ゾームツール

Zometoolは、 Steve Baer （ Zome建築の創始者） 、アーティストのClark Richert、Paul Hildebrandt（現在のZometoolのCEO）、共同発明者のMarc Pelletierのコラボレーションによって作られた組み立てセットのおもちゃです。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Zometool, Inc.によって製造されています。同社によると、Zometoolは主に子供向けに設計されました。Zometoolは、数学や物理学を含む他の分野でも使用されています。たとえば、ペンローズタイリングなどの非周期的なタイリングは、Zometoolを使用してモデル化できます。この学習ツールは、発明家兼デザイナーのSteve Baer、彼の妻Holly、および他の人たちによって設計されました。

Zometoolプラスチック製組み立て玩具セットは、コロラド州ロングモント郊外に拠点を置く同名の非公開企業によって製造されており、Baerの会社ZomeWorksから発展したものです。その構成要素は、さまざまな色の小さなコネクタノードと支柱です。コネクタノードの全体的な形状は、各面が小さな穴に置き換えられた不均一な小さな菱形二十面体です。支柱の端はコネクタノードの穴に合うように設計されており、さまざまな構造を合成できます。3種類の支柱の形状をコード化するというアイデアは、Marc PelletierとPaul Hildebrandtによって開発されました。「ボール」、つまりノードを作成するために、PelletierとHildebrandtは、金型を形成するために結合する62本の油圧ピンのシステムを発明しました。最初のコネクタノードは、1992年4月1日に金型から出現しました。^{[ 3 ]}

1992年以降、Zometoolは製品ラインを拡大してきましたが、コネクタノードの基本設計は変更されていないため、現在までのすべての部品は互換性があります。1992年から2000年まで、Zometoolはコネクタノードと青、黄、赤の支柱が入ったキットを製造していました。2000年には、フランスの建築家ファビアン・ヴィエンヌの提案により、正四面体と正八面体を構築できる緑色の支柱を導入しました。2003年には、支柱のスタイルを少し変更しました。「クリック付き」の支柱は表面の質感が異なり、コネクタノードと支柱間の接続をより強固にするために、突起が長くなっています。

Zometoolの支柱の色は、その断面形状と、支柱がはまるコネクタノードの穴の形状に関連付けられています。青色の支柱は長方形の断面、黄色の支柱は三角形の断面、赤色の支柱は五角形の断面を持ちます。緑色の支柱の断面は縦横比が√2の菱形ですが、コネクタノードには必要な位置に穴がないため、緑色の支柱は12個の五角形の穴のいずれかに、1つの穴につき5通りの向きではめ込むことができ、合計で60通りの向きが可能です。そのため、緑色の支柱の使用は他の支柱ほど簡単ではありません。

黄色と赤色の支柱は、それぞれの中間点で断面形状が反転するねじれ構造になっています。この設計により、支柱両端のコネクタノードの向きが必ず同じになります。同様に、青色の支柱の断面も正方形ではない長方形になっており、両端のノードの向きが必ず同じになります。一方、緑色の支柱はねじれ構造ではなく、2つの曲がり部があり、支柱の軸からわずかにずれた位置にあるコネクタノードの五角形の穴に嵌合するようになっています。

ゾームという言葉は、ゾーンという用語に由来する。ゾームシステムでは、最大61のゾーンしか使用できない。断面形状は色に対応し、さらにゾーンの色に対応する。したがって、ゾームシステムには、青色のゾーンが15個、黄色のゾーンが10個、赤色のゾーンが6個、緑色のゾーンが30個ある。青色には2つの形状が関連付けられている。長方形断面の青色の支柱は、青色の支柱と同じゾーンに配置されるように設計されているが、青色の支柱の半分の長さである。そのため、これらの支柱はしばしば「ハーフブルー」と呼ばれる（そして元々は水色で作られていた）。菱形の断面を持つ青緑色の支柱は、緑色の支柱と同じゾーンに配置されるが、菱形の青緑色の支柱と青色の支柱の比率が1:1となるように設計されている（緑色の支柱の√2:1とは対照的）。この長さの比率のため、菱形の断面を持つ青緑色の支柱は、数学的にはゾーム系には属さない。

