カタロニア立体であり、アルキメデスの 切頂二十二面体の双対である。そのため、面は均一だが、面の多角形は不規則である。これは、膨らんだ菱形三十面体に少し似ている。菱形三十面体の各面を単一の頂点と4つの三角形に規則的に置き換えると、二面体三十面体になる。つまり、二面体三十面体は、菱形三十面体のクリートープである。また、これは、正十二面体と正二十面体の重心分割でもある。これはアルキメデス立体とカタラン立体の中で最も面数が多く、92面のスナブ十二面体が2番目に多い。

両錐体、回転伸長両錐体、台形を除けば、二面体三十面体は、多面体の どの面も同じ形をしている他の厳密に凸状の多面体の中で最も多くの面を持ちます。

球体に投影すると、22面体の辺は15個の大円を定義します。バックミンスター・フラーは、この15個の大円と、他の2つの多面体の10個と6個の大円を使用して、球状20面体の31個の大円を定義しました。

二面体三十面体は三角形の面を持つカタラン立体であるため、その 3 つの面角と共通の二面角は、他のカタラン立体と同様に次の制約に従う必要があります。 ${\displaystyle \alpha _{4},\alpha _{6},\alpha _{10}}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /4)/\cos(\alpha _{4}/2)}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /6)/\cos(\alpha _{6}/2)}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /10)/\cos(\alpha _{10}/2)}$

${\displaystyle \alpha _{4}+\alpha _{6}+\alpha _{10}=\pi }$

上記の 4 つの方程式を同時に解くと、次の面角と二面角が得られます。

${\displaystyle \alpha _{4}=\arccos \left({\frac {7-4\phi }{30}}\right)\approx 88.992^{\circ }}$

${\displaystyle \alpha _{6}=\arccos \left({\frac {17-4\phi }{20}}\right)\approx 58.238^{\circ }}$

${\displaystyle \alpha _{10}=\arccos \left({\frac {2+5\phi }{12}}\right)\approx 32.770^{\circ }}$

${\displaystyle \theta =\arccos \left(-{\frac {155+48\phi }{241}}\right)\approx 164.888^{\circ }}$

黄金比はどこですか？ ${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618}$

すべてのカタラン立体と同様に、辺の長さが異なっていても、すべての辺の二面角は同じです。

二面体三十面体の62の頂点は次のように表される: ^[2]

• 12個の頂点とその循環順列、${\displaystyle \left(0,{\frac {\pm 1}{\sqrt {\phi +2}}},{\frac {\pm \phi }{\sqrt {\phi +2}}}\right)}$

• 8つの頂点、${\displaystyle \left(\pm R,\pm R,\pm R\right)}$

• 12個の頂点とその循環順列、${\displaystyle \left(0,\pm R\phi ,\pm {\frac {R}{\phi }}\right)}$

• 6 つの頂点とその巡回順列。${\displaystyle \left(\pm S,0,0\right)}$

• 24個の頂点とその循環順列、${\displaystyle \left(\pm {\frac {S\phi }{2}},\pm {\frac {S}{2}},\pm {\frac {S}{2\phi }}\right)}$

どこ

${\displaystyle R={\frac {5}{3\phi {\sqrt {\phi +2}}}}={\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{3}}\approx 0.5415328270548438}$、

${\displaystyle S={\frac {(7\phi -6){\sqrt {\phi +2}}}{11}}={\frac {(2{\sqrt {5}}-3){\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{11}}\approx 0.9210096876986302}$、 そして

${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618}$黄金比です。

上記の座標では、最初の 12 個の頂点が正 20 面体を形成し、次の 20 個の頂点 ( Rを持つ頂点)が正12 面体を形成し、最後の 30 個の頂点 ( Sを持つ頂点)が20 面体 12 面体を形成します。

すべての頂点を単位球に正規化すると、隣の図に示すように、球状の22 面体三十面体が得られます。この図には、完全な20 面体群 Ihに関連する 120 の変換も示されています。

球面に投影された多面体の辺は 15 個の大円を形成し、反射I_正 20 面体対称性の 15 個の鏡面すべてを表します。明るい三角形と暗い三角形のペアを組み合わせることで、非反射 ( I ) 正 20 面体対称性の基本領域が定義されます。5つの正 8 面体の複合体の辺も、正 20 面体対称性の 10 個の鏡面を表します。

二次元三十面体には、正射影の中心に配置できる 3 種類の頂点があります。

正十二面体で五角形がそれぞれ10個の三角形に分割された二面体三十面体は、ルービックキューブのような組み合わせパズルの「聖杯」と考えられている。このようなパズルには現在満足のいくメカニズムがない。これは機械式パズルにおける最も重要な未解決問題であり、「ビッグチョップ」問題と呼ばれることが多い。^[3]

この形状は3Dプリントを使用して120面体のサイコロを作るために使用されました。^[4]

2016年以来、ダイスラボは、ディスディヤキス三十面体を使用して、射出成形された120面体のサイコロを大量販売しています。^{[5] 120面体は、長時間転がる傾向があるため現実的には非現実的な無限族（直}角柱、両錐体、台形など）を除けば、公平なサイコロの面の最大数であると言われています。^[6]

球面に投影された二次元三十面体は、STEM関連のトピックに関する一連のレッスンを掲載したウェブサイト「Brilliant」のロゴとして使用されています。^[7]

これは、面構成 V4.6.2nによって定義される多面体列と位相的に関連しています。このグループは、頂点ごとに辺の数がすべて偶数であり、多面体と平面内の無限直線を通る二等分平面を形成し、n ≥ 7 の任意の n に対して双曲平面まで続くという点で特殊です。

各頂点の面の数が偶数の場合、これらの多面体とタイリングは、隣接する面がすべて異なる色になるように 2 つの色を交互に配置することで表示できます。

これらの領域の各面は、各三角形面の頂点に2,3、n 個のミラーを持つ対称群の基本領域にも対応します。これは、オービフォールド表記では * n 32 、コクセター表記では [ n ,3]です。

• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511569371、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208(13 個の半正凸多面体とその双対、25 ページ、Disdyakistriacontahedron)
• 物事の対称性2008、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] （第21章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名、285ページ、kis菱形三十面体） 

• Weisstein, Eric W.、「Disdyakis triacontahedron」（「カタロニア立体」）、MathWorldにて。
• 六面体二十面体 - インタラクティブ多面体モデル