大二十面体

幾何学において、大二十面体は、 4つのケプラー・ポアンソ多面体（非凸 正多面体）のうちの1つであり、シュレーフリ記号 {3, 5 ⁄ 2 }とコクセター・ディンキン図で表される。20 個の交差する三角形の面で構成され、各頂点で 5 つの三角形が五芒星の順序で交わります。

大二十面体は、その 2 次元類似体である五芒星と同様に、核となるn多面体の( n –1)次元単体面(大二十面体の場合は正三角形、五芒星の場合は線分) を、図形が再び規則的な面になるまで拡張することで構築できます。壮大な 600 セルは、同じプロセスを使用して、その 4 次元類似体として考えることができます。

大二十面体の辺の長さは、元の二十面体の辺の長さの何倍かです。 ${\displaystyle {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{2}}}$

辺の長さがEである大二十面体の場合、

$${\displaystyle {\text{半径}}={\frac {{\text{E}}(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}})}{4}}}$$

$${\displaystyle {\text{中半径}}={\frac {{\text{E}}({\sqrt {5}}-1)}{4}}}$$

$${\displaystyle {\text{円周半径}}={\frac {{\text{E}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{4}}}$$

$${\displaystyle {\text{表面積}}=3{\sqrt {3}}(5+4{\sqrt {5}}){\text{E}}^{2}}$$

$${\displaystyle {\text{体積}}={\tfrac {25+9{\sqrt {5}}}{4}}{\text{E}}^{3}}$$

大二十面体は、異なる色の面と四面体対称性のみを持つ均一なスナブとして構築できます。この構造はレトロスナブ四面体またはレトロスナブ四面体^[1]と呼ばれ、二十面体のスナブ四面体対称性に似ており、切頂八面体（または全切頂四面体）の部分的なファセット化である。2色の三角形とピリトヘドロン対称性を使って次のように構成することもできます。または、レトロスナブ八面体と呼ばれます。

正凸二十面体と同じ頂点配置を共有しています。また、小さな星型十二面体と同じ辺配置を共有しています。

大二十面体に繰り返して切り詰め操作を施すと、一様な多面体の列が作られる。辺を点まで切り詰めると、平行化された大二十面体として大二十十二面体が得られる。このプロセスは平行化として完了し、元の面が点まで縮小され、大星型十二面体が得られる。

切頂大星型十二面体は退化した多面体で、切頂頂点から 20 個の三角形の面と、元の五芒星の面の切頂として 12 個の（隠れた）二重五角形の面（{10/2}）があり、後者は 20 面体の内側に内接し、辺を共有する 2 つの大十二面体を形成し ます。

• ウェニンガー、マグナス（1974）。多面体モデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09859-9。
• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド、デュ・ヴァル、P .、フラザー、HT、ペトリー、JF (1999) 。59 のイコサヘドラ(第 3 版)。Tarquin。ISBN 978-1-899618-32-3MR  0676126 。(第1版 トロント大学 (1938))
• HSM Coxeter、Regular Polytopes、（第3版、1973年）、Dover版、ISBN 0-486-61480-8、3.6 6.2プラトン立体の星形化、pp. 96–104 

• Weisstein, Eric W.、「Great icosahedron」（「均一多面体」）（MathWorld）
  • Weisstein、Eric W.「二十面体の 15 個の星形」。MathWorld。
• 均一多面体と双対