支柱の長さは数学的なパターンに従います。どの色でも、長さは約 1.618 の定数倍で増加するような長さが存在し、この数は「黄金比」と呼ばれるもので、ギリシャ文字のφで表されます(${\displaystyle \varphi }$または${\displaystyle \phi }$) ^{[ 4 ]}黄金比とは、2 つの量の和が、2 つの数値のうち大きい方の値に基づく同じ量の比に等しくなるような比のことです。

したがって、

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

ゾームシステムにおける黄金比の応用例としては、各色について、

長い支柱の長さが、短い支柱に接続された中程度の支柱の長さと等しくなるような長さが存在する。

つまり、長い支柱の長さは、中程度の支柱の長さと短い支柱の長さの合計に等しい。

ゾームはベクトル空間の観点から定義される$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$標準内積を備えた、3次元ユークリッド空間としても知られる。

させて${\displaystyle \varphi }$黄金比を表し、${\displaystyle H_{3}}$ベクトル配置の対称群を表す${\displaystyle (0,\pm \varphi ,\pm 1)}$、${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 1,0)}$、 そして${\displaystyle (\pm 1,0,\pm \varphi )}$そのグループ${\displaystyle H_{3}}$コクセター群の一例である は、これらのベクトルを頂点とする正二十面体の対称群であるため、二十面体群として知られています。 の部分群${\displaystyle H_{3}}$行列式が 1 の要素 (つまり回転) から構成されるものは、${\displaystyle A_{5}}$。

「標準の青いベクトル」を次のように定義します。${\displaystyle A_{5}}$ベクトルの軌道${\displaystyle (2,0,0)}$「標準黄色ベクトル」を次のように定義します。${\displaystyle A_{5}}$ベクトルの軌道${\displaystyle (1,1,1)}$「標準赤ベクトル」を次のように定義します。${\displaystyle A_{5}}$ベクトルの軌道${\displaystyle (0,\varphi ,1)}$ゾームシステムの「支柱」とは、上述の標準ベクトルを任意のべき乗でスケーリングすることによって得られる任意のベクトルのことである。$\displaystyle \varphi ^{n}}$、 どこ${\displaystyle n}$は整数です。ゾームシステムの「ノード」は、 の部分群の任意の要素です。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$支柱によって生成される。最後に、「ゾームシステム」はすべてのペアの集合である。${\displaystyle (N,S)}$、 どこ${\displaystyle N}$はノードの集合であり、${\displaystyle S}$ペアの集合${\displaystyle (v,w)}$そのため${\displaystyle v}$そして${\displaystyle w}$は${\displaystyle N}$そしてその違い${\displaystyle vw}$支柱です。

すると、青、黄、赤の標準ベクトルがそれぞれ30個、20個、12個存在する。同様に、青、黄、赤の支柱の安定化部分群は、それぞれ位数2、3、5の巡回群と同型である。したがって、青、黄、赤の支柱は、それぞれ「長方形」、「三角形」、「五角形」と表現することもできる。

ゾームシステムは、隣接する緑色のベクトルによって拡張できます。「標準緑色ベクトル」は、${\displaystyle A_{5}}$ベクトルの軌道${\displaystyle (2,2,0)}$また、「グリーンストラット」とは、標準グリーンベクトルを任意の整数乗でスケーリングすることによって得られる任意のベクトルを指す。$\displaystyle \varphi ^{n}}$上記のように、確認すると次のようになります。${\displaystyle |A_{5}|}$=60個の標準的な緑色のベクトル。これらの緑色の支柱を追加することで、ゾームシステムを拡張できます。この操作はノードのセットには影響しません。

上記で定義した抽象的なゾームシステムは、次の事実から重要です。接続されたすべてのゾームモデルは、ゾームシステム内に忠実なイメージを持ちます。この事実の逆は部分的にしか真ではありませんが、これは物理法則によるものです。たとえば、ゾームツールノードの半径は正の値であるため（ノードが数学的に単一の点であるのとは対照的に）、2つのノードが任意に小さな所定の距離で隔てられているゾームツールモデルを作成することはできません。同様に、製造される支柱の長さは有限個しかなく、緑色の支柱を赤色の支柱や、同じ穴を共有する別の緑色の支柱に直接隣接させることはできません（数学的には異なるものであっても）。

ゾームシステムは、3次元および4次元ユークリッド空間における高度に対称なオブジェクトの1次元骨格をモデル化するのに特に有用です。その中でも最も代表的なのは、5つのプラトン立体と、 120胞体および600胞体に関連する4次元多面体です。しかし、ゾームシステムを使用してモデル化できる数学的オブジェクトは他にも多数あり、例えば以下のようなものがあります。

• 4つのケプラー・ポアンソ多面体のうち3つ
• 正多面体化合物
• 正則な4次元多面体といくつかの化合物
• 菱形三十面体の多くの星型
• 正二十面体の多くの星型
• ゾノヘドラ、特に菱形九十面体と菱形三十面体
• 次元が61以下の超立方体
• ほとんどの均一な多面体（ただし、ねじれ操作を用いて形成される多面体は大きな例外）
• 多くの均一な4次元多面体
• トロルド・ゴセットによる6次元、7次元、8次元における特異な半正多面体
• ジョンソン社の固形物
• 構成をデサルグします
• カタロニアの立体のうち2つ
• 古典的かつ特別な根系
• 三位一体性（嘘の理論より）

zomeの用途は純粋数学に限られません。その他の用途としては、工学問題、特に鋼鉄トラス構造の研究、分子、ナノチューブ、ウイルス構造の研究、石鹸膜表面の作製などが挙げられます。

• 無料の汎用組み立てキット– 3Dプリント可能なオープンソースの組み立ておもちゃ 

• スティーブ・ベア著。『ゾーム入門』。ゾームワークス社、1970年。
• デイビッド・ブース著『五重対称性に関する新しいゾーム入門』 （イシュトヴァン・ハルギッタイ編）。ワールド・サイエンティフィック出版、1992年。
• ジョージ・ハート、「4次元多面体投影による納屋建設」。第6回芸術・数学・建築学会国際会議議事録、テキサスA&M大学、2007年5月。
• ジョージ・ハート、アンリ・ピチオット著。『ゾーム幾何学：ゾームモデルを使った実践学習』キー・カリキュラム・プレス、2001年。ISBN 1-55953-385-4。
• Paul R. Hildebrandt & Marc G. Pelletier (1985). 「幾何学的モデリングキットおよびその製造方法」。米国特許第4,701,131号。
• ポール・ヒルデブラント。「ゾームに触発された彫刻」。『ブリッジズ・ロンドン：数学、芸術、音楽のつながり』論文集、レザ・サルハンギ、ジョン・シャープ編。（2006）335-342頁。
• David A. Richter. 600セルのゾームモデルに関する2つの結果。Proceedings , Renaissance Banff: Mathematical Connections between Mathematics, Art, and Music、Robert MoodyおよびReza Sarhangi（編）。(2005) 419–426。
• David A. Richter および Scott Vorthmann。「グリーン四元数、強固な対称性、および八面体ゾーム」。Proceedings , Bridges London: Connections between Mathematics, Art, and Music、Reza Sarhangi および John Sharp (編)。(2006) 429–436。
• Steven F. Rogers & Paul R. Hildebrandt (2002) 「幾何学的モデリングキットの接続」。米国特許番号 6,840,699 B2。

ウィキメディア・コモンズには、ゾーム（組み立てセット）に関連するメディアがあります。

• ジョージ・W・ハートとアンリ・ピチオットによるゾーム幾何学。
• Zometool - メーカーサイト。
• ジャパンゾームクラブ（日本語）
• ワイスタイン、エリック・W. 「ゾーム」。マスワールド。

ソフトウェア

• vZome